2021年浙江省金华市北溪中学高三数学理月考试题含解析

2021年浙江省金华市北溪中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则A.

B.

C.

D.参考答案：B2.设{an}是等差数列，下列结论一定正确的是（

）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则参考答案：C【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．【详解】若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3＝2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；对于B选项，当，分别为-4，-1，2时，满足a1+a3＜0，但a2+a3＝1>0，故B不正确；又{an}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2＝a1+a3＞2，∴a2，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＝﹣d2≤0，即D不正确．故选：C．【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用，考查分析问题的能力，比较基础．3.已知函数在上是增函数，，若，则x的取值范围是

(

)

A．（0,10） B． C． D．参考答案：C略4.偶函数在内可导，且，则在点（-5，）处切线的斜率为（

）A．-2

B．2

C．1

D．-1参考答案：B5.抛物线与直线交于A，B两点，其中A点的坐标是（1，2）．该抛物线的焦点为F，则A．7 B． C．6 D．5参考答案：A略6.在三棱锥S—ABC中，AB⊥BC,AB=BC=,SA=SC=2,，二面角S—AC—B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是（

）A．

B．

C．24

D．6参考答案：D7.把已知正整数表示为若干个正整数（至少3个，且可以相等）之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：（1，4，7）与（7，1，4）为12的相同等差分拆．正整数27的不同等差分拆有(

)个.A.

9

B.10

C.11

D.12参考答案：C略8.（5分）数列{an}是正项等比数列，{bn}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定参考答案：B【考点】：数列的函数特性．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由于{bn}是等差数列，可得b4+b10=2b7．已知a6=b7，于是b4+b10=2a6．由于数列{an}是正项等比数列，可得a3+a9=≥=2a6．即可得出．解：∵{bn}是等差数列，∴b4+b10=2b7，∵a6=b7，∴b4+b10=2a6，∵数列{an}是正项等比数列，∴a3+a9=≥=2a6，∴a3+a9≥b4+b10．故选：B．【点评】：本题考查了等差数列与等比数列的性质、基本不等式的性质，属于中档题．9.若复数z满足，i为虚数单位，则在复平面内z对应的点的坐标是

4．（4，2）

B．（4，-2）

C．（2，4）

D．（2，-4）参考答案：D10.“”是“”的

（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=+alnx，若对任意两个不等的正实数x1，x2都有＞2恒成立，则实数a的取值范围是．参考答案：[1，+∞）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】方法一：由题意可知：当x＞0时，f′（x）＞2恒成立，则a＞2x﹣2x2，在（0，+∞）上恒成立，即a＞g（x）max，根据二次函数的性质，即可求得实数a的取值范围；方法二：构造函数g（x）=f（x）﹣2x，x＞0，求导，由题意可知f′（x）＞2，（0，+∞）上恒成立，则a＞h（x）max，根据二次函数的性质，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：方法一：对任意两个不等的正实数x1，x2都有＞2恒成立，则当x＞0时，f′（x）＞2恒成立f′（x）=x+＞2，在（0，+∞）上恒成立，则a＞2x﹣x2，在（0，+∞）上恒成立，设g（x）=2x﹣x2，x＞0，函数的对称轴为x=1，则当x=1时，取最大值，最大值为g（x）max=1，∴a＞1，则实数a的取值范围[1，+∞），故答案为：[1，+∞）．方法二：设g（x）=f（x）﹣2x，x＞0，求导g′（x）=f′（x）﹣2，由＞2，则g′（x）=f′（x）﹣2＞0，则f′（x）＞2，即f′（x）=x+≥2，在（0，+∞）上恒成立，则a≥2x﹣x2，在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=2x﹣x2，x＞0，函数的对称轴为x=1，则当x=1时，取最大值，最大值为h（x）max=1，∴a≥1，则实数a的取值范围[1，+∞），故答案为：[1，+∞）．12.已知函数，若对任意实数x，恒有，则____．参考答案：【分析】对进行化简得到，根据正弦函数和二次函数的单调性得到，进而确定，，，利用两角差的余弦公式得到。【详解】对任意实数，恒有则即，【点睛】本题的关键在于“变角”将变为结合诱导公式，从而变成正弦的二倍角公式。13.已知函数，若，那么__________参考答案：略14.已知向量__________；高考资源网

参考答案：-15

略15.若实数满足，则的最小值为___________.参考答案：1略16.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是

寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）参考答案：3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上地面面积即可得到答案．【解答】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．因为积水深9寸，所以水面半径为寸．则盆中水的体积为（立方寸）．所以则平地降雨量等于（寸）．故答案为3．17.已知集合，，则_____________．参考答案：，，所以。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若方程有两个不相等的实数根，，求证：．参考答案：（1）当时，单调增区间为，无减区间当时，单调增区间为，单调减区间为（2）见详解

【分析】（1）

对函数求导，，讨论与时导函数的正负，来确定函数单调区间．（2）

将代入方程，两式相减得，构造证明在定义域内恒成立即可．【详解】（1）当时，，函数在区间内单调递增，所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当，由，得，由，得，所以函数的单调递增区间为，单调减区间为．（2）因为是方程的两个不相等的实数根，故由（1）得，不妨设，则和两式相减可得，因为，所以，即，要证，只需证，因为，所以，故只需证明即证明，设，即证明令，则，因为，所以，所以在为增函数，所以，即．【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，综合性较强，难度大．19.(本小题满分12分）在正四棱锥V-ABCD中，P，Q分别为棱VB，VD的中点，点M在边BC上，且BM:BC=1：3，AB=，VA=6.(I)求证CQ丄AP;(II)求二面角B-AP-M的余弦值.参考答案：设正方形的中心为，为的中点，为的中点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，在中，可得，则，.于是.（Ⅰ）∵，∴，即⊥；

…6分

（Ⅱ）设平面的法向量为，由得故，同理可得平面的法向量为，设二面角的平面角为，则．

…12分略20.（本小题满分13分）已知函数f(x)=x3-2ax2+3x(x∈R).（1）若a=1,点P为曲线y=f(x)上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；（2）若函数y=f(x)在（0，+∞）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a.参考答案：21.

已知各项均为正数的数列满足，且，其中．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，记数列的前n项积为，其中试比较与9的大小，燕加以证明。参考答案：22.在一次数学统考后，某班随