2023年高考数学第40讲 向量法解解析几何问题

第40讲向量法解解析几何问题

一、知识聚焦

向量在解析几何中的作用巨大，主要有载体作用和工具作用.

1载体作用

向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，使问题更有“新意”，两类知识通过图

形交汇又显得非常自然，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，

导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题，这

也是高考命题的一个重要指向，所以应加强向量的应用意识，自觉地用向量的思想和方法去

思考问题，考虑问题要全面深入.

2工具作用

平面向量既有形的特征，又可以像数一样运算，并可以利用坐标表示，因此在解决平面

向量与解析几何的综合题时，可以向量为工具，求解解析几何中的平行、垂直、共线、夹角

等问题，常见结论主要有：

⑴若直线的方向向量少(L心或n),则直线斜率为々或0)；

m

(2)若易+茂与Z8相交，则a+法过48的中点；

(3)若赢升/0,则。是AW的中点；

(4)若翡+石=4(而+Q),贝IJRQ与的中点三点共线；

(5)下列情形可使4B,。三点共线:①成〃信；②存在实数心使嬴点:；，③若存在

实数a,0,且a+£=L^OC^aOA+pOB.

若弓I入向量坐标，向量的坐标运算与解析几何解题的基本方法——坐标法又完全合拍，

以下知识在解题中经常用到：

设a=（M,yi）,b=（x2,谒，a,b的夹角为a,

(l)alb-Q^xiX2+yiyz-Q；

(2)a//t^a=At^xiy2-X2yi=0；

⑶COSa=上巴=_9”绊

同平|荷+力心+只

二、精讲与训练

核心例题1

若实数X,，满足方程义+4-2片4妙1=0,求代数式三的取值范围.

解题策略

设Rx,力是HIx+y-2x-4y+l=0上的一个动点，4-2,0)是平面直角坐标系内一个定

点，求上的取值范围即求圆上动点P与定点力连线斜率的取值范围.本例可用代数法(判

x+2

别式法)或几何法(圆心到直线距离)求解，但如果能构造向量来解，则更显简洁优美.

解:设二一=r,贝［I片次+2r,1.

x+2

,•・方程V+/-2x-4y+l=。可化为(工-1)2+(y-2『=4.

故可将①式改写成3f-2=-f(x-l)+l-(y-2).

构造向量3=(x-1,y-2),b=4t,1),

则同二+(y-2『=2,\b|=J/2+1,a-b-3t-2.

由同时得(3L2工4(，+1),解得OWfW”，故所求上的取值范围是|o,芋,

5x+2L5_

变式训练

已知实数x,JZ满足方程(X+2)2+/=1,则组的最小值为.

x-2

核心例题2

⑴已知点户在边长为2的正方形力8。。的边界上运动，点例在以户为圆心，1为半径

的圆上运动，则嬴1•局的最大值是().

42B.1+叵CA+2近0.2+2友

22

⑵过双曲线三-a=1(。＞0,。＞0)的左焦点&G0乂。＞0)作倾斜角为g的直线任交该

ab6

双曲线右支于点只若OE=；(O尸+OP),且金行=0,则双曲线的离心率为().

A—£A/3+1C.—D.y/2

52

解题策略在解析几何与向量的综合问题中，若向量式有明显的几何意义，可以根据向量

式的几何意义，用数形结合思想方法求解.若几何意义不明显，则需要挖掘出向量问题的几

何本质，问题就会迎刃而解.

解：(1)以/为坐标原点，建立如图40-1所示平面直角坐标系，可得c

40,0),5(2,0),Q2,2),以0,2),取力。的中点0(1,1).I.o

设攸/77,ri),则/144欣7=(-m2-/7)=(m-l/+(/7-l)2-2,-\/f/'；

要求扇•薪用最大值，即求点M),〃)与点0(1,1)距离平方的最图40.1

大值.

由图40-1可得，当点户在点4B,C,。时，户。有最大值，即|传。k,=l+3.故扇

•麻勺最大值为(1+后『-2=1+2&,故选C

⑵如图40-2所示，•.,私;(方+旗)，.・.£是由的中点

又余行=0,OE1EF.

设点尸为双曲线的右焦点，连接。尸，则外，小

■：^PFO-,OF=c,OE=-,PF=c.

62

5^\PF\-c+2a,|可+|所『==4/,(cH-2a)2+c=4c,

.•V-2才-2aG0.，eJ2e-2=0,解得e二百+1(负值舍去)，即双曲线的离心率为3+1,

故选B.

