2023年温州中学实验班提前招生考试数学模拟卷

温州中学数学试验班招生数学试卷

一、选择题（共8小题，每题4分，共32分）

1、记x=（l+2）（l+22）（l+2"）…（1+2256）,贝卜+］是......................（）

A、一个奇数B、一个质数

C、一个整数的平方D、一个整数的立方

2、圆周上共有10个等分点，以其中三点为顶点的直角三角形的个数为............（）

A、20B、40C、60D、80

3、如图1,已知。O的半径是R,C、D是直径AB同侧圆周上的两点，弧AC的度数为96°,

弧BD的度数为36°,动点P在AB上，则PC+PD的最小值为..................（）

A、2RB、也RC、41RD、R/

4、已知实数a,b,c满意/+必+叱＜0,则关于x的方程/:

A：P0

ax2+bx+c=0.......................................................................................（）\/

A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根

C、没有实数根D、不能确定图1

5、假如一个凸多边形有且仅有三个内角是钝角，那么这种多边形的边数

不行能是..............................................................（）

A、4B、5C、6D、7

6、用六根火柴棒搭成4个正三角形（如图2）,现有一只虫子从点A动身爬行了5根不同的火

柴棒后，到了C点，则不同的爬行路径共有......................()

A、4条B、5条C、6条D、7条

7、一次函数y=°x—15的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,O为

4

坐标原点，则在aOAB内部（包括边界），纵坐标、横坐标都是整数

的点共有.................................（）

A、90个B、92个C、104个D、106个

7〃X

8、假如京＜£＜1,是正整数，则p的最小值是…（）

A、15B、17C、72D、144

二、填空题：（共4小题，每题4分，共16分）

9、设a,b为两个不相等的实数，且满意5。=〃-5人=1,则的值是

薪冬则覆——

10、如图3,直角梯形ABCD中，NBAD=90°,AC±BD,

11、如图4,已知AG_LBD,AF±CE,BD,CE分别是NABC和NACB的角平分线，若BF=2,

ED=3,GO4,则三角形ABC的周长是

RAA

sin。cos6cos20sin2614

、设％,是大于零的实数，且

12y~，21o-=-7

xyxyx+y

则2=_________________

yx

三、解答题（共6题，共72分）

13、（本题满分14分）

假如一个数能表示成丁+2町+2y2（x,y是整数），我们称这个数为“好数”。

（1）推断29是否为“好数”？

（2）写出1,2,3,…，20中的“好数”。

（3）假如〃4〃都是“好数”，求证：加是“好数”。

14、（本题满分8分）

如图5所示，阴影部分是陆地，折线ABCDE是河岸，今要将河岸拉直，需在线段DE上

找一点M,将河岸ABCDM变成线段AM,并且河面面积保持不变。

请你在图6中画出线段AM（保留作图痕迹），并说明理由。（本题8分）

15、（本题满分12分）

如图7,。0的弦AC、BD交于点Q,AP、CP是。。的切线，0、Q、P三点共线。求证:

PA1=PBPD.

C

图7

16、（本题满分14分）

定义下列操作规则：

规则A：相邻两数a、b,依次颠倒为b、a,称为一次“变换（如一行数1、2、3、4要

变为3、1、2、4,可以这样操作：1、2、3、471、3、2、4-3、1、2、4。）

规则B：相邻三数a、b、c,依次颠倒为c、b、a,称为一次“变换”。

规则C：相邻四数a、b、c、d,依次颠倒为d、c、b、a,称为一次“变换”。

现根据依次排列着1、2、3、…、2023、2023,目标是：经过若干次“变换”，将这一行数

变为2023、1、2、…、2023、2023。

问：（1）只用规则A操作，目标能否实现？

（2）只用规则B操作，目标能否实现？

（3）只用规则C操作，目标能否实现？

17、（本题满分12分）

如图8,O是RtAABC斜边AB的中点,CHJ_AB于H,延长CH至D,使得CH=DH,F为CO

上随意一点，过B作BE±AF于E,连结DE交BC于G.

