412序列相关性教学课件

人的差异在于业余时间412序列相关性412序列相关性人的差异在于业余时间412序列相关性§4.2序列相关性SerialCorrelation一、序列相关性概念二、实际经济问题中的序列相关性三、序列相关性的后果四、序列相关性的检验五、序列相关的补救六、虚拟序列相关问题七、案例分析§4.2序列相关性或（4.2.2）称为一阶列相关或自相关（autocorrelation）或一阶自回归过程。其中：被称为自协方差系数（coefficientofautocovariance）或一阶自相关系数（first-ordercoefficientofautocorrelation）

i是满足以下标准的OLS假定的随机干扰项：如果仅存在

E(i

i+1)0

i=1,2,…,n（4.2.3）自相关往往可写成如下形式：

i=i-1+i-1<<1（4.2.4）所谓“一阶”是指序列相关只涉及i和它的上一期值i-1，也就是说，最大间隔是一个时期（单位）。如果模型是

它将是AR(2)或者说二阶自回归过程。随机误差项的一阶自回归图式

由于序列相关性经常出现在以时间序列为样本的模型中，因此，本节将用下标t代表i。

二、实际经济问题中的序列相关性

大多数经济时间数据都有一个明显的特点:惯性，表现在时间序列不同时间的前后关联上。

GDP、价格指数、生产、就业与失业等时间序列都呈周期性，如周期中的复苏阶段，大多数经济序列均呈上升势，序列在每一时刻的值都高于前一时刻的值，似乎有一种内在的动力驱使这一势头继续下去，直至某些情况（如利率或税收的升高）出现才把它拖慢下来。1、经济变量固有的惯性实际经济问题中，序列相关性产生的原因主要来自以下三个方面：以总收入作为解释变量，以总消费额作为被解释变量，那么，为除去总收入之外的影响消费的所有因素之和。如消费习惯等。

例如，绝对收入假设为理论假设、以时间序列数据做样本建立居民总消费函数模型：

Ct=0+1Yt+tt=1,2,…,n如果收入之外的因素发生变化，显然会通过对当期的消费产生影响。以消费习惯为例，一个习惯形成后在短期内很难发生巨大改变。即消费习惯具有惯性。若前一年它对消费产生正的影响，那么后一年也会是正的影响，于是在不同的样本点（不同年份）间，之间存在关联从而出现序列相关性，而且在这个例子中，之间表现为正相关性。又例如，以时间序列数据为样本建立农业生产函数模型。如果模型的解释变量中不包含气候变量，那么它对农业产出的影响将反映在中。由于气候的变化往往呈现出好坏相间的趋势，在第t年它对产出有正的影响，在第t+1年一般就会产生负的影响。于是引起之间存在关联，出现序列相关。而且在此例中，之间存在负相关。由于经济行为的惯性，使得在采用时间序列数据进行计量分析时，往往易出现序列相关性。2、模型设定的偏误

所谓模型设定偏误（Specificationerror）是指所设定的模型“不正确”。主要表现在模型中丢掉了重要的解释变量或模型函数形式有偏误。

例如，本来应该估计的模型为

Yt=0+1X1t+2X2t+3X3t+t其中Y=牛肉需求量，X1=牛肉价格，X2=消费者收入，X3=猪肉价格。但在模型设定中做了下述回归：

Yt=0+1X1t+1X2t+vt因此，vt=3X3t+t，如果X3确实影响Y，则出现序列相关。于是在猪肉价格影响牛肉消费量的情况下，这种模型设定的偏误往往导致随机项中有一个重要的系统性影响因素，使其呈序列相关性。

但建模时设立了如下模型：Yt=0+1Xt+vt因此，由于vt=2Xt2+t,，包含了产出的平方对随机项的系统性影响，随机项也呈现序列相关性。又如：如果真实的边际成本回归模型应为：Yt=0+1Xt+2Xt2+t其中Y=边际成本，X=产出，3、蛛网现象

意味着，农民由于在年度t的过量生产（使该期价格下降）很可能导致在年度t+1时削减产量，因此不能期望随机干扰项是随机的，往往产生一种蛛网模式。例如，农产品供给对价格的反映本身存在一个滞后期：

Yt=0+1Xt-1+t其中Y＝供给，X＝价格；

4、数据的“编造”例如：季度数据来自月度数据的简单平均，这种平均的计算减弱了每月数据的波动性，而引进了数据中的匀滑性，这种匀滑性本身就能使干扰项中出现系统性的因素，从而出现序列相关。还有就是两个时间点之间的“内插”技术往往导致随机项的序列相关性。

