【高一数学暑假培优】第12讲 幂函数（原卷+解析卷）-人教A版2023必修第一册

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第12讲幂函数

1．理解幂函数的概念；

2．会画幂函数，，，，的图象，结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化规律和性质；

3．能解决与幂函数有关的复合函数问题。

一、幂函数的概念

1、幂函数的概念：把形如函数y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．

2、幂函数需要满足三个条件：

（1）系数为1；（2）指数α为常数；（3）后面不加任何项。

例如，，等的函数都不是幂函数．

二、幂函数的图象

同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)．

三、幂函数的性质

1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；

2、如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；

3、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；

4、在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．

四、画幂函数图象的技巧（类比具体幂函数）

1、当时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于的图象；

2、当时，函数的图象向轴弯曲，类似于的图象；

3、当时，函数的图象向轴弯曲，类似于的图象。

再结合函数的奇偶性就容易知道它们的图象了。

考点一：判断是否为幂函数

例1．下列函数为幂函数的是（）

A．B．C．D．

【变式训练】现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

考点二：根据函数是幂函数求参数

例2．已知幂函数f(x)＝x(α为常数)的图象经过点，则f(9)＝（）

A．B．C．3D．

【变式训练】幂函数在第一象限内是减函数，则（）

A．2B．C．D．

考点三：幂函数的定义域问题

例3．函数的定义域为（）

A．B．C．D．

【变式训练】给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（）

A．①②B．②③C．②④D．③④

考点四：幂函数的图象判断与应用

例4．如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（）

A．①，②，③B．①，②，③

C．①，②，③D．①，②，③

【变式训练】如图所示，图中的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取，四个值，则相应于，，，的依次为（）

A．，，，B．，，，

C．，，，D．，，，

考点五：幂函数图象过定点

例5．当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为________．

【变式训练】不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是___________．

考点六：幂函数的单调性与奇偶性

例6．下列函数中，在区间上为增函数的是（）

A．B．C．D．

【变式训练1】已知幂函数的图象经过点，则在定义域内（）

A．单调递增B．单调递减C．有最大值D．有最小值

【变式训练2】已知幂函数的图象关于y轴对称，则的值为_________．

考点七：利用幂函数单调性解不等式

例7．已知幂函数，若，则a的取值范围是__________.

【变式训练】若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是______．

考点八：幂函数的综合应用

例8．已知幂函数，且满足：①在区间上是增函数；②对任意的，都有.

（1）求同时满足①②的幂函数的解析式，

（2）在（1）条件下，求时的值域.

【变式训练】已知幂函数(Z)的图象关于轴对称，且在上是单调递减函数．

（1）求的值；

（2）解不等式．

1．下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（）

A．B．C．D．

2．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（）

A．B．C．D．

3．幂函数的图象过点，则下列说法正确的是（）

A．偶函数，单调递增区间B．偶函数，单调递减区间

C．偶函数，单调递增区间D．奇函数，单调递增区间

4．幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是（）

A．B．C．D．

5．（多选）下列关于函数的描述中，正确的是（）

A．是幂函数B．是指数函数

C．是对数函数D．不是二次函数

6．（多选）下列函数为幂函数的是（）

A．B．C．D．

7．（多选）下列关于幂函数说法正确的是（）

A．图像必过点B．可能是非奇非偶函数

C．都是单调函数D．图像不会位于第四象限

8．已知幂函数的图象经过点，则的值为________．

9．已知函数（为不等于0的常数）的图象恒过定点P，则P点的坐标为_______.

10．已知幂函数在上是减函数，则实数值是______.

11．已知函数的图像经过点，若，则的取值范围为__________.

12．已知幂函数的图像经过四点中的两点，且在上为减函数．

（1）求的解析式；

（2）若，求实数a的值．

13．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增.

（1）求m和n的值；

（2）求满足不等式的a的取值范围.

1．下列函数中不是幂函数的是()

A．B．C．D．

2．下列函数是幂函数的是（）

A．B．C．D．

3．若幂函数的图象与x轴没有交点，则的图象（）

A．关于原点对称B．关于x轴对称

C．关于y轴对称D．不具有对称性

4．在下列幂函数中，是偶函数且在上是严格增函数的是（）．

A．B．C．D．

5．已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是（）

A．奇函数B．偶函数C．在单调递减D．定义域为

6．函数的图像可能是（）

A．B．C．D．

7．如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（）

A．B．C．D．

8．已知幂函数的图像过点，则=______.

9．若函数是幂函数，则当时的函数值为______．

10．已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为__．

11．已知幂函数()是偶函数，且在上是增函数，则函数的解析式为_______．

12．已知幂函数为奇函数.

（1）求的值；

（2）若，求实数的取值范围.

