北师大版数学必修二课件：习题课2

习题课——圆与圆的方程(fāngchéng)及综合应用第一页，共47页。第二页，共47页。1.圆的标准(biāozhǔn)方程与一般方程的比较第三页，共47页。2.直线与圆、圆与圆位置关系的解决方法(1)几何法——侧重点在于利用(lìyòng)圆的几何性质,并利用(lìyòng)半径与距离的量来刻画位置关系,解法简捷、直观;(2)代数法——侧重点在于利用(lìyòng)联立方程的思路,通过方程解的组数来刻画位置关系,解法比较抽象,但严谨.第四页，共47页。3.重要结论(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线(qiēxiàn)方程为x0x+y0y=r2.(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线(qiēxiàn)方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(3)过圆x2+y2=r2外一点P(a,b)作圆的切线(qiēxiàn)PA,PB,其中A,B为切点,则直线AB的方程为ax+by=r2.(4)A(x1,y1),B(x2,y2),以AB为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.(5)过两圆交点的直线方程.设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,②由①-②得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③若圆C1与圆C2相交,则③为过两圆交点的弦所在直线的方程.第五页，共47页。(6)过直线与圆的交点的圆系方程.若直线l:Ax+By+C=0与圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0相交,则方程x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0表示过直线l与圆C的两个交点的圆系方程.(7)过圆与圆的交点的圆系方程.若圆C1:x2+y2+Dx+Ey+F=0与圆C2:x2+y2+D'x+E'y+F'=0相交,则过这两个圆交点的圆系方程可设为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(x2+y2+D'x+E'y+F')=0(λ≠-1).(8)圆的常用几何性质.①圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上.②圆上异于直径端点的点与直径的两端点连线垂直.③过切点(qiēdiǎn)且垂直于该切线的直线必过圆心.第六页，共47页。做一做1已知x2+y2-2x+y+k=0是圆的方程,则实数(shìshù)k的取值范围是()

解析(jiěxī):令D2+E2-4F=(-2)2+12-4k>0,得k答案(dáàn):B第七页，共47页。解析(jiěxī):本题可转化为直线x+y+1=0与圆(x-1)2+(y-1)2=R2(R>0)相切,求R.答案(dáàn):B第八页，共47页。解析:如图,由题意知圆的圆心(yuánxīn)坐标为(0,0),半径r=2.答案(dáàn):B第九页，共47页。做一做4已知直线x-my+2=0与圆x2+(y-1)2=1有两个(liǎnɡɡè)不同的交点,则()

答案(dáàn):B第十页，共47页。做一做5若圆(x+2)2+y2=9与圆(x-1)2+(y+a)2=64内切,则实数(shìshù)a=.

答案(dáàn):±4第十一页，共47页。做一做6求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点,且满足下列条件的圆的方程(fāngchéng).

(1)过原点;(2)面积最小.第十二页，共47页。第十三页，共47页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三探究四探究五一题多解探究一求圆的方程

【例1】已知圆C关于y轴对称,经过点A(1,0),且被x轴分成两段弧长之比为1∶2,求圆C的方程.分析:先设出圆的标准方程,然后利用点在圆上及弧长之比列出方程组求解即可.第十四页，共47页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三探究四探究五一题多解第十五页，共47页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三探究四探究五一题多解反思感悟求圆的方程的两种方法(1)直接法:利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,数形结合直接求出圆心坐标、半径,进而求出圆的方程.(2)待定系数法:先设出圆的方程,再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数,进而求出圆的方程.第十六页，共47页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三探究四探究五一题多解变式训练1

已知圆C与y轴相切,圆心C在直线l1:x-3y=0上,且圆C在直线l2:x-y=0上截得的弦长为求圆C的方程.解:因为圆心C在直线l1:x-3y=0上,所以可设圆心坐标为(3t,t).又圆C与y轴相切,所以圆的半径为r=|3t|.再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形可得所以圆心坐标为(3,1)或(-3,-1),半径为3.故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.第十七页，共47页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三探究四探究五一题多解探究二直线与圆、圆与圆位置关系的应用

【例2】

(1)设直线kx-y+1=0被圆O:x2+y2=4所截弦的中点的轨迹为C,则曲线C与直线x+y-1=0的位置关系为(

)A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定(2)已知圆C1:x2+y2=m与圆C2:x2+y2+6x-8y-11=0相切,则实数m的值为

.