在实际经济问题中，有些数据是通过已知数据生成的。

因此，新生成的数据与原数据间就有了内在的联系，表现出序列相关性。

一般经验告诉我们，对于采用时间序列数据作样本的计量经济学问题，由于在不同样本点上解释变量以外的其他因素在时间上的连续性，带来它们对被解释变量的影响的连续性，所以往往存在序列相关性。1、经济变量的一个显著特点是大多数都具有惯性，尤其在经济时间序列的分析中，这个特点更加明显，进而产生了序列相关性。所以在处理时间序列数据时，尤其要注意序列相关问题。2、而且经济模型中的误差项之间经常出现序列正相关的情况。3、一阶自回归模式（模型）是一种在经济分析中非常重要的序列相关模式。序列相关的几点性质计量经济学模型一旦出现序列相关性，如果仍采用OLS法估计模型参数，会产生下列不良后果：

三、序列相关性的后果1、参数估计量非有效

OLS参数估计量仍具无偏性；

OLS估计量不具有有效性；因为在有效性证明中利用了，即同方差和相互独立条件；2、变量的显著性检验失去意义在变量的显著性检验中，统计量是建立在参数方差正确估计基础之上的，这只有当随机误差项具有同方差性和互相独立性时才能成立。其他检验也是如此。3、模型的预测失效

区间预测与参数估计量的方差有关，在方差有偏误的情况下，使得预测估计不准确，预测精度降低。所以，当模型出现序列相关性时，它的预测功能失效。由于序列相关性表现为随机误差项之间存在某种联系，因此不同的序列相关性检验方法的基本思路是相同的；检验序列相关性，也就是检验不同的随机误差项之间是否存在联系（相关性及其相关的“形式”）。序列相关性检验的基本思路:四、序列相关性的检验用残差来表示相应的随机误差项

i。由于真实的

i是无法观察的，问题:用什么来表示未知的随机误差项?首先，采用OLS法估计模型，以求得随机误差项的“近似估计量”，用~ei表示：

lsiiiYYe0)ˆ(~-=然后，通过分析这些“近似估计量”之间的相关性，以判断随机误差项是否具有序列相关性。通过分析这些残差之间的相关性，以达到判断随机误差项是否具有序列相关性的目的。1、图示法同异方差性的图示检验法一样，通过对残差分布图的分析，可以大致判断随机误差的变化特征。由于残差可以作为i的估计，因此如果i存在序列相关性，必然会由残差反映出来。如果随着时间的推移残差分布呈现出周期性的变化，说明很可能存在自相关性。在方程窗口中点击Resids按钮即可得到残差分布图。一阶一阶时间顺序图将时刻t的残差对时刻（t-1）的残差描点2、回归检验法……如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在序列相关性。

回归检验法是衡量多个变量之间相关程度的重要指标，可以用它来判断自相关的类型。以te~为被解释变量，以各种可能的相关量，诸如以1~-te、2~-te、2~te等为解释变量，建立各种方程：

回归检验法的优点是：（1）能够确定序列相关的形式;（2）适用于任何类型序列相关性问题的检验。利用Eviews软件计算，具体方式为:【命令方式】IDENTRESID【菜单方式】View\ResidualTest\Correlogram-Q-statistics屏幕将直接输出与（p为事先指定的滞后期长度）的相关系数和偏相关系数，从中可以直观看出残差序列的相关情况。3、杜宾-瓦森（Durbin-Watson）检验法

D.W.检验是杜宾（J.Durbin）和瓦森(G.S.Watson)于1951年提出的一种检验序列自相关的方法，但是它只适用于检验一阶自相关性.该方法的假定条件是：（1）解释变量X非随机；（2）随机误差项i为一阶自回归形式：

i=i-1+i（3）回归模型中不应含有滞后应变量作为解释变量，即不应出现下列形式：

Yi=0+1X1i+kXki+Yi-1+i（4）回归含有截距项

该统计量的分布与出现在给定样本中的X值有复杂的关系，因此其精确的分布很难得到。但是，他们成功地导出了临界值的下限dL和上限dU，且这些上下限只与样本的容量n和解释变量的个数k（包括常数项）有关，而与解释变量X的取值无关。

（1）杜宾和瓦森针对原假设：H0:=0，即不存在一阶自回归，构如下造统计量：D.W.检验的基本原理和步骤（4.2.5）

（2）给定，根据样本容量n和解释变量数目k查D.W.分布表,得到临界值dL和dU（3）按照下列准则考察计算得到的D.W.值,以判断模型的自相关状态.

