第4章-线性离散系统的受迫振动课件

船舶振动与噪声控制

4.1单自由度系统4.2二自由度系统4.3多自由度系统机械振动基础

第4章

线性离散系统的受迫振动

4.1单自由度系统的强迫振动

工程振动中一个很重要方面是分析系统对外部激励的响应，这种振动有别于上节的自由振动，称为强迫振动。

对于线性系统，根据叠加原理，可以分别求系统对于初始条件的响应和对于外部激励的响应，然后再合成为系统的总响应。4.1.1

系统对于简谐激励的响应

对于上图所示的有阻尼单自由度系统，其运动方程为（4-0）首先考虑最简单的情况，即简谐激励情况，设F(t)

有如下形式图

单自由度模型（4-1）

运动方程4.1单自由度系统的强迫振动

（4-1）将（4-1）代入（4-0），两边同除以m

有

（4-2）当A

为零时，系统为齐次方程，其解就是系统的自由振动响应，自由振动响应随时间衰减，最后消失，所以自由振动响应也叫瞬态响应。式（4-2）的特解也就是强迫振动响应不会随时间衰减，所以称为稳态响应。4.1单自由度系统的强迫振动

（4-3）将（4-3）代入方程（4-2），可得

（4-4）利用三角函数关系

并令（4-4）式中和项的系数相等可得（4-5）设系统（4-2）的稳态响应有如下形式

稳态响应4.1单自由度系统的强迫振动

（4-6）（4-7）将（4-6）、（4-7）代入（4-3）得到系统的稳态解。解（4-5）式可得

4.1单自由度系统的强迫振动

典型的激励与响应关系曲线如图所示。

将f(t)用复数形式表示:

图

简谐激励f(t)

与响应x(t)曲线

（4-8）

f(t)的这种表示只是一种数学上的处理，是为了求解方便，不言而喻地隐含着激振力仅由f(t)的实部表示，当然，响应也应由x(t)

的实部表示。式中A

一般为复数。

4.1单自由度系统的强迫振动

系统的稳态响应

（4-10）由上式可见，系统稳态响应x(t)与激振力f(t)

成正比，且比例因子为（4-11）这称为复频响应.在复数表示情况下，系统响应和激励满足关系（4-9）4.1单自由度系统的强迫振动

可见的模等于响应幅值和激励幅值的无量纲比，即

常称为幅值因子。

（4-12）4.1单自由度系统的强迫振动

图

简谐激励的响应下图给出了在不同阻尼比下

与的关系曲线。

从图中可见，阻尼使系统的振幅值减小，也使峰值相对于的位置左移。4.1单自由度系统的强迫振动

（4-13）

当ζ=0时，在ω=ωn处︱H(ω)︱不连续。对（4-12）式求导，并令其等于零，可得到曲线峰值点对应的ω

值

当ζ=0时，对应于无阻尼情况，此时系统的齐次微分方程就是简谐振子。当驱动频率ω趋近于系统的自然频率ωn时，简谐振子的响应趋于无穷，这种状态称为共振，系统会发生剧烈振动。4.1单自由度系统的强迫振动

值得注意的是，当ω=ωn

时，（2-10）式所表示的解已不适用了，必须对系统（2-2）重新求解。

在微小阻尼情况下，如ζ＜0.05，︱H(ω)︱的极大值的位置几乎与ω/ωn=1相差无几，引入符号︱H(ω)︱max=Q

，在微小阻尼情况下，有（4-14）品质因子Q（4-2）

Q通常称为品质因子。4.1单自由度系统的强迫振动

另外，在工程上︱H(ω)︱

常将取值为的两点P1

和P2称为半功率点。半功率点所对应频率之差称为半功率点带宽，在小阻尼情况下，不难证明，半功率点带宽Δω

取如下值（4-15）比较（4-14）和（4-15）式，可得

（4-16）（4-16）式给出了一种快速估计Q

和ζ

值的方法。

4.1单自由度系统的强迫振动

下面将注意力转到相角上来，由（4-11）和（4-12）式，不难得到

（4-17）这里（4-18）根据（4-17）式和（4-18）式，（4-16）式可写为

（4-19）相角φ4.1单自由度系统的强迫振动

从（4-19）式和上图可以看出:对应于不同ζ值的所有曲线均在ω/ωn=1处通过共同点对于ω/ωn＜1情况随ω/ωn减小，相角趋于零。

对于ω/ωn＞1情况，随ω/ωn增大，相角趋于π

。

即ω/ωn＜1时响应同相，ω/ωn＞1时响应反相。4.1单自由度系统的强迫振动

可见，受迫振动的振幅在共振点前后相位出现突变，这一反常现象，常被用来作为判断系统是否出现共振的依据。方程（4-20）也清楚地表明简谐振子在驱动频率ω

趋近于自然频率ωn时，响应变为无穷大。（4-20）4.1单自由度系统的强迫振动

考虑两个激励和，并设和分别为对应于和的响应，则有

接下来考虑为和的线性组合，即

4.1单自由度系统的强迫振动

叠加原理则称系统是线性的，否则系统是非线性的。很明显，它仅适用于线性系统。换句话说，叠加原理可理解为，对于线性系统，可以先分别求解系统对于单独激励的响应，然后将各个响应合成为系统的总响应。如果的响应满足

4.1单自由度系统的强迫振动

4.1.2

系统对周期激励的响应

在工程振动中，也遇到大量其他类型的非简谐周期激励。利用Fourier级数展开的方法，可以将周期为T

的任何函数展成如下形式和由右式求得

,4.1单自由度系统的强迫振动

而F(t)中的求和号中的每一项都是正弦和余弦项,故系统的稳态响应为：

由解的表达式可看出，对于周期激励的响应也是周期的，且与有同样的周期。另外，当某个激振频率接近系统的自然频率时，系统的响应中此简谐分量将占主导地位，系统发生共振，也就是说周期激励同样可以激起系统共振。4.1单自由度系统4.2二自由度系统4.3多自由度系统机械振动基础

第4章受迫振动系统

4.2二自由度系统的强迫振动有阻尼二自由度系统为设简谐激振力为相应的系统的稳态解可表示为

其中，X1，X2

一般为与激振力频率ω

和系统参数有关的复数。

简谐激励下的二自由度系统的强迫振动响应

代入方程式，得两个代数方程引入表达式这里函数称为机械阻抗，方程可以改写成比较紧凑的矩阵形式其中称为阻抗阵，为位移幅值列向量，为激振力幅值列向量。4.2二自由度系统的强迫振动解得其中由此得4.2二自由度系统的强迫振动(4-23)当系统无阻尼且时，方程

变为(4-24)将方程(4-24)代入(4-23)中，可得对于一组给定的系统参数，由上式可给出系统响应幅值随激振频率的变化曲线—频响曲线。4.2二自由度系统的强迫振动(4-25)方程(4-25)变为(a)式(a)

中，和表达式的分母为特征行列式(b)其中

(c)解：4.2二自由度系统的强迫振动为系统自然频率的平方，这样(a)式可以写为如下形式

(d)