2021年浙江省温州市灵溪镇第二中学高三数学文上学期期末试题含解析

2021年浙江省温州市灵溪镇第二中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量,则的充要条件是（）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.已知集合A={0,2}，B={－2,－1,0,1,2}，则A∩B=（

）A．{0,2} B．{1,2} C．{0} D．{－2,－1,0,1,2}参考答案：A根据集合交集中元素的特征，可以求得A∩B={0,2} ，故选A.3.一个含有项的等比数列，其中每一项都是小于的正整数，这项的和为，如果是数列中奇数项之和，则等于（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B4.已知变量满足约束条件则的最小值为（

）A．1

B.2

C．4

D.

10参考答案：B略5.（05年全国卷Ⅲ）

(

)A

B

C

1

D

参考答案：答案：B6.若复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或3参考答案：B【考点】A2：复数的基本概念．【分析】根据复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，可得x2+2x﹣3=0，x+3≠0，解得x．【解答】解：∵复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，∴x2+2x﹣3=0，x+3≠0，解得x=1．故选：B．7.条件p：，条件q：，则是的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A8.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为，若，三角形面积为，，则

（▲）A．7

B．8

C．5

D．6参考答案：A9.若函数存在极值，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A10.已知命题p：，，则是（）A.， B.， C.， D.，参考答案：D【分析】根据全称命题的否定方法，结合已知中的原命题，可得答案．【详解】∵命题p：?x＞0，总有lgx＞0，∴命题?p为：?x0＞0，使得lgx0≤0，故选：D．【点睛】本题考查了命题的否定，考查了推理能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在极坐标系中，曲线的方程是，过点作曲线的切线，则切线长为

;参考答案：12.

已知函数若，则

.参考答案：或13.某学校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程序的破坏，但可见部分如下图，据此可以了解分数在的频率为

，并且推算全班人数为

。参考答案：

25

略14.设变量满足约束条件，则的最大值是

参考答案：5略15.已知y=f（x）是R上的偶函数，对于任意的x∈R，均有f（x）=f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=（x﹣1）2，则函数g（x）=f（x）﹣log2017|x﹣1|的所有零点之和为

．参考答案：2016

【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题意可求得函数是一个周期函数，且周期为2，故可以研究出一个周期上的函数图象，再研究所给的区间包含了几个周期即可知道函数g（x）=f（x）﹣log2017|x﹣1|的所有零点之和．【解答】解：由题意可得函数f（x）是R上的偶函数，可得f（﹣x）=f（x），f（2﹣x）=f（x），故可得f（﹣x）=f（2﹣x），即f（x）=f（x﹣2），即函数的周期是2，y=log2017|x﹣1|在（1，+∞）上单调递增函数，当x=2018时，log2017|x﹣1|=1，∴当x＞2018时，y=log2017|x﹣1|＞1，此时与函数y=f（x）无交点．根据周期性，利用y=log5|x﹣1|的图象和f（x）的图象都关于直线x=1对称，则函数g（x）=f（x）﹣log2017|x﹣1|的所有零点之和为﹣2015﹣2013﹣…﹣3﹣1+3+5…+2017=2016，故答案为：2016．【点评】本题考查函数的零点，求解本题，关键是研究出函数f（x）性质．16.已知向量，向量，且，则

;参考答案：617.若，则tan的值是

参考答案：２略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知，，.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积.参考答案：（I）；（II）【分析】（Ⅰ）先根据二倍角余弦公式求，再根据正弦定理求的值；（Ⅱ）根据余弦定理求的值，再根据三角形面积公式求面积.【详解】（Ⅰ）由得因为，∴由，，由正弦定理得（Ⅱ）角为锐角，则由余弦定理得即，或（舍去）所以的面积【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.19.如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径，过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC?BC=AD?AE；

（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）如图所示，连接BE．由于AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E与∠ACB都是所对的圆周角，可得∠E=∠ACB．进而得到△ABE∽△ADC，即可得到．（II）利用切割线定理可得CF2=AF?BF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得AF：FC=AC：BC，进而根据sin∠ACD=sin∠AEB，即可得出答案．【解答】证明：（I）如图所示，连接BE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．又∠E与∠ACB都是所对的圆周角，∴∠E=∠ACB．∵AD⊥BC，∠ADC=90°．∴△ABE∽△ADC，∴AB：AD=AE：AC，∴AB?AC=AD?AE．又AB=BC，∴BC?AC=AD?AE．解：（II）∵CF是⊙O的切线，∴CF2=AF?BF，∵AF=2，CF=2，∴（2）2=2BF，解得BF=4．∴AB=BF﹣AF=2．∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴AF：FC=AC：BC，∴AC==．∴cos∠ACD=，∴sin∠ACD==sin∠AEB，∴AE=．20.微信是当前主要的社交应用之一，有着几亿用户，覆盖范围广，及时快捷。作为移动支付的重要形式，微信支付成为人们支付的重要方式和手段。某公司为了解人们对“微信支付”认可度，对[15,45]年龄段的人群随机抽取人进行了一次“你是否喜欢微信支付”的问卷调查，根据调查结果得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组号分组喜欢微信支付的人数喜欢微信支付的人数占本组的频率第一组[15,20)1200.6第二组[20,25)195p第三组[25,30)a0.5第四组[30,35)600.4第五组[35,40)300.3第六组[40,45)150.3

（1）补全频率分布直方图，并求，，的值；（2）在第四、五、六组“喜欢微信支付”的人中，用分层抽样的方法抽取7人参加“微信支付日鼓励金”活动，求第四、五、六组应分别抽取的人数；（3）在（2）中抽取的7人中随机选派2人做采访嘉宾，求所选派的2人没有第四组人的概率.参考答案：（1）画图（见右图）

………………（2分）由频率表中第四组数据可知，第四组总人数为，再结合频率分布直方图

可知

………………（3分）所以

………………（4分）第二组的频率为，所以

………………（5分）（2）因为第四、五、六组“喜欢微信支付”的人数共有105人，由分层抽样原理可知，第四、五、六组分别取的人数为4人，2人，1人.

………………（7分）（3）设第四组4人为：，第五组2人为：，第六组1人为：.则从7人中随机抽取2名所有可能的结果为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种；其中恰好没有第四组人的所有可能结果为：，共3种；所以所抽取的2人中恰好没有第四组人的概率为.

………………（12分）21.已知函数，（a为常数，且）.（1）若当时，函数与的图象有且只要一个交点，试确定自然数的值，使得（参考数值，，，）；（2）当时，证明：（其中e为自然对数的底数）.参考答案：解：（1）记，则，当时，因为，，函数单调递增，，函数无零点，即函数与的图象无交点；当时，，且时，，时，，所以，，函数与的图象有且只有一个交点，得，化简得：，记，，所以在上单调递减，又，，所以，即.（2）由（1）得：当时，，只要证明：时，即，记，则，记