解直角三角形超经典例题讲解

解直角三角形超经典例题讲解

课题：三角函数的应用及解直角三角形授课时间：1个课时教学目标：通过本节课的学习，学生能够了解勾股定理和三角函数的概念，掌握解直角三角形的方法和应用，掌握坡度、坡角等相关概念和计算方法。重点、难点：三角函数的概念和应用，解直角三角形的方法和应用。考点及考试要求：1.了解勾股定理。2.了解三角函数的概念。3.学会解直角三角形。备课时间：1小时教学内容：教学方法：讲授法一、直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互余，可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°。在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可表示如下：∠A=30°BC=1/2AB，∠C=90°。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可表示如下：∠ACB=90°CD=AB/2，D为AB的中点。勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c²。摄影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项，即∠ACB=90°，CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·AB。常用关系式：由三角形面积公式可得：AB·CD=AC·BC。二、直角三角形的判定有一个角是直角的三角形是直角三角形。如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。三、锐角三角函数的概念在△ABC中，∠C=90°。锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即sinA=a/c。锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即cosA=b/c。锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即tanA=a/b。锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，即cotA=b/a。教学反思：本节课主要讲解了勾股定理和三角函数的概念，以及解直角三角形的方法和应用，还介绍了坡度、坡角等相关概念和计算方法。在教学过程中，我采用了讲授法，结合具体实例进行讲解，让学生更加深入理解相关概念和方法。同时，我也注意到了一些学生的困惑和疑问，及时进行解答和补充，让学生更好地掌握了本节课的内容。7.已知sinα=2m-3，且α为锐角，则m的取值范围是多少？答：没有明显的格式错误或有问题的段落。改写后：已知锐角α的正弦值为2m-3，求m的取值范围。8.已知：∠α是锐角，sinα=cos36°，则α的度数是多少？答：没有明显的格式错误或有问题的段落。改写后：已知锐角α的正弦值等于余弦36°，求α的度数。9.当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大反而减小的三角函数是哪些？答：没有明显的格式错误或有问题的段落。改写后：在角度在0°到90°之间变化时，随着角度的增大，函数值反而减小的三角函数是正弦和正切。10.当锐角A的cosA>2时，∠A的值为多少？答：没有明显的格式错误或有问题的段落。改写后：已知锐角A的余弦值大于2，求∠A的取值范围。11.在直角三角形ABC中，若各边的长度同时都扩大2倍，则锐角A的正弦值和余弦值的情况是什么？答：没有明显的格式错误或有问题的段落。改写后：在直角三角形ABC中，若各边的长度同时都扩大2倍，求锐角A的正弦值和余弦值的变化情况。12.已知∠α为锐角，若sinα=cos30°，tanα=多少？若tan70°×tanα=1，则∠α=多少？答：没有明显的格式错误或有问题的段落。改写后：已知锐角α的正弦值等于余弦30°，求tanα的值；已知tan70°×tanα=1，求锐角α的度数。13.在△ABC中，∠C=90，sinA=3/2，则cosB等于多少？答：没有明显的格式错误或有问题的段落。改写后：在直角三角形ABC中，已知∠C=90，sinA=3/2，求cosB的值。2.特殊角的三角函数值1.在直角三角形ABC中，已知∠C=90，∠A=45，则sinA=1/√2，tanα=1。2.已知：α是锐角，cosα=3/4，则sinα=√(1-3/4^2)=√7/4。3.已知∠A是锐角，且tanA=3，则sinA=3/√10。4.在平面直角坐标系内P点的坐标为(cos30°，tan45°)，则P点关于x轴对称点P的坐标为(cos30°，-tan45°)。5.已知：α是锐角，cosα=(3/4,1)，则α=45°。6.下列不等式成立的是cos45°<sin60°<cot30°。7.若3tan(α+10°)=1，则α的度数为20°。8.计算：（1）sin30°+cos60°=3/2，tan45°+cot60°=2；（2）cos60°-sin45°+2tan230°+cos30°-sin30°=-√3；（3)tan30°+tan45°sin45°+cos30°-sin30°=-1/√3；（4)-sin30°(cos45°-sin60°)=1/4；（5)1-tan30°tan45°-2cos60°=1/2。2、在直角三角形Rt△ABC中，∠C＝90°，根据给定条件解题：（1）已知a＝43，b＝23，则c=√(a²+b²)=√(43²+23²)=√2402；（2）已知a＝10，c＝102，则b=√(c²-a²)=√(102²-10²)=√10404-100=√10304；（3）已知c＝20，∠A＝60°，则a=c/2=10；（4）已知b＝35，∠A＝45°，则a=b/√2=35/√2=25√2；3、若∠A=30°，c=10，则a=c/√3=10/√3，b=a√3=a√3/3；4、在下列图中填写各直角三角形中字母的值：|\a|\c|__\b左上角三角形：a=3，b=4，c=5；右上角三角形：a=5，b=12，c=13；左下角三角形：a=7，b=24，c=25；右下角三角形：a=8，b=15，c=17；7、设直角三角形Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，根据给定条件求∠B的四个三角函数值：（1）a=3，b=4，c=5，则sinB=b/c=4/5，cosB=a/c=3/5，tanB=b/a=4/3，cotB=a/b=3/4；（2）a=6，c=10.8，则b=√(c²-a²)=√(10.8²-6²)=√92.64=9.6，sinB=b/c=9.6/10.8=8/9，cosB=a/c=6/10.8=5/9，tanB=b/a=8/5，cotB=a/b=5/8；8、在直角三角形Rt△ABC中，∠C＝90°，BC：AC＝3：4，根据三角函数定义求∠A的四个三角函数值：设BC=3k，AC=4k，则AB=5k，sinA=BC/AB=3k/5k=3/5，cosA=AC/AB=4k/5k=4/5，tanA=BC/AC=3/4，cotA=AC/BC=4/3；9、在△ABC中，已知AC=22，∠B=60°，∠C=45°，求AB的长。设BC=a，AB=b，则AC=22，sinB=√3/2，cosB=1/2，sinC=cosC=√2/2，根据正弦定理和余弦定理可得：a/√2=22/√2，即a=22；a²+b²-2abcosB=22²，即b²-22b+22²-22²(1/2)=0，解得b=22+22/√2=22(1+√2)。B9题4、实例分析：1、斜坡的坡度是1:3，则坡角α=tan⁻¹(1/3)≈18.43°；2、一个斜坡的坡度为1:3，则坡角α的余切值为3；3、一个物体A点出发，在坡度为1:7的斜坡上直线向上运动到B，当AB=30m时，物体升高为30/7m；4、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1:3，坝外斜坡的坡度i=1:1，则两个坡角的和为75°；5、电视塔高为350m，一个人站在地面，离塔底O一定的距离A处望塔顶B，测得仰角为60°，若某人的身高忽略不计时，OA=350/√3≈202.07m；6、如图沿AC方向修隧道，已知∠ABD=150°，BD=520m，∠B=60°，那么开挖点E到D的距离DE=520/2=260m时，才能使A、C、E成一直线；7、一船向东航行，上午8时到达B处，看到有一灯塔在它的南偏东60°，距离为72海里的A处，上午10时到达C处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为36海里/小时；8、如图，河对岸有铁塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进14米到达D，在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高。设AB=h，CD=x，则tan30°=h/14，tan45°=(h/x)/(14+x)，解得h=14(2