2023届辽宁省沈阳市二十中学数学高二下期末统考模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．扇形OAB的半径为1，圆心角为120°，P是弧AB上的动点，则的最小值为（）A． B．0 C． D．2．两个变量的相关关系有正相关，负相关，不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是A． B． C． D．3．设集合，．若，则()A． B． C． D．4．点M的极坐标(4，A．(4，π3) B．(45．若角的终边经过点，则（）A． B． C． D．6．甲、乙两支球队进行比赛，预定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.结束除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.则甲队以3：2获得比赛胜利的概率为（）A． B． C． D．7．执行如右图所示的程序框图，则输出的的值是（）A．7 B．6 C．5 D．38．有一段“三段论”，其推理是这样的：对于可导函数，若，则是函数的极值点,因为函数满足，所以是函数的极值点”，结论以上推理A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．没有错误9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．刘徽应用“割圆术”得到了圆周率精确到小数点后四位的近似值，这就是著名的“徽率”．如图是应用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（）（参考数据：，）A．12 B．24 C．36 D．4810．如图，已知直线与曲线相切于两点，函数，则函数（）A．有极小值，没有极大值 B．有极大值，没有极小值C．至少有两个极小值和一个极大值 D．至少有一个极小值和两个极大值11．已知复数，则其共轭复数对应的点在复平面上位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．已知圆与双曲线的渐近线相切，则的离心率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若在区间上恒成立，则实数的取值范围是______．14．命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为__________.15．《中国诗词大会》节目组决定把《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有____种.（用数字作答）16．曲线在点处的切线方程为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知的展开式的二项式系数之和为．（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中的系数最大的项．18．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，点在直线上．（1）求角的值；（2）若，求的面积．19．（12分）已知x，y，z是正实数，且满足.(1)求的最小值；(2)求证：20．（12分）已知函数．（1）当时，求函数的单调区间和极值；（2）若在上是单调函数，求实数的取值范围．21．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：超过不超过第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：，22．（10分）在《九章算术》中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”．如图所示的五面体是一个羡除，其中棱AB，CD，EF相互平行，四边形ABEF是梯形．已知CD＝EF，AD⊥平面ABEF，BE⊥AF．（1）求证：DF∥平面BCE；（2）求证：平面ADF⊥平面BCE．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

首先以与作为一组向量基底来表示和，然后可得，讨论与共线同向时，有最大值为1，进一步可得有最小值.【详解】由题意得,，所以因为圆心角为120°，所以由平行四边形法则易得，所以当与共线同向时，有最大值为1，此时有最小值.故选：C.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，选择合适的基底表示相关的向量是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.2、D【解析】

分别分析三个图中的点的分布情况，即可得出图是正相关关系，图不相关的，图是负相关关系．【详解】对于，图中的点成带状分布，且从左到右上升，是正相关关系；对于，图中的点没有明显的带状分布，是不相关的；对于，图中的点成带状分布，且从左到右是下降的，是负相关关系．故选：D．【点睛】本题考查了利散点图判断相关性问题，是基础题．3、C【解析】∵集合，，∴是方程的解，即∴∴，故选C4、C【解析】

在点M极径不变，在极角的基础上加上π，可得出与点M关于极点对称的点的一个极坐标。【详解】设点M关于极点的对称点为M'，则OM'所以点M'的一个极坐标为(4,7π6)【点睛】本题考查点的极坐标，考查具备对称性的两点极坐标之间的关系，把握极径与极角之间的关系，是解本题的关键，属于基础题。5、A【解析】

用余弦的定义可以直接求解.【详解】点到原点的距离为，所以，故本题选A.【点睛】本题考查了余弦的定义，考查了数学运算能力.6、B【解析】若是3:2获胜，那么第五局甲胜，前四局2:2，所以概率为，故选B.7、B【解析】,,判断否,,,判断否,,判断是,输出,故选.8、A【解析】

在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）＝0，那么x＝x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．【详解】对于可导函数f（x），如果f'（x0）＝0，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x＝x0是函数f（x）的极值点，而大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）＝0，那么x＝x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，∴大前提错误，故选A．【点睛】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．9、B【解析】试题分析：模拟执行程序，可得，不满足条件；不满足条件；满足条件，推出循环，输出的值为，故选B.考点：程序框图.10、C【解析】

根据导数的几何意义，讨论直线与曲线在切点两侧的导数与的大小关系，从而得出的单调区间，结合极值的定义，即可得出结论．【详解】如图，由图像可知，直线与曲线切于a，b，将直线向下平移到与曲线相切，设切点为c，当时，单调递增，所以有且．对于=，有，所以在时单调递减；当时，单调递减，所以有且．有，所以在时单调递增；所以是的极小值点．同样的方法可以得到是的极小值点，是的极大值点．故选C．【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义，函数导数与单调性，与函数极值之间的关系，属于中档题．11、D【解析】