（1）求证：ZCAF=ZCDE；（2）求证：CF=GF。

图8

18、（本题满分12分）

已知二次函数y=x?+2nvc-n2

(1)若此二次函数的图象经过点(1,1),且记相，〃+4两数中较大者为P,试求P的最

小值。

(2)若“，N变更时，它们的图象是不同的抛物线，假如每条抛物线与坐标轴都有三个不

同的交点，过这三个交点作圆，证明这些圆都经过同肯定点，并求出这个定点的坐标。

温州中学数学试验班招生考试数学试卷

r参考签景及评分标准）

一、选择题：（每小题4分，共32分）

1~8.CBBAD,CDB

二、填空题：（每小题4分，共16分）

9、—27,10、1/3_11、3012、4

三、解答题（共6题，共72分）

13、（本题满分14分）

解答：x2+2xy+2y2=（x+y）2+j2

（1）29=（3+2）2+22=32+2x3x2+2x22,29是“好数3（4分）

（2）1,2,3,…，20中的“好数”有1,2,4,5,8,9,10,13,16,17,18,20。（8分）

（3）设加=（尤［+%）2+%2,〃=（%+%）2+%2，不必,工2，%是整数。

mn=（%1+%）2=2+%）2+（%+y）2W++必A+城什

=［（芭+x）（赴+必）+y必『+［（玉+必）必-y（/+%）］2

令y=（x+x）2%-y（/+%），％=令+x）（々+%）+x%—，则》,y是整数，

且加〃=f+2盯+2y?,所以机〃是"好数”。（14分）

14、（本题满分8分）/

解答：连接BD,过C作CF〃BD交DE于F,则

SBDC—S.BDF。（6分）

连接AF,过B作BM〃AF交DE于M,则0VCtZ

?

SAFB三SAFM,连接AM即为所求。（8分）"一~一-------

15、（本题满分12分）

证明：连接OA、OB、OD,设DP交。0于E,设。O的半径为R,可证。。・。2=火2（4分）

DQQB=（R+OQ）（R-OQ）八

,,（8分）___A

=R2-OQ2=OQQPD/

.•.P、。、0、3四点共圆，又OD=OB,，片

:"DPO=NBPO,：.PB=PEP

PA2=PBPD.（12分）\\/

16、（本题满分14分）V

解答：（1）能，实行如下操作：

1、2、、2003、2004、2005->1、2、、2003、2005、2004f1、2、、2005、2003、2004„

（4分）

——1、2005、2、3、、2003、2004f2005、1、2、、2003、2004

（2）不能，从左到右，把数所占的位置编上号，根据规则B,若数加在攵号位置，一次变换后

可能是左—2、k、左+2号位置，所以操作过程中数机所占位置的奇偶性不会变更。而1、2、

3、…、2023、2023中1在1号位，目标2023、1、2、…、2023、2023中1是2号位，这不行

能。（8分）

（3）能，通过如下操作（记为“*操作”）：

a、b、c、d、e-d、c、b、a、efd、e、a、b、cTb、a、e、d、c

tb、c、d、e、a—>e、d、c、b、are、a、b、c、d

可以将一个数往前提4个位置，而其他各数的依次

不变。（12分）w^iyp\.

将2023、2023、2023、2023、2023通过“*操午^^一\—一—二；、

作”，可以变为2023、2023、2023、2023、2023,再g*\一、一A

图6

对1997,1998,1999,2000,2023施行“*操作”，变为2023、1997、1998、1999、2000,如

此反复,1、2、3、…、2023、2023可以变为1、2、3、4、2023、5、6、…、2023,最终对1、

2、3、4、2023施行“*操作”得到2023、1、2、…、2023、2023.(14分)

15、(本题满分12分)

［解答］:(1)证明：连结BD,

•1­ABEA=AACB=90°A,B,C,£四点共圆且是此圆直径

XvCH±AB,CH=DH,j.£>在此圆上，r.4B,C,D,E五点共圆。

，NCAE=NCr>E(4分)

(2)由(1)得NCOB=/CAO,ZBCD=ZACO,：.AAOCADC8(6分)

还可以证明：\AOF\DBG,\ACF\DCG