第十八页，共47页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三探究四探究五一题多解第十九页，共47页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三探究四探究五一题多解(2)由于圆C1的圆心在圆C2内部,所以两圆只能内切.圆C2的方程可化为(x+3)2+(y-4)2=36,由于两圆内切,所以有

=5,解得m=1或m=121.答案:(1)A

(2)1或121反思感悟解决直线与圆、圆与圆位置关系问题有几何法和代数法,但一般使用几何法解决,解决的关键是找出圆心、半径及距离,含参类问题也要注意最后结果的检验.第二十页，共47页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三探究四探究五一题多解变式训练2

(1)若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是(

)

A.[-3,-1] B.[-1,3] C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)(2)圆x2+y2+4x-4y+7=0与圆x2+y2-4x+10y+13=0的公切线的条数是(

)答案:(1)C

(2)D第二十一页，共47页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三探究四探究五一题多解探究三与圆有关的最值问题

【例3】

若实数x,y满足(x-2)2+y2=3,则

的最大值

为

.

第二十二页，共47页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三探究四探究五一题多解反思感悟与圆有关的最值问题处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思考求解.与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型:(2)形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题.第二十三页，共47页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三探究四探究五一题多解变式训练3

若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为(

)

答案:B第二十四页，共47页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三探究四探究五一题多解与圆有关的弦及弦长问题【例4】

(1)已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.①当a为何值时,直线l与圆C相切?②当直线l与圆交于A,B两点,且|AB|=2时,求直线l的方程.(2)已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0交于P,Q两点,O为坐标原点,那么是否存在实数m,使得OP⊥OQ?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.分析:(1)①利用d=r列式;②利用弦长公式列方程.第二十五页，共47页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三探究四探究五一题多解解:(1)①圆的方程化为标准方程为x2+(y-4)2=4,即圆心为C(0,4),半径r=2.第二十六页，共47页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三探究四探究五一题多解(2)由直线方程得3=x+2y,将其代入圆的方程x2+y2+x-6y+m=0,经检验,符合题意.故存在m=3,使得OP⊥OQ.第二十七页，共47页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三探究四探究五一题多解2.关于弦的逆向问题,一定要将垂直、夹角或距离等条件用代数式表达出来,进而求得参数.第二十八页，共47页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三探究四探究五一题多解变式训练4(1)已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且AC⊥BC,则实数a的值为

.

(2)已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0.求两圆的公共弦所在直线的方程及公共弦长.(1)解析:由题意,得圆心C的坐标为(-1,2),半径r=3.因为AC⊥BC,所以圆心C到直线x-y+a=0的距离答案:0或6第二十九页，共47页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三探究四探究五一题多解两式相减并化简得3x-4y+6=0.则3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在直线的方程.由题易知圆C1的圆心C1(-1,3),半径r=3.第三十页，共47页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三探究四探究五一题多解探究五与圆有关的轨迹问题

【例5】

定长为4的线段AB的两个端点A,B分别在x轴和y轴上滑动,求线段AB的中点M的轨迹方程.分析:先设出动点M及A,B的坐标,再找出三点坐标之间的关系,最后利用|AB|=4化简即得.解:设线段AB的中点M为(x,y),线段AB的端点A(x0,0),B(0,y0),得(2x)2+(2y)2=16,化简得x2+y2=4,所以线段AB的中点M的轨迹方程是x2+y2=4.第三十一页，共47页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三探究四探究五一题多解反思感悟求轨迹的方法很多,但目前应掌握好直接法与相关点法:直接法的关键是设出动点,直接将条件代数化化简即得;相关点法不仅要设出所求动点坐标,还要设出与之联动的相关点的坐标,并且要找出它们坐标之间的关系,再代数化化简即得.第三十二页，共47页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三探究四探究五一题多解变式训练5

已知点O(0,0)和点B(m,0)(m>0),动点P到点O和点B的距离之比为2∶1.求P点的轨迹.