13．已知幂函数在区间上是减函数．

（1）求函数的解析式；

（2）讨论函数的奇偶性和单调性；

（3）求函数的值域．

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）

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第12讲幂函数

1．理解幂函数的概念；

2．会画幂函数，，，，的图象，结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化规律和性质；

3．能解决与幂函数有关的复合函数问题。

一、幂函数的概念

1、幂函数的概念：把形如函数y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．

2、幂函数需要满足三个条件：

（1）系数为1；（2）指数α为常数；（3）后面不加任何项。

例如，，等的函数都不是幂函数．

二、幂函数的图象

同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)．

三、幂函数的性质

1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；

2、如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；

3、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；

4、在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．

四、画幂函数图象的技巧（类比具体幂函数）

1、当时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于的图象；

2、当时，函数的图象向轴弯曲，类似于的图象；

3、当时，函数的图象向轴弯曲，类似于的图象。

再结合函数的奇偶性就容易知道它们的图象了。

考点一：判断是否为幂函数

例1．下列函数为幂函数的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】由幂函数的定义可知：是幂函数，，和的系数不为1，

故不是幂函数，故选：D

【变式训练】现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【解析】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个故选：B

考点二：根据函数是幂函数求参数

例2．已知幂函数f(x)＝x(α为常数)的图象经过点，则f(9)＝（）

A．B．C．3D．

【答案】C

【解析】由题意f（2）＝2α＝，

所以α＝，所以f(x)＝，

所以f(9)＝＝3.故选：C

【变式训练】幂函数在第一象限内是减函数，则（）

A．2B．C．D．

【答案】D

【解析】由幂函数的定义可知，解得，

由幂函数的单调性可知，所以．故选:D．

考点三：幂函数的定义域问题

例3．函数的定义域为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】因为，则，可得，

故函数的定义域为.故选：D.

【变式训练】给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（）

A．①②B．②③C．②④D．③④

【答案】C

【解析】①的定义域为，不符合.

②的定义域为，符合.

③的定义域为，不符合.

④的定义域为，符合.

⑤的定义域为，不符合.

所以符合的是②④.故选：C

考点四：幂函数的图象判断与应用

例4．如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（）

A．①，②，③B．①，②，③

C．①，②，③D．①，②，③

【答案】A

【解析】由函数是反比例函数，其对应图象为①；

函数的定义域为，应为图②；

因为的定义域为且为奇函数，故应为图③.故选：A.

【变式训练】如图所示，图中的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取，四个值，则相应于，，，的依次为（）

A．，，，B．，，，

C．，，，D．，，，

【答案】B

【解析】根据幂函数的性质，在第一象限内的图象:

当时，越大，递增速度越快，故的，的；

当时，越大，曲线越陡峭，所以曲线的，曲线的.故选:B

考点五：幂函数图象过定点

例5．当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为________．

【答案】

【解析】由于对任意的，恒经过点，

所以函数的图象恒过定点,

故答案为：

【变式训练】不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是___________．

【答案】

【解析】因为，故当，即时，，

即函数恒过定点.

故答案为：.

考点六：幂函数的单调性与奇偶性

例6．下列函数中，在区间上为增函数的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由于在为单调递减函数，在时无意义，A错误；

在为单调递增函数，B正确；

定义域为，在无意义，C错误；

在为单调递减函数，D错误，故选：B

【变式训练1】已知幂函数的图象经过点，则在定义域内（）

A．单调递增B．单调递减C．有最大值D．有最小值

【答案】B

【解析】设，则，

所以，即，

则函数的定义域为，

且在定义域内单调递减，没有最大值和最小值.故选：B.

【变式训练2】已知幂函数的图象关于y轴对称，则的值为_________．

【答案】

【解析】由已知得，解得或，

当时，，其图象关于y轴对称，

当时，，其图象关于原点对称.

故答案为：

考点七：利用幂函数单调性解不等式

例7．已知幂函数，若，则a的取值范围是__________.

【答案】

【解析】由幂函数，可得函数的定义域为，且是递减函数，

因为，可得，解得，

即实数的取值范围为.

故答案为：.

【变式训练】若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】设幂函数，其图像过点，则，解得；

∴，函数定义域为，在上单调递增，

不等式等价于，解得；

则实数的取值范围是.

故答案为：

考点八：幂函数的综合应用

例8．已知幂函数，且满足：①在区间上是增函数；②对任意的，都有.

（1）求同时满足①②的幂函数的解析式，

（2）在（1）条件下，求时的值域.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）对任意的，都有，∴是奇函数.

且，则当时，，满足①不满足②；

当时，，满足①②；

当时，，不满足①②.

故幂函数的解析式为；

（2），，故的值域为.

【变式训练】已知幂函数(Z)的图象关于轴对称，且在上是单调递减函数．

（1）求的值；

（2）解不等式．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）因为幂函数(Z)的图象关于轴对称，所以函数是偶函数，

为偶数，为奇数，

因为函数在上是单调递减函数，所以，解得，

因为Z，则，，，

当时，为偶数，舍去；

当时，为奇数，

当时，为偶数，舍去；故；

（2）由（1）可得，定义域为，

且在上是单调递减函数，为偶函数，

又，即，且，解得且，

所以不等式的解集为．

1．下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】根据幂函数的定义：形如的函数是幂函数，排除A；

的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶的函数，所以排除B;

是偶函数，所以排除C；

，既是幂函数，又是奇函数，所以选D.故选：D.

