第五讲-数值积分与微分-课件

第五章数值积分与数值微分

§5.2Newton-Cotes公式

§

5.3复化求积公式

§5.4Romberg积分法

§5.5Gauss积分公式

§5.6数值微分

§5.1引言1ppt课件

§5.1引言对于积分但是在工程技术和实践中,常会见到以下现象:一、数值积分的必要性2ppt课件二、数值求积公式的一般形式左矩形公式梯形公式一般地，可以用3ppt课件求积系数只与求积节点的选取有关，与被积函数f(x)无关。截断误差或余项：为了使一个求积公式能对更多的积分具有较精确的计算结果，自然希望它对尽可能多的被积函数都准确地成立。为此引进代数精度的概念。4ppt课件定义1.

若求积公式

定理1.

上述求积公式具有m次代数精度的充分必要条件是：

三、求积公式的代数精度5ppt课件例1.试确定下面积分公式中的待定系数，使其代数精确度尽量高，并指明其代数精度。解:6ppt课件3次代数精确度7ppt课件四、插值型求积公式8ppt课件我们称此公式为插值型求积公式。余项为9ppt课件所以，有n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度。反之，如果一个求积公式的代数精度至少是n次，那么它必然是由插值多项式推导出来的.10ppt课件定理2.

求积公式

至少有n次代数精度它是插值型求积公式。11ppt课件12ppt课件5.2Newton-Cotes公式一、Newton-Cotes求积公式的导出13ppt课件柯特斯系数

牛顿-柯特斯公式14ppt课件二、低阶Newton-Cotes公式在Newton-Cotes公式中，n=1,2,4时的公式是最常用也是最重要的三个公式1.梯形公式Cotes系数为求积公式为15ppt课件上式称为梯形求积公式（如图），也称两点公式。2.Simpson公式16ppt课件Cotes系数为求积公式为17ppt课件上式称为Simpson公式，也称抛物线公式或三点公式。y=f(x)y=L2(x)辛普森（Simpson）公式的几何意义见右图所示，它是用抛物线y=L2(x)围成的曲边梯形的面积近似代替y=f(x)所围成的曲边梯形面积。3.n=3,4时的Cotes公式18ppt课件上式称为Cotes求积公式，也称五点公式。为了便于应用，通常把部分常用的柯特斯系数列成如下表格：19ppt课件n

Ck(n)11/2,1/221/6,4/6,1/631/8,3/8,3/8,1/847/90,16/45,2/15,16/45,7/90519/288,25/96,25/144,25/144,25/96,19/288641/840,9/35,9/280,34/105,9/280,9/35,41/840从表中可以看出，柯特斯系数具有如下性质(容易证明)：20ppt课件三、Newton-Cotes公式的代数精度和截断误差定理3.对于Newton-Cotes公式当n为奇数时，至少具有n次代数精度；当n为偶数时，至少具有n+1次代数精度。牛顿-柯特斯公式是插值型求积公式，因此n+1节点的牛顿-柯特斯公式至少具有n次代数精度。实际上，可以证明有下面的定理：因此，梯形公式具有1次代数精度，Simpson公式至少具有3次代数精度，Cotes公式至少具有5次代数精度。为了既保证精度，应尽量选用n是偶数的求积公式。1.代数精度21ppt课件定理3的证明：此时，求积公式的余项是22ppt课件于是，定理结论得证。23ppt课件（1）梯形公式的截断误差为2.截断误差截断误差公式为：第一积分中值定理故24ppt课件（2）Simpson公式的截断误差可以证明，Simpson公式的截断误差为：可以证明，Cotes公式的截断误差为（3）Cotes公式的截断误差上述结论的证明比较复杂，这里省略。25ppt课件n<8时，可以保证Newton-Cotes公式是稳定的；n8时，Newton-Cotes公式不一定是稳定的。四、Newton-Cotes公式的稳定性和收敛性1.稳定性也能够控制，则称此数值求积公式是稳定的。26ppt课件稳定！27ppt课件则称此积分方法是收敛的。可以证明，并非对一切连续函数f(x),Newton—Cotes公式的收敛性都能够保证。因此，在实际计算时，很少使用高阶的牛顿—柯特斯公式。2.收敛性若28ppt课件

