2022年安徽省六安市舒城县南港中学高三数学理期末试题含解析

2022年安徽省六安市舒城县南港中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，则的值为（

）A.

B.0

C.-1

D.1参考答案：B2.设函数f（x）在其定义域D上的导函数为f′（x），如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈D，都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x2﹣ax+1），则称函数f（x）具有性质ω（a），给出下列四个函数：①f（x）=x3﹣x2+x+1；

②f（x）=lnx+；③f（x）=（x2﹣4x+5）ex；

④f（x）=其中具有性质ω（2）的函数为（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④参考答案：A【考点】指数型复合函数的性质及应用．【分析】因为a=2，所以先求出函数f（x）的导函数f′（x），然后将其配凑成f′（x）=h（x）（x2﹣2x+1）这种形式，分别求出h（x），然后确定h（x）是否满足对任意的x∈D都有h（x）＞0．【解答】解：①f'（x）=x2﹣2x+1，若f′（x）=h（x）（x2﹣2x+1），即x2﹣2x+1=h（x）（x2﹣2x+1），所以h（x）=1＞0，满足条件，所以①具有性质ω（2）．②函数f（x）=lnx++的定义域为（0，+∞）．f′（x）=﹣==?（x2﹣2x+1），所以h（x）=，当x∈（0，+∞）时，h（x）＞0，所以②具有性质ω（2）．③f'（x）=（2x﹣4）ex+（x2﹣4x+5）ex=（x2﹣2x+1）ex，所以h（x）=ex，因为h（x）＞0，所以③具有性质ω（2）．④f′（x）==，若f′（x）=?（x2﹣2x+1），则h（x）=，因为h（1）不存在，所以不满足对任意的x∈D都有h（x）＞0，所以④不具有性质ω（2），故选：A．3.设x=1是函数的极值点，数列，若表示不超过x的最大整数，则=（

）A．2017

B．2018

C．2019 D．2020参考答案：A4.函数f(x)＝ln(3x－4x)的定义域为A.(0，1og43)

B.(0，1og34)

C.(－∞，0)

D.(0.＋∞)参考答案：C5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A． B． C． D．1参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．据此即可得到体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．∴．因此V===．故选B．6.集合,则A．

B．

C．

D．参考答案：答案:C

7.已知函数，其导函数为．①的单调减区间是；

②的极小值是；③当时，对任意的且，恒有④函数有且只有一个零点。

其中真命题的个数为（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：C

，由，即，解得，所以的单调减区间是，所以①错误。，由，即，解得或，所以函数在处取得极小值，所以②正确。因为，且，所以，所以成立，所以③正确。由②知函数在处取得极大值所以函数有且只有一个零点。所以④正确。综上正确的为②③④三个，选C.8.已知抛物线：，O是坐标原点，点P是抛物线C在第一象限内的一点，若点P到y轴的距离等于点P到抛物线C的焦点的距离的一半，则直线OP的斜率为（

）A. B. C.2 D.3参考答案：C【分析】设出点P的坐标，根据抛物线定义及题设条件，可用p表示点P的坐标，进而求得的斜率。【详解】设点为，则由抛物线的定义知点到抛物线的焦点的距离为，同时由题知这个距离也等于，所以，解得，，于是，故选C.【点睛】本题考查了抛物线的定义及应用，属于基础题。9.如图程序框图中，若输入m=4，n=10，则输出a，i的值分别是（）A．12，4 B．16，5 C．20，5 D．24，6参考答案：C考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序，依次写出每次循环得到的i，a的值，当a=20时，满足条件n整除a，退出循环，输出a的值为20，i的值为5．解答：解：模拟执行程序，可得m=4，n=10，i=1a=4，不满足条件n整除a，i=2，a=8不满足条件n整除a，i=3，a=12不满足条件n整除a，i=4，a=16不满足条件n整除a，i=5，a=20满足条件n整除a，退出循环，输出a的值为20，i的值为5．故选：C．点评：本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的i，a的值是解题的关键，属于基本知识的考查．10.设函数，，若实数a、b满足，，则（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】确定函数单调递增，且，计算得到，再代入计算比较大小关系.【详解】，，故，函数单调递增.，，即.，故或（舍去），故，，故.故选：D.【点睛】本题考查了根据导数判断单调性，零点存在定理，意在考查学生的综合应用能力.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若关于x，y的不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则k的值为

．参考答案：或.试题分析：由于不等式组表示的平面区域是直角三角形，当时，平面区域是直角三角形，当与直线垂直时符号题意，此时.考点：线性规划的应用.12.已知函数f（x）=，若有三个不同的实数a，b，c，使得f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为

．参考答案：（2π，2016π）考点：分段函数的应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：如图所示，不妨设a＜b＜c，由于f（a）=f（b）=f（c），可得0＜a＜b＜π＜c＜2015π，a+b=π，即可得出．解答： 解：如图所示，当x∈时，f（x）=sinx．不妨设a＜b＜c，若满足f（a）=f（b）=f（c），则0＜a＜b＜π＜c＜2015π，a+b=π，∴2π＜a+b+c＜2016π．∴a+b+c的取值范围为（2π，2016π）．故答案为：（2π，2016π）．点评：本题考查了三角函数与对数函数的图象与性质、函数图象的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.△ABC中，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值为____________参考答案：

14.已知，直线交圆于两点，则

．参考答案：15.已知函数，若x1,x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)成立，则实数a的取值范围是

▲

． 参考答案：(－∞,4)16.设点A为圆上动点，点B（2，0），点为原点，那么的最大值为

.参考答案：45°17.已知函数的两个极值点分别为x1，x2，且，，记分别以为横、纵坐标的点表示的平面区域为D，若函数的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）设函数，，，记.（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）当时，若函数没有零点，求的取值范围.参考答案：(I)，则函数在处的切线的斜率为.又，所以函数在处的切线方程为,即

………………4分

（Ⅱ），，（）.①当时，，在区间上单调递增；②当时，令，解得；令，解得.综上所述，当时，函数的增区间是；当时，函数的增区间是，减区间是.………………9分

（Ⅲ）依题意，函数没有零点，即无解.由（Ⅱ）知，当时，函数在区间上为增函数,区间上为减函数，由于，只需，解得.所以实数的取值范围为.

…………………13分19.（本小题满分10分）设二次函数在区间上的最大值、最小值分别是M、m，集合．若，且，求M和m的值；参考答案：由又，20.口袋中有n(n∈N＊)个白球，3个红球.依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球.记取球的次数为X,若,求：

（1）n的值；

（2）X的概率分布与数学期望.参考答案：解：（1）由题知

（2）由题知，X的可能取值为1，2，3，4，所以所以，X的概率分布表为X1234P所以答X的数学期望是

略21.已知椭圆经过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设分别为椭圆的左、右焦点，不经过的直线与椭圆交于两个不同的点，如果直线、、的斜率依次成等差数列，求焦点到直线的距离的取值范围.参考答案：（1）由题意，知考虑到，解得所以，所求椭圆C的方程为.

（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，整理得.由，得.

①设，，则，.因为，所以，.因为，且，，所以.因为直线AB：不过焦点，所以，所以，从而，即.

②由①②得，化简得.

③焦点到直线：的距离.令，由知.于是.考虑到函数在上单调递减，所以，解得.

22.（本题满分12分）某物流公司送货员从公司A处准备开车送货到某单位B处．若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图所示（例如A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为）．（Ⅰ）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；（Ⅱ）若记路线A→C→F→B中遇到堵车的次数为随机变量，求的数学期望．参考答案：（Ⅰ）路线A→E→F→B途中堵车概率为； 路线