若0<D.W.<dL存在正自相关dL<D.W.<dU不能确定dU<D.W.<4－dU无自相关4－dU<D.W.<4－dL不能确定4－dL<D.W.<4存在负自相关0dLdU24-dU4-dL

正相关不能确定无自相关不能确定负相关

D.W.0时，模型存在完全一阶正相关

D.W.4时，模型存在完全一阶负相关

当D.W.值在2左右时，模型不存在一阶自相关

其证明过程如下：

证明：展开D.W.统计量：

(4.2.6)

当n较大时则(4.2.6)式可化简为:如果存在完全一阶正相关，即=1，则D.W.0

完全一阶负相关，即=-1,则D.W.4

完全不相关，即=0，则D.W.2而为一阶自回归模型

i=i-1+i的参数估计。（1）从判断准则看到，存在一个不能确定的D.W.值区域，这是这种检验方法的一大缺陷。（2）D.W.检验虽然只能检验一阶自相关，但在实际计量经济学问题中，一阶自相关是出现最多的一类序列相关；（3）经验表明，如果不存在一阶自相关，一般也不存在高阶序列相关。所以在实际应用中，对于序列相关问题一般只进行D.W.检验。D.W.检验法的不足：4、拉格朗日乘数（Lagrangemultiplier）检验—GB检验拉格朗日乘数检验克服了DW检验的缺陷，适合于高阶序列相关以及模型中存在滞后被解释变量的情形。它是由布劳殊（Breusch）与戈弗雷（Godfrey）于1978年提出的，也被称为GB检验。

对于模型如果怀疑随机扰动项存在p阶序列相关：

(4.2.7)GB检验可用来检验如下受约束回归方程

约束条件为：

H0:1=2=…=p=0(4.2.9)即不存在相关性。对该假设的检验过程如下：（1）利用OLS法估计模型，得到残差序列(4.2.8)（2）将关于所有解释变量和残差的滞后值进行回归，并计算出辅助回归模型的可决系数（3）布劳殊与戈弗雷证明，在大样本情况下，渐近地有LM统计量：(4.2.10)因此对于给定显著水平a，若nR2临界值，则拒绝原假设H0即认为至少有一个的值显著地不等于零；也就表明可能存在p阶序列相关性。这里n和R2辅助回归的样本容量与可决系数利用Eviews软件可以直接进行BG检验：在方程窗口中点击View\ResidualTest\SerialCorrelationLMTest，屏幕将输出辅助回归模型的有关信息，包括nR2及临界概率值；但是GB检验需要人为确定滞后期的长度，实际应用中，一般是从低阶的p（p＝1）开始，直到p＝10左右，如果检验结果均不显著，则可以认为不存在自相关性。(4.2.11)【例1】中国城乡储蓄存款模型（自相关性检验），下表列出了我国城乡居民储蓄存款年底余额（单位：亿元）和国内生产总值指数（1978年＝100）的历年统计资料，试建立居民储蓄存款模型，并检验模型的自相关性。年份存款余额（Y）GDP指数（X）年份存款余额（Y）GDP指数（X）1978210.610019895146.9271.31979281.00107.619907034.2281.71980399.511619919107307.61981523.7122.1199211545.4351.41982675.4133.1199314762.39398.81983892.5147.6199421518.8449.319841214.7170199529662.25496.519851622.6192.9199638520.84544.119862237.6210199746279.859219873072.3234.3199853407.47638.219883801.5260.7（1）绘制相关图，确定模型的形式：scatXY有着明显的曲线相关关系，所以将居民储蓄存款模型函数初步定为：双对数模型、指数曲线模型和二次多项式模型；（2）利用OLS法估计模型，取双对数模型，估计结果为：

