同济大学朱慈勉-结构力学第10章-结构动力学课件

§10-1概述在任意动力荷载下分析给定结构的动力响应。动力荷载动力响应结构动力响应与结构动力特性有关。动力特性大小、方向和位置随时间变化。动位移和动内力，是时间的函数，动态的。自振频率，振型和阻尼结构动力分析的目的荷载关于时间的变化是已知的。分析过程：第1阶段:位移时间历史第2阶段:应力、应变及内力荷载的关于时间的变化不完全已知。可以用统计学定义

(称为：随机动力荷载).（如何求？）确定性分析:不确定性分析：已知荷载的类型非周期荷载:建筑物上的偏心电机tF内燃机连杆tF爆破tF地震tF周期荷载:任意复杂周期荷载可以用傅里叶级数展开为简谐荷载简谐荷载复杂荷载（动力）自由度：确定体系上全部质量位置所需的独立参数的数目一般问题：质量连续分布，时间连续，适宜用偏微分方程描述。时间和位置是独立变量。质量连续分布：无限自由度惯性力F(t)§10-2

体系振动的自由度质量连续分布1个自由度2个自由度3个自由度6个自由度无限自由度§10-2-1集中质量法惯性力F(t)fI1fI2fI33个集中质量，仅沿竖向位移，3个自由度再加上3个旋转自由度:6个自由度惯性力F(t)3个自由度2个自由度1个自由度忽略楼板变形4个自由度2个自由度xy忽略杆件轴向变形2个自由度§10-2-2广义位移xyxyLa是广义坐标，1个自由度a1,a2是广义坐标，2个自由度a是广义坐标，1个自由度挠曲形状用位移函数表示，其中的独立参数为广义坐标Lx满足约束条件的一组函数广义坐标n

自由度有限元方法应用于所有结构类型:框架，平面问题，板，壳，一般3维问题x插值函数（形函数）有限元方法适用范围最广§10-3单自由度体系运动方程的建立kcmF(t)kc阻尼力弹性恢复力粘滞阻尼系数弹簧刚度系数惯性力动力荷载mFp(t)y(t)F(t)y(t)y§10-3-1刚度法Fp(t)Fp(t)lllmDBCAy例1§10-3-2柔度法例2l/2l/2l/2mABCyl/2例3mABCyl/4l/2l/2l/2l/2例4－柔度法2llEIm例4－刚度法Fp(t)l/2l/2l/2Fp(t)ABCDC§10-3-3虚功法例4mABClll/2cml/2l/2l/2支座扰动的影响cmk/2k/2等效支撑扰动荷载§10-4单自由度体系的自由振动无动力作用无阻尼c=0由初始条件确定圆频率，自振频率(naturalfrequency)周期工程频率§10-4-1无阻尼自由振动初始相位角幅值(Amplitude)例1lBAlmk1mk2Fp

＝

1计算自振频率例4.2mEIEI2EImmmh计算自振频率柱侧移刚度EIEI2EI§10-4-2有阻尼自由振动对于有阻尼的单自由度体系特征方程：（3-2）自由振动方程：∵

则：随着根号中值的符号的不同，这个表达式可以描述临界阻尼、低阻尼和超阻尼三种体系的运动型式。本课程只讲临界阻尼和低阻尼两种情况。1.临界阻尼当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作cc。显然，应有cc/2m=w，即：

特征方程：这时，对应的s

值为：（3-2）自由振动方程：临界阻尼自由振动方程的解为：（3-15）（3-16）由初始条件：得到临界阻尼体系反应的最终形式：

临界阻尼位移解：临界阻尼体系反应不是简谐振动，体系的位移反应从开始时的，依照指数规律衰减，回复到零点。

临界阻尼的物理意义是：在自由振动反应中不出现震荡所需要的最小阻尼值。

速度（3-16）2.低阻尼特征方程：（3-2）自由振动方程：如果体系的阻尼比临界阻尼小，则显然有c/2m<w

，这时，特征方程根式中的值必然为负值，则s值成为：引入符号：其中x表示体系阻尼与临界阻尼的比值，称为阻尼比，则：

成为：

低阻尼自由振动方程：的解为：

引入Euler方程：引入符号：其中wd

称为有阻尼振动频率。则

（3-18）则

利用初始条件：得到低阻尼体系动力反应的最终形式：

（3-18）写成矢量表达式：运动的振幅（矢量的模）和初相位分别为：（3-20）低阻尼体系动力反应：

物理意义：低阻尼体系的自由振动具有不变的圆频率wd

，并围绕中心位置振荡，而其振幅则随时间呈指数e-xwt

衰减。如果反应的时间足够长，最终会衰减到零。确定体系阻尼比的一种方法体系的阻尼比可以通过测试体系运动的衰减规律得到：阻尼体系动力反应：体系从任一时刻经几个周期后的振幅比为：取对数后：（3-21）阻尼比：体系阻尼的测试：2）计算阻尼比：确定结构体系阻尼的其它方法。1）实测体系经过个周期后的位移幅值比：3）计算阻尼系数：计算图示刚架的阻尼系数已知：柱子无重,h=3m,

