2021年福建省南平市际会中学高二数学理测试题含解析

2021年福建省南平市际会中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.曲线上一点处的切线方程是(

)A.

B.

C.D.参考答案：C2.设l是空间一条直线，α和β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥β D．若l∥α，l⊥β，则α⊥β参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，l与β相交、平行或l?β；在C中，l与β相交、平行或l?β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由l是空间一条直线，α和β是两个不同的平面，知：在A中：若l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中：若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l?β，故B错误；在C中：若α⊥β，l⊥α，则l与β相交、平行或l?β，故C错误；在D中：若l∥α，l⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：D．3.若椭圆与双曲线有相同焦点，是这两条曲线的一个交点，则的面积是（

）A．4

B．1

C.2

D．参考答案：B4.“x＞1”是“lgx＞1”的（

）条件A、充分不必要

B、必要不充分

C、充要

D、既不充分又不必要

参考答案：D略5.设x，y＞0，且x+2y=3，则+的最小值为（）A．2 B． C．1+ D．3+2参考答案：C【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由已知可将+变形为（+）（x+2y）=（++3）的形式，结合基本不等式可得原式的最小值．【解答】解：∵x，y＞0，且x+2y=3，∴+=（+）（x+2y）=（+）=（++3）≥（+3）=1+当且仅当==时取等号故+的最小值为1+故选C【点评】本题考查的知识点是基本不等式在最值问题中的应用，熟练掌握基本不等式“一正，二定，三相等”的使用要点是解答的关键．6.设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则A．极大值为，极小值为B．极大值为，极小值为C．极大值为，极小值为D．极大值为，极小值为参考答案：D7.抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是

(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：C8.计算定积分（2x﹣）dx的值是（）A．0 B． C． D．参考答案：B【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：（2x﹣）dx=（x2+）|=（9+）﹣（1+1）=，故选：B．9.已知某种产品的支出广告额x与利润额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x34567y2030304060则回归直线方程必过（）A．（5，36） B．（5，35） C．（5，30） D．（4，30）参考答案：A【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心坐标即可．【解答】解：由题意可知回归直线方程必过样本中心坐标（，），即（5，36）．故选：A．10.若复数（i为虚数单位），则|z|=（）A． B． C． D．参考答案：D【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算．【解答】解：∵=，∴．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若两平行直线3x–2y–1=0和6x+ay+c=0之间的距离是，则的值为

.参考答案：±112.将三项式（x2+x+1）n展开，当n=0，1，2，3，…时，得到以下等式：

（x2+x+1）0=1

（x2+x+1）1=x2+x+1

（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1

（x2+x+1）3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1

…

观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数．若在（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x8项的系数为67，则实数a值为________．

参考答案：

【考点】进行简单的合情推理【解答】解：由题意可得广义杨辉三角形第5行为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，

所以（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x8项的系数为15+30a=67，

所以a=．

故答案为：．

【分析】由题意可得广义杨辉三角形第5行为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，所以（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x8项的系数为15+30a=75，即可求出实数a的值．

13.计算：+=_________．（用数字作答）参考答案：略14.设f（x）=﹣x3+x2+2ax，若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是

．参考答案：a＞

【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，即f′（x）＞0在（，+∞）上有解，只需f′（）＞0即可，根据一元二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：∵，∴函数的导数为f′（x）=﹣x2+x+2a，若函数f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，即f′（x）＞0在（，+∞）上有解∵f′（x）=﹣x2+x+2a，∴只需f′（）＞0即可，由f′（）=﹣++2a=2a+＞0，解得a＞，故答案为：a＞．15.已知圆,圆内有定点,圆周上有两个动点，，使，则矩形的顶点的轨迹方程为

．参考答案：略16.在△ABC中，已知，则△ABC的形状为________.参考答案：略17.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米．已知每出售1mL饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm，则瓶子半径为

cm时，每瓶饮料的利润最小．参考答案：1【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】先确定利润函数，再利用求导的方法，即可得到结论．【解答】解：由于瓶子的半径为rcm，每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商制作的瓶子的最大半径为6cm，∴每瓶饮料的利润是y=f（r）=0.2×πr3﹣0.8πr2，0＜r≤6，令f′（r）=0.8πr2﹣0.8πr=0，则r=1，当r∈（0，1）时，f′（r）＜0；当r∈（1，6）时，f′（r）＞0．∴函数y=f（r）在（0，1）上单调递减，在（1，6）上单调递增，∴r=1时，每瓶饮料的利润最小．故答案为：1．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知正项数列{an}首项为2，其前n项和为Sn，满足2Sn－Sn-1＝4(n∈N*，n≥2)．（1）求,的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设(n∈N*)，数列{bn·bn＋2}的前n项和为Tn，求证：Tn<.参考答案：(1),;(2).(3)见解析.【分析】（1）由递推条件取n=2,3可得.（2）由递推条件迭代，两式相减得到数列相邻两项的关系，判断为等比数列，可得通项公式.（3）利用裂项消去法对求和化简，可证不等式成立.【详解】(1),;(2)由2Sn－Sn-1＝4，得2Sn-1－Sn-2＝4(n∈N*，n≥3)，解得(n∈N*，n≥3)，又，所以数列{an}是首项为2，公比为的等比数列．故.(3)证明：因为,所以.故数列的前n项和.【点睛】本题考查数列通项与前n项和的求法，要求掌握通项与前n项和的关系，将进行裂项变形是求和的关键，考查计算能力，属于中档题.19.已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求的值；

（2）求的极大值.参考答案：略20.已知函数f（x）=（m，n为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=；（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=f′（x）?（其中f'（x）为f（x）的导函数），证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，利用函数的切线方程的斜率，与切线方程即可求m，n的值；（Ⅱ）利用导函数直接求出导函数的大于0以及小于0的x的范围即可求f（x）的单调区间；（Ⅲ）化简g（x）=f′（x）?（其中f'（x）为f（x）的导函数），通过构造新函数p（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），通过导数求出p（x）的最大值为p（e﹣2），得到1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2．再构造函数q（x）=x﹣ln（1+x），利用对数的单调性推出q（x）＞q（0）=0，然后证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．【解答】解：（Ⅰ）由得（x＞0）．由已知得，解得m=n．又，即n=2，∴m=n=2．…（Ⅱ）由（Ⅰ）得，令p（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），当x∈（0，1）时，p（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，p（x）＜0，又ex＞0，所以当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；

当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，∴f（x）的单调增区间是（0，1），f（x）的单调减区间是（1，+∞）．…（8分）（Ⅲ）证明：由已知有，x∈（0，+∞），于是对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2等价于，由（Ⅱ）知p（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），∴p'（x）=﹣lnx﹣2=﹣（lnx﹣lne﹣2），x∈（0，+∞）．易得当x∈（0，e﹣2）时，p'（x）＞0，即p（x）单调递增；当x∈（e﹣2，+∞）时，p'（x）＜0，即p（x）单调递减．所以p（x）的最大值为p（e﹣2）=1+e﹣2，故1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2．设q（x）=x﹣ln（1+x），则，因此，当x∈（0，+∞）时，q（x）单调递增，q（x）＞q（0）=0．故当x∈（0，+∞）时，q（x）=x﹣ln（1+x）＞0，即．∴1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2＜．∴对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．…（14分）【点评】本题考查函数的单调性，函数的最值的应用，构造法以及函数的导数的多次应用，题目的难度大，不易理解．21.(12分)如图，AB是⊙O的直径，C、F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CH⊥AB，垂足为点H． （Ⅰ）求证：DC是⊙O的切线：（Ⅱ）求证：AH·HB=DF