微积分下1第八章

一、区域二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性五、小结 思考题第一节

多元函数的基本概念的全体，称为点P0

的邻域，记为U

(P0

,

)，1.邻域(neighborhood)设P0

(

x0

,

y0

)是xoy平面上的一个点， 是某一正数，与点P0

(

x0

,

y0

)距离小于

的点P(

x,

y)

P0U

(

P0

,

)

P

|

PP0

|

22y0

)

.

(

x,

y)

| (

x

x0

)

(

y

一、区域(region)2.内点(inner

point)、边界点和聚点设E

是平面上的一个点集，P

是平面上的一个点．如果存在点

P

的某一邻域U

(

P

)

E

，则称

P

为

E

的内点.如果点P

的任一个邻域内既有属于E

的点,也有不属于E

的点（点P

本身可以属于E

，也可以不属于E

）,则称P

为E

的边界点．EPPE

的边界点的全体称为

E

的边界(boundary)．2

2若1

x0

y0

4,则点P为E的内点,也是E的聚点;2

2

2

2若x0

y0

1或x0

y0

4,0

y

2

4.200

y

2

1或x203.E的边界E

x,y

x则点P为E的边界点,也是E的聚点;20

02,点P

x

,

y

R设点集

E

x,

y

1

x

2

y

4举例则称P

为E

的聚点.(point

of

accumulation)如果对于任意给定的

0，P

的去心邻域0U P

,

总有E中的点P本身可属于E

,也可不属于E

，3.开集(opener)与闭集(closed

set)E

PE1

{(x,y)1

x

y

4}

即为开集；2

2例如设集合

E

R

2

,如果点集E

的点都是内点，则称E

是R

2中的开集

;如果E

的余集E

c

是R

2中的开集，则称E

是R

2中的闭集

.E2

{(x,y)1

x

y

4}即为闭集；2

23即非开集E

{(

x,

y)

1

x

2

y2

4}也非闭集.4.有界集(bounded

set)与无界集设集合

E

R

2

,如果存在常数k

0,使得对所有的P

x

,y

E

,x

2都有

OP

y

2

k

,

则称

E是R

2中的有界集

.任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于D

，则称开集D

是连通的．一个集合如果不是有界集，就称为无界集.5.区域、闭区域设D

是开集．如果对于D

内例如，{(x,y)|

1

x2

y2

4}.连通的开集称为区域(region)或开区域．yxo开区域连同它的边界一起称为闭区域.例如，{(x,y)|

1

x2

y2

4}.xyo注：n维空间中邻域、区域等概念n0

0

,

P

RU

(

P

,

)

P

|

PP

|内点、边界点、区域等概念也可定义．邻域：二、多元函数的概念(functions

of

several

variables)称为函数

f的值域，并且称

R

n

1中的子集x

1

,

x

2

,

,

x

n

,

y

y

f

x

,

x

D

为函数y

f

x（

在

D

上）的图形（或图像）

。D

称为函数D

到实数集

R设D

是R

n的一个非空子集，从f的定义域，

f

D

f

x

x

D

的任一映射

f称为定义在

D

上的一个 n

元（实值）函数，记作

f

:

D

R

n

R或

y

f

x

f

x

1

,

x

2

,

,

x

n

,

x

D其中

x

1

,

x

2

,

,

x

n

称为自变量，

y称为因变量，定义在n等于2与3时，习惯上将点

x1

,x2

与

x1

,x

2

,x

3

分别写成

x

,y

与

x

,y

,z

.这时若用字母表示R

2或R

3中的点，则通常写成P

x

,y

或M

x

,y

,z

等.二元函数与三元函数也可简记为z

f

P

或

u

f

M

.例1求f

(x,y)的定义域．x

y2arcsin(3

x2

y2

)解

3

x2

y2

10x

y

y2

4

x

y22

x22所求定义域为

y2

4,

x

y2

}.D

{(

x,

y)

|

2

x2二元函数 的图形z

f

(

x,

y)设函数z

f

(

x,

y)的定义域为D，对于任意取定的P(

x,

y)

D，对应的函数值为z

f

(x,y)，这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z

为竖坐标在空间就确定一点M

(x,y,z)，当P

取遍D上一切点时，得一个空间点集{(x,y,z)|

z

f

(x,y),(x,y)

D}，这个点集称为二元函数的图形.（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面.xyzo例如,

z

sin

xy例如,

x2图形如右图.

y2

z2

a2如右图，为球面.D

{(

x,

y)

x2

y2

a2

}.a2a2单值分支:

z

x2

y2z

x2

y2

.约定,凡用算式表达的多元函数,除另有说明外,其定义域是指的自然定义域．一元函数的单调性、奇偶性、周期性等性质的定义在多元函数中不再适用，但有界性的定义仍然适用.与一元函数类似，当我们用某个算式表达多元函数时，凡是使算式有意义的自变量所组成的点集称为这个多元函数的自然定义域．定

义

设

函

数

z

f

(

x,

y)

的

定

义

域

为D,

P0

(

x0

,

y0

)是其内点或边界点，如果对于任意给定的正数

，总存在正数

，使得对于适合不

的一02

20

0x

)

(

y

y

)等式0

|

PP

|

(

x

切点，都有|

f

(

x,

y)

A

|成立，则称A为函数z

f

(

x,

y)当x

x0

，

y

y0

时的极限，记为

lim

f

(

x,

y)

Ax

x0y

y0（或

f

(

x,

y)