§5.3复化求积公式(1)如果使用低阶的Newton-Cotes公式，误差将会较大；所谓复化求积法，就是(3)最后将每个小区间上的积分的近似值相加。为了提高公式的精度,又使算法简单易行,往往使用复化求积法.一、问题(1)

首先把整个积分区间分成若干个子区间（通常采用等分)；(2)

然后在每个小区间上使用低阶Newton-Cotes公式;（2）如果使用高阶的Newton-Cotes公式，则系数复杂，

且公式的稳定性和收敛性也不能保证。29ppt课件二、复化求积公式各节点为复化梯形公式30ppt课件复化辛普森公式复化柯特斯公式31ppt课件三、复化求积公式的截断误差我们上一节知道，三个求积公式的截断误差分别为单纯的求积公式复化求积公式在每个小区间32ppt课件复化梯形公式的截断误差由于即有33ppt课件复化simpson公式的截断误差复化cotes公式的截断误差34ppt课件比较三种复化公式的的余项35ppt课件例1解:=336ppt课件例2解:37ppt课件各节点的值如下页表格38ppt课件各节点的值如下表

010.1250.99739780.250.98961580.3750.97672670.50.95885100.6250.93615560.750.90885160.8750.877192510.841470939ppt课件分别由复化梯形、复化辛普森、复化柯特斯公式有40ppt课件原积分的精确值为精度最高精度次高精度最低三个公式的结果比较三种方法的工作量基本相同。收敛速度一个比一个快。实际应用时，较多地应用辛普森公式。41ppt课件四、自动选取积分步长(1)高阶导数的估计往往是很困难的；“事后估计法”的基本思想是(2)利用前后两次的计算结果来判断误差是否满足精度要求，从而确定n.为了改正上述缺点，实际常采用“事后估计法”事前确定步长的问题(1)

求数值积分时，将区间逐次分半；下面以复化梯形公式为例来介绍这种步长逐次减半求积法(2)这种估计往往是很保守的，得到的n往往偏大。42ppt课件将区间[a,b]n等分，步长，复化梯形公式为再将步长减半，增加新分点，公式变为如何根据Tn和T2n来确定误差是否满足要求？43ppt课件则有即如果二阶导数在区间[a,b]上变化不大44ppt课件类似地可以推得45ppt课件例3解:2nT2n|T2n-Tn|2nT2n|T2n-Tn|10.9207355320.94605860.000073620.93979330.0190578640.94607690.000018340.94451350.00472021280.94608150.000004680.94569090.00117742560.94608270.0000012160.94598500.00029415120.94608300.000000346ppt课件

§4.3龙贝格（Romberg）算法

一、问题复化梯形公式简单，但计算精度较差有没有办法改善复化梯形公式的精度呢?由上节关于复化梯形公式的误差公式可得此式可视作用误差对作一种补偿，可以提高精度。47ppt课件对上式进行计算48ppt课件为了便于记忆，将上式写成梯形加速公式类似地可以推得抛物线加速公式龙贝格求积公式49ppt课件说明（1）根据上述公式，可以由序列求得序列，

，。（2）上述将变步长的梯形法得到的积分值加工成精度较高的积分值的求积方法称为龙贝格求积算法。（3）利用两个系数可以构造出新的求积公式，

但当m>=4时，计算结果差别不大，但增加了计算量，故一般不用。例150ppt课件解:kT2kS2kC2kR2k00.920735510.93979330.946145920.94451350.94608690.946083030.94569090.94608340.94608310.946083140.94598500.94608300.94608300.9460830这里只用了就得到了精度较高的，效果显著。51ppt课件