2．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】设幂函数的解析式为，因为该幂函数的图象经过点，

所以，即，解得，即函数，也即，

则函数的定义域为，所以排除选项CD；

又，函数单调递减，故排除B，故选：A.

3．幂函数的图象过点，则下列说法正确的是（）

A．偶函数，单调递增区间B．偶函数，单调递减区间

C．偶函数，单调递增区间D．奇函数，单调递增区间

【答案】C

【解析】设幂函数为，则，解得，

所以，定义域为，关于原点对称，

又，故为偶函数；显然其单调增区间为.故选：C.

4．幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，

所以由图像得：，故选：D

5．（多选）下列关于函数的描述中，正确的是（）

A．是幂函数B．是指数函数

C．是对数函数D．不是二次函数

【答案】ACD

【解析】因为，所以是幂函数;

因为，所以不是指数函数;

因为，所以是对数函数;

不是二次函数．故选：ACD.

6．（多选）下列函数为幂函数的是（）

A．B．C．D．

【答案】BD

【解析】根据幂函数的定义可得结果.故选：BD.

7．（多选）下列关于幂函数说法正确的是（）

A．图像必过点B．可能是非奇非偶函数

C．都是单调函数D．图像不会位于第四象限

【答案】ABD

【解析】幂函数的解析式为，

当时，无论取何值，都有，图像必过点，A选项正确；

当时，，定义域为，此函数为偶函数，

当时，，定义域为，此函数为非奇非偶函数，

所以可能是非奇非偶函数，B选项正确；

当时，，此函数先单调递减再单调递增，则都是单调函数不成立，C选项错误；

当时，无论取何值，都有，所以图像不会位于第四象限，D选项正确；故选：ABD.

8．已知幂函数的图象经过点，则的值为________．

【答案】/

【解析】设幂函数，的图象过点，

即，解得，

所以.所以（4）.

故答案为：.

9．已知函数（为不等于0的常数）的图象恒过定点P，则P点的坐标为_______.

【答案】

【解析】因为的图象恒过，

所以的图象恒过定点.

故答案为：

10．已知幂函数在上是减函数，则实数值是______.

【答案】

【解析】因为幂函数在上是减函数，

所以，解得.

故答案为：

11．已知函数的图像经过点，若，则的取值范围为__________.

【答案】

【解析】因为幂函数的图像过点，所以，，

易知函数在上是奇函数，且单调递增，

所以可化为，

即，解得，故取值范围为.

故答案为：

12．已知幂函数的图像经过四点中的两点，且在上为减函数．

（1）求的解析式；

（2）若，求实数a的值．

【答案】（1）；（2）实数a的值为4或．

【解析】（1）解法一：设，

易知幂函数的图像必过点，

当幂函数的图像经过点时，，所以，

在上为增函数，不符合题意；

当幂函数的图像经过点时，，所以，

在上为减函数，符合题意；

当幂函数的图像经过点时，，所以，

在上为增函数，不符合题意：故；

解法二：设，

易知幂函数的图像必过点，

因为在上为减函数，所以在的图像上，

所以，所以，故；

（2）易知的定义域为，且为偶函数，

由可得，，

解法一：两边平方整理得，，解之得或．

故实数a的值为4或．

解法二：或，解之得或．

故实数a的值为4或．

13．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增.

（1）求m和n的值；

（2）求满足不等式的a的取值范围.

【答案】（1），；（2）

【解析】（1）∵是幂函数，

∴，解得m=3.

由在上单调递增得，解得.

∵，∴或.

当时，函数，图象关于y轴对称，符合题意.

当时，函数，图象关于原点对称，不合题意.

综上，，.

（2）由（1）得，，∴.

∵函数在和上均单调递减，

∴当时，，当时，.

∴满足不等式的条件为或或，

解得或，

∴满足不等式的的取值范围.

1．下列函数中不是幂函数的是()

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】A选项中，，故它是幂函数．B选项是幂函数．

C选项的系数为3，所以它不是幂函数．D选项是幂函数．

2．下列函数是幂函数的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】形如（为常数且）为幂函数，

所以，函数为幂函数，函数、、均不是幂函数.故选：C.

3．若幂函数的图象与x轴没有交点，则的图象（）

A．关于原点对称B．关于x轴对称

C．关于y轴对称D．不具有对称性

【答案】A

【解析】∵幂函数的图象与x轴没有交点，

∴，且，解得.

∴是奇函数，其图象关于原点对称.故选：A

4．在下列幂函数中，是偶函数且在上是严格增函数的是（）．

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】函数为偶函数，在上是严格减函数，A错，

函数不是偶函数，在上是严格减函数，B错，

函数是奇函数，在上是严格增函数，C错，

函数是偶函数，在上是严格增函数，D对，故选：D.

5．已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是（）

A．奇函数B．偶函数C．在单调递减D．定义域为

【答案】C

【解析】设幂函数，

由题意得：，

故，定义域为，故D错误；

定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，A，B错误；

由于，故在单调递减，C正确，故选：C

6．函数的图像可能是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】由题意知，函数，则满足，解得，故函数的定义域为，

又，结合幂函数的性质，