统计推断的理论基础课件

第1节：概率与概率分布曲线一、试验在相同条件下，对事物或现象所进行的观察例如：掷一枚骰子，观察其出现的点数试验具有以下特点可以在相同的条件下重复进行每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果◆事件的概念事件：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合)例如：掷一枚骰子出现的点数为3随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件例如：掷一枚骰子可能出现的点数必然事件：每次试验一定出现的事件，用表示例如：掷一枚骰子出现的点数小于7不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用表示例如：掷一枚骰子出现的点数大于6◆事件的概率事件A的概率是对事件A在试验中出现的可能性大小的一种度量表示事件A出现可能性大小的数值事件A的概率表示为P(A)概率的定义有：古典定义、统计定义和主观概率定义事件的概率例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率，随着投掷次数n的增大，出现正面和反面的频率稳定在1/2左右试验的次数正面/试验次数1.000.000.250.500.750255075100125二、概率的统计定义在相同条件下进行n次随机试验，事件A出现m次，则比值m/n称为事件A发生的频率。随着n的增大，该频率围绕某一常数P上下摆动，且波动的幅度逐渐减小，取向于稳定，这个频率的稳定值即为事件A的概率，记为【例】：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标为1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12天的用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节电措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。解：上个月30天的记录可以看作是重复进行了30次试验，试验A表示用电超过指标出现了12次。根据概率的统计定义有三、概率的性质非负性对任意事件A，有0P1规范性必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。即P()=1；P()=0可加性若A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)推广到多个两两互斥事件A1，A2，…，An，有P

(A1∪A2

∪…

∪An)=P(A1

)+P(A2

)+…+P(An

)

四、概率的简单运算

◆概率的加法法则两个互斥事件之和的概率，等于两个事件概率之和。设A和B为两个互斥事件，则

P(A∪B)=P(A)+P(B)事件A1，A2，…，An两两互斥，则有

P(A1∪A2

∪…

∪An)=P(A1

)+P(A2

)+…+P(An

)◆概率的乘法公式用来计算两事件交的概率设A、B为两个事件，若P(B)>0，则P(AB)=P(B)P(A|B)，或P(AB)=P(A)P(B|A)【例】设有1000件产品，其中850件是正品，150件是次品，从中依次抽取2件，两件都是次品的概率是多少？解：设Ai表示“第i次抽到的是次品”(i=1,2)，所求概率为P(A1A2)

五、概率分布曲线（一）涵义：以曲线下的面积表示事件发生概率的曲线称为概率分布曲线。曲线下的面积与无限增大的个数N相对应，整个曲线下的面积表示全部事件发生的概率1，部份事件发生的概率也可以在图形上有相应的面积。（二）概率分布的种类1、依随机变量是否具有连续性质分：①离散型概率分布②连续型概率分布2、依据分布函数的来源分：①经验分布②理论分布第2节：正态分布与标准正态分布一、正态分布（一）涵义：是一种连续型的概率分布，凡是随机变量的个数无限增加，其概率分布达到“两头少，中间多”的极限情况，并且概率分布曲线表现为左右对称的“不偏不倚”的状态。这种概率分布称为正态的概率分布，即正态分布，其密度曲线称为正态分布曲线。◆正态分布函数的性质概率密度函数在x

的上方，即f(x)>0正态曲线的最高点在均值，它也是分布的中位数和众数正态分布是一个分布族，每一特定正态分布通过均值的标准差来区分。决定曲线的高度，决定曲线的平缓程度，即宽度曲线f(x)相对于均值对称，尾端向两个方向无限延伸，且理论上永远不会与横轴相交正态曲线下的总面积等于1随机变量的概率由曲线下的面积给出（二）决定正态分布形状的两个参数1、平均数：决定曲线在横轴上的位置。2、标准差：决定曲线的高度与跨度。

和对正态曲线的影响xf(x)CAB二、标准正态分布◆标准正态分布的重要性一般的正态分布取决于均值和标准差计算概率时，每一个正态分布都需要有自己的正态概率分布表，这种表格是无穷多的若能将一般的正态分布转化为标准正态分布，计算概率时只需要查一张表◆标准正态分布函数任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布标准正态分布xms一般正态分布=1Z标准正态分布◆标准正态分布表的使用将一个一般的转换为标准正态分布计算概率时，查标准正态概率分布表对于负的x

，可由(-x)x得到◆标准化的例子

P(5X6.2)

x=5=10一般正态分布6.2=1Z标准正态分布00.12.0478◆标准化的例子

P(2.9X7.1)

一般正态分布.1664.0832.0832标准正态分布◆正态分布

（实例）【例】设X~N(0，1)，求以下概率：

(1)P(X<1.5)；(2)P(X>2)；(3)P(-1<X

3)；(4)P(|X|2)

解：(1)P(X<1.5)=(1.5)=0.9332(2)P(X>2)=1-P(2

X)=1-0.9973=0.0227(3)P(-1<X

3)=P(X

3)-P(X<-1)=(3)-(-1)=(3)–[1-(1)]=0.9987-(1-0.8413)=0.8354(4)P(|X|2)=P(-2

X|2)=(2)-(-2)=(2)-[1-(2)]=2(2)-1=0.9545◆正态分布

（实例）【例】设X~N(5，32)，求以下概率

(1)P(X

10)；(2)P(2<X

<10)

解：(1)(2)第3节：抽样分布

总体分布：总体内全部数值的分布。

样本分布：单个样本内数值的分布。

抽样分布：某一种统计量的分布。◆样本均值的抽样分布（一个例子）【例】设一个总体，含有4个元素（个体），即总体单位数N=4。4个个体分别为X1=1、X2=2、X3=3、X4=4。总体的均值、方差及分布如下均值和方差总体分布14230.1.2.3

现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果如下表3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n=2的样本（共16个）计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值16个样本的均值（x）样本均值的抽样分布1.00.1.2.3P(x)1.53.04.03.52.02.5x式中：M为样本数目比较及结论：1.样本均值的均值（数学期望）等于总体均值

2.样本均值的方差等于总体方差的1/n◆样本均值的分布与总体分布的比较抽样分布=2.5σ2=1.25总体分布14230.1.2.3P(x)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5x◆样本均值的抽样分布与中心极限定理=50

=10X总体分布n=4抽样分布Xn=16当总体服从正态分布N~(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值X也服从正态分布，X

的数学期望为μ，方差为σ2/n。即X～N(μ,σ2/n)当样本容量足够大时(n

30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布中心极限定理：设从均值为，方差为

2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布一个任意分布的总体X◆平均数抽样分布的两种典型形态（一）标准正态分布（