二、龙贝格求积公式的计算步骤52ppt课件例2解:53ppt课件54ppt课件应用龙贝格算法，系数有规律，不需要存储求积系数，内存占用少，精度高，很适合计算机计算。55ppt课件Romberg积分法的一般公式其中56ppt课件Romberg积分表57ppt课件§5.5高斯（Gauss）求积公式一、高斯积分讨论的问题n+1个节点的插值型求积公式牛顿-柯特斯(等距节点)求积公式牛顿-柯特斯求积公式至少具有n次代数精度，当n为偶数时，至少具有n+1次代数精度。58ppt课件

根据代数精度的定义，只要找到一个2n+2次的多项式使公式不能精确成立即可。问题如果适当选取积分节点，代数精度能否提高？最高能达到多少阶？(2)当代数精度达到最高时，积分节点如何选取？定理的插值型求积公式的代数精度最高不超过2n+1次。证明：形如59ppt课件于是问题：代数精度为2n+1次的插值型求积公式存在吗？定义：若一组节点使插值型求积公式具有2n+1次代数精度，则称此组节点为高斯点，并称相应的求积公式为高斯求积公式。高斯求积公式是否存在，如何构造？根据代数精度的概念解方程组如何？60ppt课件二、高斯求积公式1.高斯求积公式的存在条件61ppt课件证明：必要性充分性62ppt课件该定理告诉我们：

要寻找高斯点，首先要求区间[a,b]上一正交多项式，并进而求其n+1个零点。

那么，如何求上述正交多项式以及它的零点呢？

63ppt课件2.高斯求积公式的构造

(1)正交多项式的性质：在上的次正交多项式一定有个互异实零点，且全部位于内。

(2)不失一般性，积分区间可取为[-1,1]。这是因为通过变换总可以将区间[a,b]变为[-1,1]，而积分变为其中故可以只考虑积分。证明省略64ppt课件考虑n次勒让德多项式可以验证：它是一个[-1,1]上的一个n次正交多项式。验证65ppt课件以勒让德多项式的零点为求积节点的插值型求积公式称为高斯—勒让德求积公式，或称高斯公式。使用高斯—勒让德求积公式时，需要（1）求节点；(2)求系数。例题：构造一点和两点的高斯—勒让德求积公式。解：一次勒让德多项式的零点66ppt课件求积公式于是得一点公式为二次勒让德多项式的零点求积公式为67ppt课件于是得两点高斯—勒让德公式为定理证明省略68ppt课件由于求积节点xk和求积系数Ak与f(x)无关，所以为了便于应用，通常将节点和系数制成表格。nxkAknxkAk1027±0.9491079123±0.7415311856±0.405845151400.12948496620.27970539150.38183005050.41795918372±0.577350269213±0.774596669200.55555555560.88888888894±0.8611363116±0.33998104360.34785484510.65214515498±0.9602898565±0.7966664774±0.5255324099±010122853630.22238103450.31370664590.36268378345±0.9061798549±0.538469310100.23692688510.47862867050.56888888896±0.9324695142±0.6612093865±0.2386191861036076157300.46791393469±0.9681602395±0.8360311073±0.6133714327±0.324253423400.0812743884026061069640.31234707700.330239355069ppt课件例1：应用两点Gauss-Legendre求积公式计算积分解：作变换70ppt课件三点Gauss-Legendre求积公式71ppt课件

解用Gauss-Legendre求积公式计算。n=5

积分精确值为

I=ln2=0.69314718…由此可见，高斯公式精确度是很高的。例题2利用5点高斯求积公式计算72ppt课件当已知函数在若干离散点的函数值时，导数的计算只能采用数值方法。

§5.6

数值微分请看一个实例:已知20世纪美国人口的统计数据为(单位:百万)试计算美国20世纪的(相对)年增长率年份1900191019201930194019501960197019801990人口7