第三十三页，共47页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三探究四探究五一题多解与圆有关的切线问题

典例求经过点(1,-7)且与圆x2+y2=25相切的直线方程.思路点拨:方法1:采用代数法,根据当Δ=0时直线与圆相切来求斜率k.方法2:采用几何法,若直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于半径.方法3:利用过圆上一点(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2求解.第三十四页，共47页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三探究四探究五一题多解解法1:因为12+(-7)2=50>25,所以点(1,-7)是圆外一点.由题易知切线的斜率存在,所以设切线的斜率为k,由点斜式得y+7=k(x-1),即y=k(x-1)-7.将上式代入圆的方程x2+y2=25,得x2+[k(x-1)-7]2=25,整理得(k2+1)x2-(2k2+14k)x+k2+14k+24=0,令Δ=(2k2+14k)2-4(k2+1)(k2+14k+24)=0,整理得12k2-7k-12=0,所以切线方程为4x-3y-25=0或3x+4y+25=0.第三十五页，共47页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三探究四探究五一题多解解法2:由题易知切线的斜率存在,所以设所求直线的斜率为k,所以所求切线的方程为y+7=k(x-1),整理成一般式为kx-y-k-7=0.第三十六页，共47页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三探究四探究五一题多解第三十七页，共47页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三探究四探究五一题多解名师点评在求过定点的圆的切线方程时,应首先确定点与圆的位置关系:(1)若点在圆外,则切线应有两条,若根据点到直线(设成点斜式的直线)的距离等于半径,求出的切线只有一条,则说明还有一条斜率不存在的直线,不要漏掉;(2)若点在圆上,则切线只有一条,这条切线与圆心和该点的连线垂直,垂足为该点.第三十八页，共47页。12345671.已知点M(x0,y0)是圆x2+y2=a2(a>0)内异于圆心的一点,则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系为()A.相切 B.相交(xiāngjiāo) C.相离 D.相切或相交(xiāngjiāo)答案(dáàn):C第三十九页，共47页。12345672.若方程(fāngchéng)a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则a的值为()A.-1 B.2 C.-1或解析(jiěxī):由题意得a2=a+2,a2≠0,a+2≠0,解得a=-1或a=2.综上所述,a=-1.故选A.答案(dáàn):A第四十页，共47页。12345673.以线段AB:x+y-2=0(0≤x≤2)为直径的圆的方程(fāngchéng)为()A.(x+1)2+(y+1)2=2B.(x-1)2+(y-1)2=2C.(x+1)2+(y+1)2=8D.(x-1)2+(y-1)2=8解析:∵直径的两端点分别为(0,2),(2,0),∴圆心为(1,1),半径为,故圆的方程(fāngchéng)为(x-1)2+(y-1)2=2.答案:B第四十一页，共47页。12345674.已知圆C:x2+y2+mx-4=0上存在两点关于直线x-y+3=0对称(duìchèn),则实数m的值为()A.8 B.-4C.6 D.无法确定解析(jiěxī):圆上存在关于直线x-y+3=0对称的两点,则直线x-y+3=0过圆∴m=6.答案(dáàn):C第四十二页，共47页。12345675.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别(fēnbié)是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为()解析(jiěxī):圆C1,C2如图所示.设P是x轴上任意一点,则|PM|的最小值为|PC1|-1,同理|PN|的最小值为|PC2|-3,则|PM|+|PN|的最小值为|PC1|+|PC2|-4.作C1关于x轴的对称点C'1(2,-3),连接C'1C2,与x轴交于点P,连接PC1,根据三角形两边之和大于第三边,可知|PC1|+|PC2|的