2022年广东省佛山市容里中学高三数学理联考试题含解析

2022年广东省佛山市容里中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知中，分别是角的对边，，则=

A.

B.

C.或

D.

参考答案：B2.若函数f(x)(x∈R)是奇函数，则（

）A．函数f(x2)是奇函数

B．函数[f(x)]2是奇函数C．函数f(x)x2是奇函数

D．函数f(x)＋x2是奇函数

参考答案：C3.已知i为虚数单位，复数的共扼复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

参考答案：B4.下列有关命题的说法正确的是（

）A．命题“若，则”的否命题为“若，则”B．“”是“”的必要而不充分条件C．命题“存在，使得”的否定是“对任意，均有”D．命题“若，则”的逆否命题为真命题参考答案：D略5.在等差数列等于(

)

A．9

B．27

C．18

D．54参考答案：A6.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是（

）参考答案：A7.已知复数z=（2+i）（a+2i3）在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（4，+∞） C．（﹣1，4） D．（﹣4，﹣1）参考答案：C【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、不等式的解法、几何意义即可得出．【解答】解：复数z=（2+i）（a+2i3）=（2+i）（a﹣2i）=2a+2+（a﹣4）i，在复平面内对应的点（2a+2，a﹣4）在第四象限，则2a+2＞0，a﹣4＜0，解得﹣1＜a＜4．实数a的取值范围是（﹣1，4）．故选：C．8.设，函数的导函数是，若是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为

（）A．

B．

C．

D．参考答案：A9.已知长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A．B．C．D．

参考答案：C略10.在△ABC中，D为线段BC上一点，且，则（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】根据向量线性运算和数乘运算即可求得结果.【详解】如下图所示：本题正确选项：D【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够利用线性运算和数乘运算来进行转化.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，是数列的前n项和，则

=

．参考答案：1略12.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋与直线y＝x相切于点A(1,1)，若对任意x∈[1,9]，不等式f(x－t)≤x恒成立，则所有满足条件的实数t组成的集合为__________．参考答案：{4}略13.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为______．参考答案：14.

在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点.若函数的图象恰好经过k个格点，则称函数为k阶格点函数.已知下列函数：①②;③;④.则其中为一阶格点函数的序号为

参考答案：答案：②④15.抛掷一枚硬币，出现正面向上记1分，出现反面向上记2分，若一共抛出硬币4次，且每一次抛掷的结果相互之间没有影响，则得6分的概率为

.参考答案：16.已知向量和的夹角为120°，，则=．参考答案：7略17.曲线y=x3在点P(1,1)处的切线方程为_________________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相同的单位长度，已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρcos2θ=2sinθ．（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，点M为AB的中点，点P的极坐标为，求|PM|的值．参考答案：【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）消去参数t得直线l的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化方法求曲线C的直角坐标方程；（2）求出M，P的直角坐标，即可求|PM|的值．【解答】解：（1）因为直线的参数方程是（t为参数），消去参数t得直线l的普通方程为x﹣y+3=0…（2分）由曲线C的极坐标方程ρcos2θ=2sinθ，得ρ2cos2θ=2ρsinθ，…（3分）所以曲线C的直角坐标方程为x2=2y．…（2）由，消去y得x2﹣2x﹣6=0…（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB的中点．因为x1+x2=2，∴M（1，4）…（8分）又点P的直角坐标为（1，1），…（9分）所以…（10分）【点评】本题考查了直角坐标方程化为参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与抛物线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.已知曲线C：，直线l：ρ（cosθ﹣2sinθ）=12．（1）将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点P在曲线C上，求P点到直线l距离的最小值．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；IT：点到直线的距离公式；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（1）先将ρ（cosθ﹣2sinθ）=12的左式去括号，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．（2）先依据点P在曲线C：，设P（3cosθ，2sinθ），利用点到直线的距离列出函数式，最后求此函数的最小值即可．【解答】解：（1）∵ρ（cosθ﹣2sinθ）=12，∴ρcosθ﹣2ρsinθ=12，即：x﹣2y﹣12=0；∴直线l的极坐标方程化为直角坐标方程为x﹣2y﹣12=0（4分）（2）设P（3cosθ，2sinθ），∴=（其中，当cos（θ+φ）=1时，，∴P点到直线l的距离的最小值为．（10分）【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．20.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)若，且，求及参考答案：解(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝61，解得a·b＝－6.∴cosθ＝＝＝－，又0≤θ≤π，∴θ＝.(2)

，略21.已知函数，，其中.（1）求过点(2,0)和函数的图像相切的直线方程；（2）若对任意，有恒成立，求a的取值范围；（3）若存在唯一的整数，使得，求a的取值范围.参考答案：（1）设切点为，，则切线斜率为，所以切线方程为，因为切线过，所以，化简得，解得.当时，切线方程为，当时，切线方程为.（2）由题意，对任意有恒成立，①当时，，令，则，令得，，故此时.②当时，恒成立，故此时.③当时，，令，，故此时.综上：.（3）因为，即，由（2）知，令，则当，存在唯一的整数使得，等价于存在唯一的整数成立，因为最大，，，所以当时，至少有两个整数成立，所以.当，存在唯一的整数使得，等价于存在唯一的整数成立，因为最小，且，，所以当时，至少有两个整数成立，所以当时，没有整数成立，所有.综上：.

22.（本小题满分13分）某高中从学生体能测试结果中随机抽取100名学生的测试结果，按体重（单位：kg）分组，得到的频率分布表如右图所示．（Ⅰ）请求出频率分布表中①、②位置相应的数据；（Ⅱ）从第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进行第二次测试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二次测试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，在6名学生中随机抽取2名学生由李老师进行测试，求第4组至少有一名学生被李老师测试的概率？参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）3人，2人，1人；（Ⅲ）

【知识点】古典概型；分层抽样方法；频率分布直方图．B4解析：（Ⅰ）由题可知第2组的频数为人，第三组的频率为；（Ⅱ）因为第3,4,5组共有60名学生，所以利用