2023年高考数学强基计划模拟试卷含答案（十六）

2023年高考数学强基计划模拟题（十六）

（满分100分，测试时间：60分钟）

一、选择题（每题10分）

1.方程久+y+z=12中，满足xN-2,y>-3,z2-4的整数解的组数为.（）

A.127B.128C.253D.256

2.设圆内接四边形的四边长顺次为1,2,3,4,则这个圆的半径是.（）

ABQD

'24*18•6•24

3.四个半径为1的球两两层叠（每一个球与其他三个球相切），并内切于一个正四面体中，则

这个四面体的边长为.（）

A.2(1+V6)B.6C.2(1+V3)D.2+

4.(1+tanl°)(l+tan2°)-(l+tan44°)(l+tan45°)=()

A.2B.1024C.222D.223

5.函数f（%）=x2+aln（l+%）有两个极值点%1，%2，且%1<%2,则下列说法中正确的是・)

A.0<a<!B.a<；

C/（%2）最小值存在，是D./（小）最小值不存在

6若a>0,且q1、2♦\」十，

则下列说法中正确的是.（）

\------------V------------

A.若0<a<2,则liman=2B.若a>2,则lima”=2

C.对于任意a*2,数列极限不存在D.若0<a<2,则即=2cos等竽

二、解答题（每小题20分）

7.证明对于所有的正整数nN4,存在一个集合S,满足如下条件:

（1）S由都小于2"T的n个正整数组成；

(2)对于S的任意两个不同的非空子集4B,集合4中所有元素之和不等于集合B中所有元素

之和.

8.已知椭圆的两个焦点为尸式一1,0),F2(l,0),且椭圆与直线y=x-b相切.

(1)求椭圆的方程；

(2)过F］作两条互相垂直的直线。，12,与椭圆分别交于P,Q及M,N,求四边形PMQN面积

的最大值与最小值.

答案

LC解：注意到0+3)+(7+4)+(2+5)=24,而这个方程的解的组数为废3=253.

2.。解：设四边形4BCD中，=1,|BC|=2,|CD|=3,|。*=4.由余弦定理有

I2+22—2-1-2cosB=32+42+2•3•4cosF,

解得cosB=—|,sinB—故

ACJ12+22-2-1-2COSB/12+22+21-2-572310

r=-------=--------------------------=—................--------=---------.

2sinB2sinB力独24

3.A解：只需注意到，四个球心构成边长为2的正四面体，其面到外四面体对应面的距离为1.

注意到边长为a的正四面体的内切球半径是r=^a，故a=2返兀

内正四面体球心到面的距离(即内切球半径)为吗.2=容外正四面体的内切球半径为1+容

1266

从而边长为2a(1+y)=2(1+V6).

4.D解:(1+tanl°)(l4-tan440)=1+tan44°+tanl°+tan44°tanl",

,Aro41。」4。、tanl°+tan440

tan45=tan(l+44)=——―-o--770=14，

''1-tanltan44

(14-tanl°)(l+tan44°)=14-1—tanl°tan44°+tan44°tanl0=2,

同理,得(1+匕口2°)(1+13!143°)=2一・・,(1+tan22°)(l+tan23°)=2,

二原式=222x(1+tan45°)=223.

5.ABD【解析】解：一方面，尸(久)=2x+含=空若小(x>一1),令g(x)=2x2+2x+a,

其对称轴为x=-g,则有

M=4—8a>0,

ig(T)=a>0,

得0<a<

另一方面，，(%2)=舒+aln(l+不)=需一(2慰+2%2)ln(l+次)(%2>-g)，得/(%2)>

士鲁，故/(小)的最小值不存在，但可以无限趋近.

6.ABD【解析】解：一方面，注意到a"1=即+2,则0<a<2或a>2时｛a。｝均有单调性,

从而数列有极限.

令n趋向无穷，则/=x+2,解得极限是2.

另一方面，若0<a<2,利用三角换元，设即=2cos8n(n€N+),贝！］

22

4cos28n+i=2cos8n+2=2(2cos^-1)+2=4cos

即C0S/+1=cos等9n=晶=:学,从而即=2cos；学

7.解:当n=4时,取5={3,5,6,7},则S满足条件.

当n25时，令5={3,23,24,-,2时2,2时1-3,2^-2,2^-1),下面证明这样的S满足

条件.

事实上，设A,B是S的两个不同的非空子集，令f(X)表示X的所有元素之和，要证明的目标

是/(力)*f(B),不妨设4ClB=0.注意到对于任意的mGN*,均有1+2+22+…+2^=

2"»一1<2加.所以，当。=2k】-3,b=2"-1-2,c=2"】一1都不属于AuB时，均有

f(A)丰f(B).

进一步地，因为3+23+24+…+2n<=271-1-5,所以当a,b,c中恰有一个属于AUB时,

比如a€4将有/(4)>/(B),此时/(A)于/(B);类似地讨论a,b,c中有两个或三个属于

AU8时,均可得到/(力)H/(B).

综上所述，当?124时，满足条件的S都存在.

8.解：(1)设椭圆的方程为盘+《=l(a>b>0).因为它与直线y=尤一百只有一个公共点,

(立+且=1

2

所以方程组，a?6'只有一个解，整理得(a2+b2)/—2ba2x+3a2-a2b2=o,

(y=x-V3

所以/=(-2V3a2)2-4(a2+b2)(3a2-a2b2)=0,

得a?+b2=3.又椭圆的焦点为Fi(—1,0),尸2。0)，所以a?—炉=1.

2

联立上式解得。2=2,b2=l,所以椭圆的方程为色+丫2=1.

(2)若PQ斜率不存在(或为0),则

C_\PQ\-\MN\_2^x2jl4_

3四边形PMQN_2一2一Z

若PQ斜率存在，设为k(kHO),则MN斜率为一士所以直线PQ的方程为、=卜％+上

K

-2_1

设PQ与椭圆交点的坐标为尸0141),<?。2,及)，联立方程了+y-L

,y=kx+k,

22

化简得(2/+l)x+4k2x+2k-2=0,则xi+x2=¥，x/2=哙，

2k+12k+1

所以l'Q\\IriJJ-

必+i

2\[2