DependentVariable:LNYMethod:LeastSquaresDate:02/05/08Time:11:40Sample:19781998Includedobservations:21VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.LNX2.9588650.04611964.156660.0000C-8.0756530.255649-31.588830.0000R-squared0.995405Meandependentvar8.236497AdjustedR-squared0.995163S.D.dependentvar1.756767S.E.ofregression0.122176Akaikeinfocriterion-1.276309Sumsquaredresid0.283614Schwarzcriterion-1.176831Loglikelihood15.40124F-statistic4116.077Durbin-Watsonstat0.702822Prob(F-statistic)0.000000（3）检查自相关性①残差图分析：在方程窗口中点击Resids，所显示的图像表明呈现有规律的波动，预示着可能存在自相关性。②回归检验：在窗口中点击View\ResidualTest\Correlogram-Q-statistics，并输入滞后期为10，屏幕显示残差与的各期相关系数和偏相关系数，如下图；③D.W.检验：因为n＝21，k＝2，取显著水平α=0.05,而所以存在正自相关性。④BG检验：在方程窗口中点击View\ResidualTest\SerialCorrelationLMTest，并选择滞后期为2，结果如下：Breusch-GodfreySerialCorrelationLMTest:F-statistic10.10319Probability0.001284Obs*R-squared11.40487Probability0.003338TestEquation:DependentVariable:RESIDMethod:LeastSquaresDate:02/05/08Time:12:12Presamplemissingvaluelaggedresidualssettozero.VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.LNX0.0035480.0339110.1046180.9179C-0.0197180.187489-0.1051710.9175RESID(-1)0.9115470.2044350.0000001.0000RESID(-2)-0.6051860.2109254.3216120.0005R-squared0.543089Meandependentvar-1.40E-15AdjustedR-squared0.462458S.D.dependentvar0.119083S.E.ofregression0.087308Akaikeinfocriterion-1.869100Sumsquaredresid0.129587Schwarzcriterion-1.670143Loglikelihood23.62555F-statistic6.735457Durbin-Watsonstat1.530680Prob(F-statistic)0.003387③D.W.检验：因为n＝21，k＝2，取显著水平α=0.05,而所以存在正自相关性。如果模型被检验证明存在序列相关性，则需要发展新的方法估计模型。

最常用的方法是广义最小二乘法（GLS:Generalizedleastsquares）和广义差分法(GeneralizedDifference)。五、序列相关的补救1、广义最小二乘法广义最小二乘法，是最具有普遍意义的最小二乘法，先将存在违背基本假设的原模型中的变量转换为满足基本假设的新变量，然后对新变量使用OLS的估计方法叫做GLS，所得估计量称为GLS估计量普通最小二乘法和加权最小二乘法是它的特例。

对于模型

Y=X+(4.2.12)如果存在序列相关，同时存在异方差，即有显然是一对称正定矩阵，存在一可逆矩阵D，使得

=DD’用D－1左乘(4.2.12)式两边，得到一个新的模型：(4.2.13)即(4.2.13)式的OLS估计：

这就是原模型(4.2.12)式的广义最小二乘估计量(GLSestimators)，是无偏的、有效的估计量。该模型具有同方差性和随机误差项互相独立性：(4.2.14)对于(4.2.14)式中的，可以分为三种情况讨论（1）当Ω=I，即满足基本假设时，

为OLS估计，可见OLS估计是GLS估计的特例。（2）当Ω为对角矩阵，即存在异方差性时广义最小二乘估计就退化成为加权最小二乘估计。（3）当Ω矩阵具有如下形式即存在一阶自相关性时，即容易得到：(4.2.16)易知从而(4.2.18)(4.2.17)2、广义差分法（1）从一元入手：AR(1)时一元的一个例子设线性回归模型为：(*)已知μi有一阶自回归形式，即如何将序列相关的随机误差项为无序列相关的？把滞后一期的观测值代入模型，得方程：(**)将（*）减去（**）×，可得(***)根据，如果记原模型变换为(****)

满足无序列相关的基本假设，问题解决

上述变换模型的方法称为广义差分法。

所谓差分：将变量的当期值减去前期值（前一期或前几期）的一个比例用广义差分法得到的模型（***）或（****）称为广义差分模型（方程），该模型不存在序列相关问题。采用OLS法估计可以得到原模型参数的无偏、有效的估计量。【注意】广义差分模型（方程）中的斜率（偏斜率）系数和原模型一致，但其它指标（截距项、解释变量、被解释变量）均发生了变化用广义差分法对变量做的变换称为广义差分变换。当模型存在一阶自回归时，消除模型序列相关性所做的广义差分变换为（2）对于AR(1)时多元的情况可以类似推导设线性回归模型为：已知μi有一阶自回归形式，即把滞后一期的观测值代入模型，得方程：同（1）中的过程可得：根据，如果记原模型变换为（3）对于AR(p)时多元的情况设线性回归模型为：如果原模型存在AR(p)：可将原模型变化为：(4.2.19)(4.2.20)模型(4.2.20)式为广义差分模型，该模型不存在序列相关性问题。广义差分法的特点消除序列相关的目标：使求得的新模型中的随机误差项无序列相关广义差分法的具体做法第一步：原模型中的随机误差项存在几阶自回归形式，就对原模型滞后几期并给每期乘上相应m(m=1,2,，p)第二步：用原模型减去各滞后期模型，所得新模型消除了序列相关性