变式训练

x~o

(1)如图40-3所示，已知椭圆方程为二+y2=1,4是椭圆

4

的左顶点，以力为圆心，作圆与椭圆交于仪/V两点，则AAT4V

的取值范围是_

(2)已知是双曲线。耳―V=1上的一点，3月是

C的两个焦点，若5<0,则心的取值范围是().

2石2VT

A.L3)

6'64-平琴)133)

核心例题3

已知一条曲线。在y轴右边，。上每一点到81,0)的距离减去它到_/轴距离的差都是

1.

(1)求曲线。的方程.

⑵是否存在正数神，对于过点做利，0)且与曲线。有两个交点46的任一直线，者隋

E4/B<0?若存在，求出。的取值范围，若不存在，请说明理由.

解题策略本例是解析几何与向量的综合，是高考命题的又一热点，求解时应注意根据向

量式的特征，寻求其几何意义或将向量式转化为坐标式，根据其几何意义或坐标特征，寻求

解题思路，当题中涉及两直线所成角时可转化为向量，而本例提出的E4•必<0是否存在的

探讨，则可利用数量积求解.

解⑴设P(x,y)是曲线C上任意一点，则点P(x,y)满足7(x-l)2+y2—x=l(x>0),

化简得/=4x(x>0),即曲线C的方程为V=4x(x>0).

⑵设过点M(m,0)(m>0)的直线/与曲线C的交点为4(%,y),3(/,%)，设/

的方程为x=)+〃z,由〈,得厂一4"-4/〃=0.

y=4x

/,\y,+y,=4/,_

A=16p+m)>0,于是％72“①

\7,1%=一4m.

又E4=(5-l,^),FB=(x,-l,>>2),E4FB<0,

<=>(%—。(赴一l)+x%=%/一(%+马)+1+>|必<0•②

222,22、

又x=j,于是不等式②等价于斗兽+x%-4+4+1<。

444144J

=('1|2)-+>1%_；|'(丁1+%)一_2乂必+1<。.③

由①式，不等式③等价于加2一6m+1<4产，④

对任意实数r,4/的最小值为0,•,.不等式④对一切f成立等价于/-6机+1<0,

即3-2夜<小<3+2夜.

由此可知，存在正整数机，对于过点初(见0)且与曲线。有两个交点46的任一直线,

都有用•尸8<0,且m的取值范围是(3-20,3+20).

变式训练

给定抛物线C：y2=4x,尸是。的焦点，过点尸的直线/与。相交于46两点.

⑴设/的斜率为1.求。4,。8与夹角的余弦值的大小.

(2)设尸B=2AF,若；le[4,9],求直线/在y轴上截距的变化范围.

核心例题4

在平面直角坐标系X。中，。为坐标原点，动点户与两个定点〃(l,0),N(4,0)的距离

之比为’.

2

(1)求动点。的轨迹”的方程.

⑵若直线/：)，=丘+3与曲线”交于48两点，在曲线上是否存在一点。使得

OQ^OA+OB,若存在，求出此时直线/的斜率；若不存在，说明理由.

解题策略第(1)问，由直接法求出动点"的轨迹”的方程.第⑵问，由⑴可知

轨迹W是一个圆，具有完美的对称性，且OQ=04+O8,根据向量的加法以及

|。4卜|。耳，易得四边形O4Q8为菱形，对于解析几何问题的解决，其思维特征是:以几何特

征寻找代数关系，以代数关系挖掘几何特征.

IPMI1

解(1)设点P的坐标为(x,y),依题意有:丽^=不，

即27(%-1)2+/=J(X-4)+1，化简得V+y2=4

•••动点P的轨迹W的方程为f+V=4.

(2)解法一直线/：y=fcc+3与曲线W:f+y2=4相交于4,8两点，原点到直线/

的距离1=不二＜2,•・.%＞交或人〈一交.假设存在点。，使得。。=。4+。8.

22

在圆上，且。Q=0A+08,由向量加法的平行四边形法则可知四边形“Q8

为菱形，•••0Q与46互相垂直平分，进而得到原点。到直线/：y=H+3的距离为

13

d=-\0Q即

|=1,a=r―=1.

2k~

解得％②=8,Z=±20.

经验证女的值满足条件，，存在点。，使得。。=04+08.

解法二直线/：y=丘+3与曲线W:/+y2=4相交于力，6两点,

联立消去y,得(公+l)d+6依+5=0.

xz+yz=4\'

由A=36左2—20(公+1)＞0,得％＞乎或左〈一半.

6k