先利用复数的乘法求出复数，再根据共轭复数的定义求出复数，即可得出复数在复平面内对应的点所处的象限．【详解】，，所以，复数在复平面对应的点的坐标为，位于第四象限，故选D．【点睛】本题考查复数的除法，考查共轭复数的概念与复数的几何意义，考查计算能力，属于基础题．12、B【解析】

由题意可得双曲线的渐近线方程为，根据圆心到切线的距离等于半径，求出的关系，进而得到双曲线的离心率，得到答案．【详解】由题意，根据双曲线的渐近线方程为．根据圆的圆心到切线的距离等于半径1，可得，整理得，即，又由，则，可得即双曲线的离心率为．故选：B．【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析：利用换元法简化不等式，令t=2x﹣2﹣x，t∈[，]，22x+2﹣2x=t2+2，整理可得a≥﹣（t+），t∈[，]根据函数y=t+的单调性求出最大值即可．详解：a（2x﹣2﹣x）+≥0在x∈[1，2]时恒成立，令t=2x﹣2﹣x，t∈[，]，∴22x+2﹣2x=t2+2，∴a≥﹣（t+），t∈[，]，显然当t=是，右式取得最大值为﹣，∴a≥﹣．故答案为[﹣，+∞）．点睛：考查了换元法的应用和恒成立问题的转化思想应用．恒成立的问题的解决方法：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.14、【解析】

，使是假命题，则，使是真命题，对是否等于进行讨论，当时不符合题意，当时，由二次函数的图像与性质解答即可．【详解】，使是假命题，则，使是真命题，当，即，转化为，不是对任意的恒成立；当，，使即恒成立，即，第二个式子化简得，解得或所以【点睛】本题考查命题间的关系以及二次函数的图像与性质，解题的关键是得出，使是真命题这一条件，属于一般题．15、1【解析】

根据题意，分2步分析：①将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，②再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里（最后一个空不排），由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2步分析：①将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，共有种排法，②再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里（最后一个空不排），有种排法，则后六场的排法有=1（种），故答案为：1．【点睛】（1）本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组合常见解法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.16、.【解析】分析：先求导求切线的斜率，再写切线方程.详解：由题得，所以切线方程为故答案为：.点睛：（1）本题主要考查求导和导数的几何意义，考查求切线方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）根据二项式系数和为，求出的值，然后写出二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，再代入通项可得出展开式中的常数项；（2）设，利用作商法求出的最大值，以及对应的值，再将的值代入展开式通项可得出所求的项.【详解】（1）的展开式的二项式系数之和为，得.的展开式的通项为.令，解得，因此，的展开式中的常数项为；（2）设，则.当时，，则有；当时，，则有.所以，当时，最大，因此，展开式中的系数最大的项为.【点睛】本题考查二项展开式常数项的求解，同时也考查了二项式系数和以及系数最大项的求解，一般要利用项的系数的单调性来求解，考查计算能力，属于中等题.18、（1）；（2）【解析】

（1）代入点到直线的方程，根据正弦定理完成角化边，对比余弦定理求角；（2）将等式化简成“平方和为零”形式，计算出的值，利用面积公式计算的面积.【详解】解：（1）由题意得，由正弦定理，得，即，由余弦定理，得，结合，得.（2）由，得，从而得，所以的面积.【点睛】本题考查正、余弦定理的简单应用，难度较易.使用正弦定理进行角化边或者边化角的过程时，一定要注意“齐次”的问题.19、（1）见解析（2）见解析【解析】分析：(1)利用“乘1法”，根据基本不等式可求的最小值；(2)由柯西不等式即可得证.详解：(1)∵x，y，z是正实数，且满足x＋2y＋3z＝1，∴＋＋＝(x＋2y＋3z)＝6＋＋＋＋＋＋≥6＋2＋2＋2，当且仅当＝且＝且＝时取等号．(2)由柯西不等式可得1＝(x＋2y＋3z)2≤(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)＝14(x2＋y2＋z2)，∴x2＋y2＋z2≥，当且仅当x＝＝，即x＝，y＝，z＝时取等号．故x2＋y2＋z2≥点睛：本题考查基本不等式及柯西不等式，属基础题.20、（1）函数的单调递减区间是，单调递增区间是，极小值是（2）【解析】

易知，函数的定义域为当时，当x变化时，和的值的变化情况如下表：x10递减极小值递增由上表可知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，极小值是由，得又函数为上单调函数，若函数为上的单调增函数，则在上恒成立，即不等式在上恒成立．也即在上恒成立，而在上的最大值为，所以若函数为上的单调减函数，根据，在上，没有最小值所以在上是不可能恒成立的综上，a的取值范围为【点睛】本题是一道导数的应用题，着重考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数恒成立等知识点，属于中档题．21、（1）第二种生产方式的效率更高.理由见解析（2）80（3）能【解析】

分析：（1）计算两种生产方式的平均时间即可．（2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表．（3）由公式计算出，再与6.635比较可得结果．详解：（1）第二种生产方式的效率更高.理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时