A

(

0)这里

|

PP0

|）.三、多元函数的极限说明：x

x0y

y0（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．定义中P

P0的方式是任意的，即P

P0

PP0

0二元函数的极限也叫二重极限

lim

f

(

x,

y);例2

求证lim(

x2

y2

)sin证

01x2

y2x0y0

01x2

y2(

x2

y2

)sin1x2

y2

x2

y2

sin

x2

y2

0,

,当

0

(

x

0)2

(

y

0)2

时，

0

1x2

y2(

x2

y2

)sin原结论成立．例3

求极限

limx0y0.sin(

x2

y)2

2x

y解x2

y2sin(

x2

y)limx0y02

,2

2sin(

x2

y)

x2

yx

y

x

y

limx0y0x

ysin(

x2

y)其中limx0y02usin

ulimu0

1,x2x2

y

y21

2

x

0,x0

0.limsin(

x2

y)2x

y2x0y0u

x2

y不存在．证

取26例4

证明limx3

y

yy0x0

x6

2limy

kx3

,x3

y

yy0x0

xx3

kx3

limx0ykx

32

,kx6

k

2

x6

1

k其值随k的不同而变化，故极限不存在．观察z

2

不存在.6x3

ylim

yy0x0

x62

图形,x3

yx

y播放令P(x,y)沿y

kx

趋向于P0

(x0

,y0

)，若极限值与k

有关，则可断言极限不存在；找两种不同趋近方式，使lim

f

(

x,

y)存在，x

x0y

y0但两者不相等，此时也可断言f

(x,y)在点P0

(x0

,y0

)处极限不存在．确定极限不存在的方法：P

P0设n元函数f

(P

)的定义域为点集D,P0

是其内点或边界点.如果对于任意给定的正数

，总存在正数

，使得对于适合不等式0

|

PP0

|

的一切点P

D

，都有|

f

(P

)

A

|

成立，则称A为n元函数f

(P

)当P

P0

时的极限，记为lim

f

(

P

)

A.n元函数的极限推广:设函数f

(x,y)的定义域为点集D,

P0

(x0

,y0

)是D

的内点或边界点,且P0

D，如果lim

f

(

P

)

f

(

P0

),则称函数

f

(

x,

y)在点P

P0P0

处连续(continuation).如果f

(x,y)在点P0

(x0

,y0)处不连续，则称P0

是函数f

(x,y)的间断点.四、多元函数的连续性定义例5

讨论函数0,, (

x,

y)

(0,0)(

x,

y)

(0,0)2

y2f

(

x,

y)

x

x3

y3在(0,0)处的连续性．解取x

cos

,y

sinf

(

x,

y)

f

(0,0)

(sin3

cos3

)

2f

(

x,

y)

f

(0,0)

2

lim

f

(

x,

y)

f

(0,0),(

x

,

y

)(

0,0)故函数在(0,0)处连续.2

0,

,当

0

y2

时x2例6

讨论函数0,,

x2

y2

0x2

y2

0f

(

x,

y)

22x

yxy在(0,0)的连续性．解

取y

kxxyx2

y2limx0y02

2

2kx2

limykxx0

x2

k

x

1

kk其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子表示的函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．例７求

limx0y0xyxy

1

1

.解xy

1

1)xy

1

1y0x0

xy(原式

limxy

1

11

limx0y02

1

.P

P0P

P0数，且

P0

是

f

(

P

)

的定义域的内点，则

f

(

P

)

在点

P0

处连续，于是

lim

f

(

P

)

f

(

P0

).一般地，求

lim

f

(

P

)

时，如果

f

(

P

)

是初等函闭区域上连续函数的性质有界性定理有界闭区域D上的多元连续函数是D上的有界函数．最大值和最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值．介值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．区域、多元函数的概念多元函数极限的概念及极限不存在的判定（注意趋近方式的任意性）多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质五、小结思考题设为空间任一有界闭区域，P为外一点。问上是否一定有到P点最远和最近的点存在？为什么？思考题解答有.设P点的坐标为(x0

,y0

,z0

)，Q(x,y,z)为上任意一点。则两点间距离为PQ

(

x

x0

)

(

y

y

)

(

z

z

)2

2

20

0它是上的连续函数，由闭区域上连续函数的性质可知，一定有最大值和最小值存在，对应的点即为最值点。一、填空题:y1.

若

f

(

x,

y)

x

2

y

2

xy

tan

x

,则

f

(tx,

ty)=

.2.

若f

(x,y)2

xy

y

2x

2,则

f

(2,3)

;yf

(1, )

.(

y

0),则

f

(

x)

.x

2x

yxy

y

23.

若

f

( )

y4.

若

f

(

x

y, )

x

2

y

2

,则

f

(

x,

y)

.4

x

y

2的定义域是

y

2

).x5.

函数z

ln(1

x

2练习题6．函数z

x

y

的定义域是

.x7．函数z

arcsin

y

的定义域是

.y

2

2

x8．函数z

的间断点是

.y

2

2

x二、求下列各极限:xy1.

lim

2

xy

4

；x0y02.xlim

sin

xy

；x0y0(

x

2

y

2

)

x

2

y

21

cos(

x

2

y

2

)3.

limx0y0.三、证明：lim

0.

y

2x

2x0y0xy四、证明极限limx0y0x

yxy

1

1不存在.一、

1.

t

2

f

(

x,

y)；

2.12

13

,f

(

x,

y)；1

x

23.

；

4.x

1

y1

yx

2

；(

x,

y)

0

x

2

y2

1,

y2

4

x；(

x,

y)

x

0,

y

0,

x

2

y

；(

x,

y)

x

0,

x

y

x

(

x,

y)

x

0,

x

y

x；(

x,

y)

y

2

2

x