2022-2023学年四川省内江市高石职业中学高三数学理期末试卷含解析

2022-2023学年四川省内江市高石职业中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设不等式组表示的平面区域为D．若圆C：不经过区域D上的点，则的取值范围是

（

） A． B． C． D．参考答案：C2.已知P为直线y=kx+b上一动点，若点P与原点均在直线x﹣y+2=0的同侧，则k，b满足的条件分别为（）A．k=1，b＜2 B．k=1，b＞2 C．k≠1，b＜2 D．k≠1，b＞2参考答案：A【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】设出P的坐标，根据点与直线的位置关系转化为二元一次不等式的关系，结合不等式恒成立进行求解即可．【解答】解：∵P为直线y=kx+b上一动点，∴设P（x，kx+b），∵点P与原点均在直线x﹣y+2=0的同侧，∴（x﹣kx﹣b+2）（0﹣0+2）＞0，即2[（1﹣k）x+2﹣b]＞0恒成立，即（1﹣k）x+2﹣b＞0恒成立，则1﹣k=0，此时2﹣b＞0，得k=1且b＜2，故选：A．【点评】本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，利用条件转化为不等式关系是解决本题的关键．3.已知正三棱锥的主视图、俯视图如下图所示，其中VA=4，AC=,则该三棱锥的左视图的面积（

）A．9

B．6

C．

D．参考答案：B4.已知圆上的点到直线的最短距离为，则b的值为(

)A.－2或2 B.2或C.－2或 D.或2参考答案：D【分析】由圆的方程求得圆心坐标和半径，根据圆上的点到直线的最短距离为，得出，利用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解．【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径，设圆心到直线的距离为，则，因为圆上的点到直线的最短距离为，所以，即，解得或，故选D．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中把圆上的点到直线的最短距离转化为，再利用点到直线的距离公式，列出方程求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题．5.对任意实数定义运算如下，则函数的值域为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B6.曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 A．2 B.-2 C. D.参考答案：A7.已知函数，若函数的图象上存在点，使得在点处的切线与的图象也相切，则a的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：B8.已知x，y满足约束条件，则z=3x+y的取值范围为（）A．[6，10] B．（6，10] C．（﹣2，10] D．[﹣2，10）参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数为y=﹣3x+z，由图可知，当直线y=﹣3x+z过A时，z取最大值，由，得A（4，﹣2），此时zmax=3×4﹣2=10；当直线y=﹣3x+z过点B时，由，解得B（0，﹣2），故z＞3×0﹣2=﹣2．综上，z=3x+y的取值范围为（﹣2，10]．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9.点P(m,1)不在不等式x＋y－2＜0表示的平面区域内，则实数m的取值范围是A.m＜1 B.m≤1 C.m≥1 D.m＞1参考答案：C10.正方体的棱长为，半径为的圆在平面内，其圆心为正方形的中心，为圆上有一个动点，则多面体的外接球的表面积为．

．

．

．参考答案：设多面体的外接球的半径为，依题意得，故其外接球的表面积为．故答案选二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.记数列的前和为，若是公差为的等差数列，则为等差数列时,的值为________________.参考答案：1或略12.在等比数列中，，则公比

，

参考答案：在等比数列中，所以，即。所以，所以，即数列是一个公比为2的等比数列，所以。13.已知：＝2+,则＝

参考答案：14.在直角梯形中，，点是梯形内或边界上的一个动点，点是边的中点，则的最大值是

参考答案：6略15.函数y＝－(x－3)|x|的递减区间是__________．参考答案：16.命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为

．参考答案：17.已知函数f（x）的图象与g（x）=2x的图象关于直线y=x对称，令h（x）=f（1﹣|x|），则关于函数h（x）有下列命题：①h（x）的图象关于原点对称；