广义差分法就是上述广义最小二乘法，但是却损失了部分样本观测值。3、随机误差项相关系数的估计

应用广义最小二乘法或广义差分法，必须已知随机误差项的相关系数1,

2,…,

L。实际上，人们并不知道它们的具体数值，所以必须首先对它们进行估计。

常用的估计方法有：从D.W.统计量中估计；科克伦-奥科特（Cochrane-Orcutt）迭代法；杜宾（durbin）两步法；

后面两种的基本思想是：采用普通最小二乘法估计原模型，得到随机误差项的“近似估计值”，然后利用该“近似估计值”求得随机误差项相关系数的估计量。（1）从D.W.统计量中估计根据D.W.与之间的近似关系

于是，根据D.W.的值可得相关系数的估计值【注意】此法仅适用于存在一阶自回归形式的模型，且只有当样本容量很大时才能得到较理想的估计值（2）科克伦-奥科特迭代法

以一元线性模型为例：首先，采用OLS法估计原模型

Yi=0+1Xi+i得到的的“近似估计值”，并以之作为观测值使用OLS法估计下式

i=1i-1+2i-2+Li-L+i求出i新的“近拟估计值”，并以之作为样本观测值，再次估计

i=1i-1+2i-2+Li-L+i

类似地，可进行第三次、第四次迭代。

关于迭代的次数，可根据具体的问题来定。一般是事先给出一个精度，当相邻两次1,2,,L的估计值之差小于这一精度时，迭代终止。实践中，有时只要迭代两次，就可得到较满意的结果。两次迭代过程也被称为科克伦-奥科特两步法。（3）杜宾（durbin）两步法

该方法仍是先估计1,2,,p，再对差分模型进行估计第一步，变换差分模型为下列形式进行OLS估计，得各Yj（j=t-1,t-2,…,t-p)前的系数1,2,,p的估计值(4.2.22)第二步，讲估计的代入原差分模型(4.2.20)式采用OLS，得到参数的估计量记为，于是4、广义差分法在Eviews软件中的实现在Eviews软件可以直接适用广义差分法估计自相关模型，具体步骤为：（1）利用OLS法估计模型，系统将同时计算残差序列RESID：LSYCX（2）判断自相关性的类型：根据的偏相关系数，初步确定自相关的类型。（3）利用广义差分法估计模型：在LS命令中加上AR项，系统将自动适用广义差分法来估计模型。如自相关类型为一阶自回归形式，则命令格式为：LSYCXAR（1）如果模型为高阶自相关形式，则再加上AR（2），AR（3），…等等Eviews软件将使用迭代估计法进行估计模型，并输出的估计值及其标准差、t统计量值等，根据AR项的t检验值是否显著，可以进一步确定自相关性的具体形式。（4）科克伦-奥科特迭代估计过程的控制迭代估计过程中，Eviews软件按照默认的迭代次数（100次）和误差精度（0.001）来控制迭代估计程序。如果需要提高估计精度，具体步骤如下：在方程窗口中点击Estimate按钮；在弹出的方程说明对话框中点击Options；在迭代程序（Iterative，procedures）对话框中重新输入：最大迭代次数（maxiterations），或着收敛精度（convergrence）；点击OK返回方程说明对话框，再点击OK重新估计模型。（1）科克伦-奥科特迭代估计法根据前面检验结果，模型存在一阶和二阶自相关性，所以在LS命令中加上AR（1），AR（2），使用迭代估计法估计模型键入命令：LSLNYCLNXAR(1)AR(2)对上面的例1进行自相关调整DependentVariable:LNYMethod:LeastSquaresDate:02/05/08Time:15:02Sample(adjusted):19801998Includedobservations:19afteradjustingendpointsConvergenceachievedafter5iterationsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C-7.8475530.309234-25.377370.0000LNX2.9197730.0