刚性横梁m=5000kg

初位移25mm

经5个周期后测得位移7.12mm[解]确定:ytk=yt0=25mm,yt5=7.12mm,计算阻尼比:计算阻尼系数：单自由度体系受迫振动单自由度受迫振动体系的运动方程：二阶常系数非齐次微分方程。全解由通解和特解组成：

通解y1(t)由体系的自由振动反应确定：受迫振动：结构在动力荷载即外干扰力作用下产生的振动。

注意：对于受迫振动体系，通解中的常数的A、B

应由微分方程的全解（通解+特解）而不能仅由通解确定！

荷载FP(t)不同，微分方程的特解y2(t)的形式是不同的。

§10-5单自由度体系的强迫振动简谐荷载作用下的动力响应分析简谐荷载：FP(t)=F0sinqt。

简谐荷载作用下结构体系的运动方程：F0为荷载的幅值，q为荷载的圆频率。（一）简谐荷载下无阻尼体系的反应简谐荷载作用下的无阻尼体系运动方程：通解——齐次方程的解：特解——由动力荷载引起的特殊解。设：代入(1)式得：所以特解的振幅：b

：频率比，表示荷载频率与体系自振频率的比：特解：全解：常数A、B由初始条件确定。假设：解得：简谐荷载作用下无阻尼体系的动力反应为：F0/k=Dst:将荷载F0

静止地放在体系上所产生的位移；:动力放大系数，表示简谐荷载的动力放大效应；sinqt：按荷载作用频率振动的反应分量：稳态反应；bsinwt：按体系自振频率振动的反应分量：瞬态反应。体系的动力反应由两部分组成：动力放大系数：

思考：b=1时，体系的动力反应如何？[例]求图示结构的最大动位移和最大动弯矩已知：q=0.6w；不计阻尼。[解]1）计算最大动位移：计算动力系数：确定动力振幅作用下的静位移；求出单位力作用下的挠度：最大动位移：体系为单自由度:质量的竖向位移y(t)。2）计算最大动弯矩：作用在质量上的合力：∵体系位移：最大动弯矩：[例]惯性力：一般动力荷载杜哈梅积分tFptFp（1）突加荷载最大位移首次发生在动力系数tFp(t)（2）突加短时荷载第1阶段0<t<t1第2阶段t>t1t1Fp(t)tt1Fp(t)tt1Fp(t)t最大位移与荷载作用时间t1有关当t1>T/2时，最大动位移发生在第一阶段，动力系数为当t1<T/2时，最大动位移发生在第二阶段动力系数为（3）三角形冲击荷载积分结果：t1Fp(t)tt1Fp(t)tt1/T0.1250.20.250.3710.40.50.751.002.002.000.390.60.731.001.051.21.421.691.761.76

2.00三角形冲击荷载动力系数00.20.40.60.811.21.41.61.8200.511.522.4响应比（二）简谐荷载下阻尼体系的反应阻尼体系运动方程：通解——齐次方程的解：特解——由动力荷载引起的特殊解。设：

由c=2mxw，w2=k/m,上式可写作：对y2(t)求导：运动方程：代入运动方程：变量t为任意值时，等式均恒成立的条件？即：由此可解出系数：代入方程的特解：方程的全解：（3-31）第一项按自振频率wd

振动，是由初始条件确定的自由振动反应。由于实际结构中阻尼的存在，这一项很快会被衰减为零，即瞬态反应；第二项按荷载频率振动，即稳态反应；有些场合，如冲击荷载、地震等，应分析瞬态反应；一般情况下，瞬态反应对结构强迫振动分析的意义不大，这里主要讨论稳态反应的特性。谐振荷载作用下单自由度体系的稳态反应解为：

（3-32）反应振幅：相位差：这个强迫振动的解是由正弦和余弦两个三角函数组合而成的，它同样描述了一个简谐运动，也就是位移随时间呈正弦变化。这个运动也可以用矢量表示：F0/k=Dst:荷载F0产生的静位移；反应的振幅与所引起的静位移的比值称为动力放大系数：

（3-32）动力反应：

动力放大系数是频率和阻尼的函数。

x=0时：

反应与外荷载同步！(b<1)

反应与外荷载反相！(b>1)

动力放大系数：

相频特性：

x越小，体系反应越大；

q远小于w时，b<<1：

q远大于w时，b>>1：

m→1：加载很慢，惯性力和阻尼力很小，接近静力反应，y

→

0。

m→

0：质量振幅很小，惯性力很大，y

接近于180度。q接近于w时，b≈1：

m增加很快：

y

接近于90度。反应的峰值出现在频率比接近1的地方。当作用荷载的频率等于体系自振频率时的状态，称体系发生共振。发生共振时：

m的极值：

动力系数与阻尼成反比！时：共振可能导致结构破坏！

在工程设计时，应通过调整结构的刚度和质量控制频率，避免接近荷载频率，防止共振发生！在共振区，外荷载主要由阻尼平衡！

§10-6

多自由度体系的自由振动§10-6-1柔度法BAm1m2BABA假设解频率方程（特征方程）第一频