2023年高考数学热点解析：圆追曲线中的定值问题（原卷版）

圆锥曲线中的定值问题

处理圆锥曲线中定值问题的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.（2）直接推理、

计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

考法1证明某些几何量为定值

【例1】（2022•广东•模拟预测）已知双曲线cW-4=1（a＞0,/＞＞0）的离心率为2,右顶点。到一条渐近线

ab~

的距离为

2

⑴求双曲线C的方程；

⑵若直线/与双曲线C交于48两点，且方.赤=0,0为坐标原点，点。到直线/的距离是否为定值？若是,

求出这个定值；若不是，请说明理由.

【解题指导】（1）设渐近线方程一＞点D到渐近线距离列方程一＞双曲线线的离心率-求得db—＞双曲线C

朝程

（2）考虑直线斜率不存在和为0时一）点。到直线/的距离T设直线方程方程一＞根与系数关系一

OAOB=G列方程一►点到直线距离公式一►求得。点到直线/的距离.

v-2

【例2】（2022•湖北省天门中学模拟预测）在平面直角坐标系X。中，已知椭圆C1+/=1,点

「⑴，y\\。（孙㈤是椭圆C上两个动点，直线。尸，。。的斜率分别为左I,左2,若/«=（?,"）,

“=（/，%），mn=°-

（1）求证：kvki=一;；

4

（2）试探求△OPQ的面积S是否为定值，并说明理由.

【解题指导】

丁|逻辑推理设PQ的方程并与椭圆方程

m-n=O互以数学基算|联立，求彳毓与系数关系

其辑建立系数加|_数学运算

S是定值-II

国界I_____经扇16间的关系逻辑推理

【解题技法】参数法解决圆锥曲线中最值问题的一般步骤

(12」选择变量，一般为点的坐标.直线的得率等

,0\:把要求解的定值表示成含上述变量的式子，

二化［_」并利用其他辅助条件来美少变量的个效，

，(用，)厂使其只含有一个变量(或者有多个变量，但

一n一;是能整体约分也可以)

,"一、「花手以算竟瓦温区一目质结A可知要

［三定值］:证明为定值的量必与交量的值无关,热求

(消参)L出的式子必能化为一个常数,所以只争对

1-------):上述式子进行必要的化筒即可得到定值

【跟踪训练】

(2020•北京卷)已知椭圆C5+二=1过点/(-2,-1),且a=2b.

(1)求椭圆C的方程；

⑵过点8(-4,0)的直线/交椭圆C于点”，N,直线M4分别交直线x=-4于点P,Q,

喘的值。

考法2证明某些代数式为定值

【例3】(2022•山东泰安•三模)已知椭圆E：W+g=l(a>b>0)的离心率0=走，四个顶点组成的菱

a2b22

形面积为8&,。为坐标原点.

⑴求椭圆E的方程；

Q

⑵过。。：/+_/=§上任意点尸做。。的切线/与椭圆£交于点MN,求证丽.丽为定值.

【解题指导】

微率不存在外怵P,M,N坐标

6一量积运算一懵蠲

|设直线方程卜厉程联升|根与系数关系卜陨座标

【解后反思】常见处理技巧：(1)在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢;

(2)巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符号曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算.

【例4】(2022•湖南怀化•一模)如图.矩形488的长=26,宽=以48为左右焦点的椭圆

r2v2

〃：++彳=1恰好过C、D两点，点P为椭圆M上的动点.

ab

⑴求椭圆M的方程，并求莎・丽的取值范围;

(2)若过点B且斜率为k的直线交椭圆于M、N两点(点C与/、N两点不重合)，且直线CM、CN的斜率分别

为占、试证明占+&-2%为定值.

【解题技法】圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略

(1)证明代数式为定值:依题意设条件捐出与代数式中参数有关的等式，代人代数式并化简，即可得出定值；

(2)证明点到直线的距离为定值:利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、证明.

【跟踪训练】

(2022•衡水模拟)已知点P在圆0：才2+产=6上运动，点尸在x轴上的投影为Q,动点M满足(1-3)丽=

Ok-\l3dh.

(1)求动点M的轨迹E的方程；

(2)过点(2,0)的动直线/与曲线£交于48两点，问：在x轴上是否存在定点。使得方•成+忘2的值

为定值？若存在，求出定点。的坐标及该定值；若不存在，请说明理由.

圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略

1.求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得

出定值；

2.求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化

简、变形求得；

3.求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可

求得.

1.（2023•河南•统考模拟预测）设椭圆E：£+《=1仅>6>0）的右焦点恰好是抛物线的焦点，

椭圆E的离心率和双曲线1-/=1的离心率互为倒数.

⑴求椭圆E的标准方程；

⑵设椭圆E的左、右顶点分别为aB,过定点N（-I,o）的直线与椭圆E交于C,。两点（与点a8不重

合）.证明：直线4C,8。的交点的横坐标为定值.

22

2.（2023•河北唐山•统考一模）已知双曲线从亍一句,其力叫过点尸仅⑵，且P与E的两个顶点连

线的斜率之和为4.

⑴求E的方程；

（2）过点加（1,0）的直线/与双曲线E交于A,8两点（异于点P）.设直线5c与x轴垂直且交直线4P于点C,

若线段8c的中点为N,证明：直线用N的斜率为定值，并求该定值.

丫2

3.（2023•江苏南通•统考模拟预测）已知可国,乂），B（x2,y2）,〃三,为）三个点在椭圆5+/=1，椭圆外

一点尸满足方=2态，丽=2而，（。为坐标原点）.

⑴求为芍+2凹%的值;

⑵证明：直线/C与08斜率之积为定值.

4.（2023•全国•本溪高中校联考模拟预测）已知一条长为4行的线段48的端点48分别在双曲线K-/=]

3

的两条渐近线上滑动，点尸是线段力8的中点.

⑴求点尸的轨迹C的方程.

⑵直线/过点。卜4五,0）且与C交于E、尸两点，/交V轴于点〃（00.设施=叫丽，MF=m2FD,求

证：机i+啊为定值.

5.（2023•福建泉州•统考三模）已知椭圆C:片+片=1的左、右顶点分别为4B.直线/与C相切，且与

43

圆。:一+『=4交于M,N两点，〃在N的左侧.

⑴若|MN|=警，求/的斜率；

（2）记直线的斜率分别为匕,月，证明：发此为定值.

6.（2023•山东临沂•统考一模）已知动点M（x,y）与点尸（1,0）的距离和它到直线x=4的距离之比是g,点M

的轨迹为曲线C.

⑴求C的方程；

⑵若点4民”在。上，且荏=2函/。与8E交于点P,点尸在椭圆展+5=1上，证明：加8的面积

为定值.

7.（2023•山东荷泽联考一模）已知圆月：卜+应『+产=16,E为圆月上一动点，心（0,0）,线段％的

垂直平分线交明于点G.

⑴求动点G的轨迹C的方程；

⑵已知“（2,0）,轨迹C上关于原点对称的两点MN,射线/M4N分别与圆x2+/=4交于尸，。两点，

记直线MN和直线PQ的斜率分别为k、,k2.

①求AM与AN的斜率的乘积；

②问2是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.

8.（2023・四川南充•四川省南部中学校考模拟预测）已知椭圆区£+5=1（4>6>0）的离心率e=^，点

a-b22

在椭圆上.

⑴求椭圆E的方程；

（2）过点N（l,0）的直线/交椭圆E于C,。两点，试探究在x