2021-2022学年安徽省合肥市姚庙中学高三数学理月考试题含解析

2021-2022学年安徽省合肥市姚庙中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如果执行右面的算法语句输出结果是2，则输入的值是(

)A．0

B．或2

C．2

D．0或2参考答案：D若；若，所以输入的值是0或2。2.函数的图象与直线相切，则(

)(A)

(B)

(C)

(D)1参考答案：答案：B3.在下列条件中，可判断平面α与β平行的是

（

）

A．α、β都垂直于平面r.

B．α内存在不共线的三点到β的距离相等.

C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β.

D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α,l∥β，m∥β.参考答案：答案：D4.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a，b，c成等比数列，A=600，则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略5.已知集合，则（

）

参考答案：B6.已知i为虚数单位，复数z满足，则复数z的虚部为（

）A. B. C. D.参考答案：D化简复数可得所以虚部为所以选D

7.若直线ax+by=1与圆x2+y2＝1相离，则点(a,b)与此圆的位置关系是A、在圆上B、在圆外C、在圆内D、不能确定参考答案：答案：C8.设，均不为0，则“”是“关于的不等式的解集相同”的

（

）

A．充分必要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C略9.已知，若函数有四个零点，则实数a的取值范围是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B由函数f（x）为偶函数，可知使函数f（x）有四个零点，只需要ex-ax2=0有两个正根，即=-a有两个正根，设g（x）=，x＞0，求导g′（x）=,令g′（x）＞0，解得：0＜x＜2，g（x）在（0，2）单调递减，令g′（x）＜0，解得：x＞2，g（x）在（2，+∞）单调递增，∴g（x）在x=2时取最大值，最大值g（2）=﹣，要使=-a有两个正根，即使g（x）与y=-a有两个交点，故实数a的范围是.故答案为：B.

10.已知，则的值为（

）（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某厂生产某种产品的所固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为,当年产量不足80千件时,(万元),当年产量不小于80千件时,(万元),每件商品售价为0.55万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(Ⅰ)写出年利润(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(Ⅱ)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的产生中所获利润最大?

参考答案：略12.已知直线的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为

．参考答案：

13.已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为__________。（把你认为正确的答案全部写上）参考答案：4、5、32(不全不得分)（1）若为偶数，则为偶,故①当仍为偶数时，

故②当为奇数时，故得m=4。（2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数，所以=1可得m=5

14.（5分）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是

▲

．参考答案：。【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离∵圆C的方程可化为：，∴圆C的圆心为，半径为1。∵由题意，直线上至少存在一点，以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点；∴存在，使得成立，即。∵即为点到直线的距离，∴，解得。∴的最大值是。15.已知△中，角所对边分别为，若．则的最小值为

．参考答案：116.对于实数x，用[x]表示不超过x的最大整数，如[0．3]=0，[5．6]=5．若n∈N*，an=,Sn为数列{an}的前n项和，则S8=

；S4n=

。参考答案：略17.在（1+x）5﹣（1+x）6的展开式中，含x3的项的系数是

．参考答案：﹣10考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：分别在（1+x）5﹣的展开式的通项Tr+1=C5rxr（1+x）6展开式的通项Tk+1=C6kxk，令r=3，k=3可求解答： 解：（1+x）5﹣的展开式的通项Tr+1=C5rxr令r=3可得，T4=C53x3的展开式的通项Tk+1=C6kxk，令k=3可得T4=C63x3∴含x3的项的系数是C53﹣C63=10﹣20=﹣10故答案为：﹣10点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定的项，属于基础试题三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值.参考答案：解：由余弦定理，因此．……………4分在中，．

……………6分由已知条件，应用正弦定理，…10分解得，从而．

………12分19.（本小题满分14分）若函数对任意的实数，，均有，则称函数是区间上的“平缓函数”.ks5u(1)判断和是不是实数集R上的“平缓函数”，并说明理由；(2)若数列对所有的正整数都有，设,求证：.参考答案：（本小题主要考查函数、绝对值不等式等基础知识，考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1)解：是R上的“平缓函数”，但不是区间R的“平缓函数”；设，则,则是实数集R上的增函数，不妨设，则，即，

则.

①

……………1分又也是R上的增函数，则，

即，

②

……………2分由①、②得

.

因此,，对都成立.

……………3分当时，同理有成立又当时，不等式，故对任意的实数，R,均有.因此是R上的“平缓函数”.

……………5分由于

……………6分取，，则，

……………7分因此，不是区间R的“平缓函数”.

……………8分（2）证明:由（1）得：是R上的“平缓函数”，则，所以.

…………9分而，∴.

……………10分∵,………11分∴.

……………12分∴

……………13分

.

……………14分20.(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中,O为极点,半径为2的圆C的圆心的极坐标为.(1)

求圆C的极坐标方程；(2)

在以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立的直角坐标系中，直线的参数方程为

（t为参数），直线与圆C相交于A，B两点，已知定点,求|MA|·|MB|。参考答案：（1）设是圆上任意一点，则在等腰三角形COP中，OC=2，OP=,，而所以，即为所求的圆C的极坐标方程。

……5分（2）圆C的直角坐标方程为

，即：将直线的参数方程

（t为参数）代入圆C的方程得：，其两根满足所以，|MA|·|MB|

………………10分21.设f（x）=（ax+b）e﹣2x，曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为x+y﹣1=0．（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+xlnx，证明：当0＜x＜1时，2e﹣2﹣e﹣1＜g（x）＜1．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，由切线的方程可得f（0）=1，f′（0）=﹣1，解方程可得a=b=1；（Ⅱ）g（x）=f（x）+xlnx=（x+1）e﹣2x，由h（x）=xlnx，求得导数，求出单调区间，可得最小值；再由f（x）的单调性可得f（x）的范围，结合x趋向于0，可得g（x）＜1，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（ax+b）e﹣2x的导数为f′（x）=（a﹣2b﹣2ax）e﹣2x，由在（0，f（0））处的切线方程为x+y﹣1=0，可得f（0）=1，f′（0）=﹣1，即为b=1，a﹣2b=﹣1，解得a=b=1；（Ⅱ）证明：g（x）=f（x）+xlnx=（x+1）e﹣2x，由h（x）=xlnx的导数为y′=1+lnx，当x＞时，h′（x）＞0，函数h（x）递增；当0＜x＜时，h′（x）＜0，函数h（x）递减．即有x=处取得最小值，且为﹣e﹣1；f（x）的导数为（﹣1﹣2x）e﹣2x，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）＞f（1）=2e﹣2；则g（x）＞2e﹣2﹣e﹣1；由x→0时，g（x）→1，则有g（x）＜1，综上可得，当0＜x＜1时，2e﹣2﹣e﹣1＜g（x）＜1．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用函数的最值的性质和极限的思想，属于中档题．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求的最小值以及此时P的直角坐标.参考答案：（1）：，：；（2），此时.试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.试题