②h（x）的图象关于y轴对称；③h（x）的最大值为0；

④h（x）在区间（﹣1，1）上单调递增．其中正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）．参考答案：②③【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】图象关于直线y=x对称，利用反函数求出h（x）=log2（1﹣|x|），为偶函数，根据偶函数的性质和对数函数性质可进行判断．【解答】解：函数f（x）的图象与g（x）=2x的图象关于直线y=x对称，∴f（x）=log2x，h（x）=log2（1﹣|x|），为偶函数，∴①错误；②h（x）的图象关于y轴对称，故正确；根据偶函数性质可知④错误；∵1﹣|x|≤1，∴h（x）=log21=0，故③正确．故答案为②③．【点评】考查了反函数的性质，偶函数，对数函数的性质，属于基础题型，应熟练掌握．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}的首项为a（a≠0），前n项和为Sn，且有Sn+1=tSn+a（t≠0），bn=Sn+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）当t=1，a=2时，若对任意n∈N*，都有k（++…+）≤bn，求k的取值范围；（Ⅲ）当t≠1时，若cn=2+b1+b2+…+bn，求能够使数列{cn}为等比数列的所有数对（a，t）．参考答案：【考点】等比数列的性质．【分析】（Ⅰ）根据条件和“n=1时a1=S1、当n≥2时an=Sn﹣Sn﹣1”，化简Sn+1=tSn+a（t≠0），再由等比数列的定义判断出数列{an}是等比数列，利用等比数列的通项公式求出an；（Ⅱ）由条件和（I）求出bn，代入化简利用裂项相消法求出，代入已知的不等式化简后，利用函数的单调性求出对应函数的最小值，从而求出k的取值范围；（Ⅲ）利用条件和等比数列的前n项和公式求出Sn，代入bn化简后，利用分组求和法和等比数列的前n项和公式求出cn，化简后利用等比数列的通项公式特点列出方程组，求出方程组的解即可求出结论．【解答】解：（Ⅰ）解：（Ⅰ）由题意知，首项为a，且Sn+1=tSn+a（t≠0），当n=1时，则S2=tS1+a，解得a2=at，当n≥2时，Sn=tSn﹣1+a，∴（Sn+1﹣Sn）=t（Sn﹣Sn﹣1），则an+1=tan，又a1=a≠0，综上有，即{an}是首项为a，公比为t的等比数列，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，=2，则Sn=2n，∴bn=Sn+1=2n+1，则==，∴=[（）+（）+]=（）=，代入不等式k（++…+）≤bn，化简得，k≤=3（4n+），∵函数y=在（，+∞）上单调递增，且n取正整数，∴当n=1时，函数y=取到最小值是15，∴k≤45；（Ⅲ）∵t≠1，∴Sn=，则bn=Sn+1=1+=1+﹣，∴cn=2+b1+b2+…+bn=2+（1+）n﹣（t+t2+…+tn）=2+（1+）n﹣×=++，由题设知{cn}为等比数列，所以有，解得，即满足条件的数对是（1，2）．19.（本小题满分13分）已知是椭圆:的焦点，点在椭圆上.（Ⅰ）若的最大值是，求椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线与椭圆交于、两点，过、两点分别作椭圆的切线，，且与交于点，试问：当变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，说明理由.参考答案：（Ⅰ）

………4分因为的最大值是，所以

………5分因此椭圆E的离心率

………6分（Ⅱ）当变化时，点恒在一条定直线上

证明:先证明：椭圆E: 方法一：当设与椭圆E方程联立得：由所以，因此切线方程是………9分方法二：不妨设在第一象限，则由

得

，所以因此切线方程是………9分设则，联立方程，解得，又，所以因此，当变化时，点恒在一条定直线上。…13分20.△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB。（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值。参考答案：21.若函数y=f(x)在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.设函数，，.（1）若g(x)为f(x)在处的切线.①当f(x)有两个极值点x1、x2，且满足时，求b的值及a的取值范围；②当函数g(x)与f(x)的图象只有一个交点，求a的值；（2）若对满足“函数g(x)与f(x)的图象总有三个交点P，Q，R”的任意实数k，都有PQ=QR成立，求a，b，k满足的条件.参考答案：（1）①由，因函数有两个极值点，所以两个不等的实数根，

……………2分所以，即，又，所以，或.

……………4分②因为函数在处的切线，所以，

……………5分联立方程组，即，所以，

……………7分整理得，解得或，因与只有一个交点，所以，解得.

……………9分（2）联立方程组，由②得，即，方程有一根因与有三个交点，所以有两个不等实根，

……………11分因与有三个交点且满足，所以实数根满足，或，或，

……………12分因为满足与有三个交点的任意实数，令，则，解得，，当时，得，，此时，令，则，解得，，不满足与，不符题意；同理也不符题意；

……………14分当时，由，得，此时总满足，为此只需有两个不等的实根即可，所以，化简得，综上所述，应满足条件与.

……………16分（另解，仿解法一给分）法二：同法一得有两个不等实根，

……11分所以，由，解得，，此时，所以为常数，不满足“为满足与有三个交点的任意实数”，故不符题意；类似的也不符题意；

……………14分余下同方法一.22.（12分）（2015?哈尔滨校级二模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA=AB=AC=2，BC=2．（1）求证：CD⊥平面CPAC；（2）如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所E，F成角的正弦值为，求的值．参考答案：【考点】：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．【专题】：空间角；空间向量及应用；立体几何．【分析】：（1）根据AB=AC=2，BC=2便得到AB⊥AC，从而CD⊥AC，而由PA⊥底面ABCD便得到CD⊥PA，由线面垂直的判定定理从而得出CD⊥平面PAC；（2）三条直线AB，AC，AP两两垂直，从而可以这三条直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可求出A，B，C，D，M，P的坐标．可设N（x，0，0），平面MAB的法向量设为，而由即可求出，设直线CN和平面MAB所成角为α，从而由=即可求得x，从而求出AN，NB，从而求出．解：（1）证明：AB=AC=2，BC=2；∴AB⊥AC；CD∥AB；∴CD⊥AC；PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD；∴PA⊥CD，即CD⊥PA，AC∩PA=A；∴CD⊥平面PAC；（2）如图以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系；则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），D（﹣2，2，0）；因为M是棱P