第三章图像的离散傅立叶变换2课件

3．6二维离散付立叶变换及其性质3.6.1概述3.6.2二维离散付立叶变换(DFT)3.6.3二维离散付立叶变换的性质3.6.4应用付立叶变换注意的问题3.6.5计算速度分析3.6.6傅立叶变换系数的应用3．6．1概述离散付立叶变换(DiscreteFourierTransform—简称DFT)在数字信号处理和数字图像处理中应用十分广泛，它建立了离散时域和离散频域之间的联系。直接应用卷积和相关运算在时域中处理，计算量大，费时，很难达到实时处理的要求。一般可采用DFT方法将输入的数字信号首先进行DFT变换，在频域中进行各种有效的处理，比在时域中直接处理更加方便，计算量也大大减少，提高了处理速度,然后进行DFT反变换，恢复为时域信号。

DFT还有一个明显的优点是有快速算法，即FFT(FastFourierTransform)算法。3．6．2二维离散付立叶变换(DFT)假定取间隔△x单位的抽样方法将一个连续函数f(x)离散化为一个序列{f(x0)，f(x0+△x)，…，f[x0+(N-1)△x]}，如图所示。

将序列表示成:f(x)=f(x0+x△x)

即用序列{f(0)，f(1)，f(2)，…，f(N-1)}代替{f(x0)，f(x0+△x)，…，f[x0+(N-1)△x]}。1）一维离散付立叶变换一维离散付立叶变换对：这里要注意自变量x,u是离散的整数值。正变换反变换2）二维离散付立叶变换正变换反变换通常M和N取同样的值:(3.1.1)(3.1.2)振幅谱(频谱)、相位谱：离散时的付立叶谱，相位及能量谱与连续时类似，只不过是在离散点上取值。3．6．3二维离散付立叶变换的性质1）线性：设a,b为常量所以，傅立叶变换是线性积分变换，满足线性叠加原理也可以称为加法原理，但对乘法一般不满足。2）可分离性:观察式(3.1.1)及(3.1.2)，式中的指数项是可分离的，由此得：可分离性的重要性：一个二维正（反）付立叶变换可分解为二个一维正（反）付立叶变换。先通过沿输入图像的每一行计算一维变换再沿中间结果的每一列计算一维变换可以改变上述顺序，即先列后行上述相似的过程也可以计算二维傅里叶反变换以二维付立叶正变换为例：要做N次。再对F(x,v)沿每一列进行一次一维付立叶变换，又是N次：a.空间位移：平移特性可以看出,时（空）域的信号平移不改变其频率成分及幅度，而只改变了相位谱，再一次证明了：相位谱决定了图像信号中各频率分量的位置。3)付立叶变换对的平移性b.频率位移：图像中心化：当u0=v0=N/2时，研究中，常将F(u,v)平移到(N/2,N/2)，以更清楚地做谱分析:无平移有平移4)周期性和共轭对称性付立叶变换的正反变换的周期性：付立叶变换的正反变换的共轭对称性：周期性表明在频域中完全确定F(u,v)，只需变换一个周期；共轭对称性说明变换后的幅值依原点对称，可据此减少计算量。周期性和共轭对称性周期性不难证明。共轭对称性：(f(x,y)为实函数)：以一维情况为例：周期性：F(u)=F(u+N)共轭对称性：|F(u)|=|F(-u)|，利用此性质可将谱|F(u)|的原点平移到(0,N/2)，这样在(0,N-1)中可以完整地显示一个周期。5）旋转不变性引入极坐标：则可以把f(x,y)和F(u,v)变换到极坐标下，存在以下变换对：此式表明，在空间旋转某一角度，在频域也旋转相同的角度，如下图所示：6)分配性和比例性7)平均值二维离散函数的平均值定义:因此，f(x,y)的平均值与傅立叶变换系数的关系为：从物理上说，就是零频分量或直流分量，反映了原始图像的平均亮度。8)微分性质二维变量函数f(x,y)的拉普拉斯算子的定义:该算子通常用于检出图像的边缘。9）卷积定理二个连续函数的卷积定义如下：二维卷积定理表示为：同样存在离散形式的卷积定理。其中：10)相关定理对于二维连续函数f(x,y)和g(x,y)的相关定义为：相关定理:连续形式:离散形式：11)帕塞瓦定理（能量定理）：若f1(x,y)=f2(x,y)=f(x,y)，则有：3．6．4应用付立叶变换注意的问题＊很多图像的高频项衰减的很快，在频域不清楚。解决方法：频谱的图像显示因为2维DFT可以看成是两次的1维DFT变换，即：

所以我们可以对其进行2次的FFT变换。3.6.5计算速度分析根据DFT定义，计算复数乘法的次数：一次一维FFT共有N列，每列N点，复数乘法的次数：两次一维FFT共需复数乘法次数：快速算法比直接计算的时间快:

3.6.6傅立叶变换系数的应用

1．提取图象特征（如）：（1）直流分量（2）目标物边缘：F（u,v）高频分量。2．图像压缩：正交变换能量集中，对集中（小）部分进行编码。3．图象增强：低通滤波，平滑噪声；高通滤波，锐化边缘。3．7离散图像变换的一般表达式3．7．1图像变换的代数表达式3．7．2图像变换的矩阵表达式3．7．1图像变换的代数表达式二维离散付立叶变换的代数表达式可用通用的关系式表示：g(x,y,u,v)和h(x,y,u,v)分别称为正反变换核。如果下式成立,它们称为可分离的：二维离散付立叶变换的代数表达式可表示：二维付立叶变换此时：它们都是可分离的和对称的，因为：二维付氏变换利用可分离性，用二次一维变换来实现。无论何种变换，只要变换核满足可分离性，都可同样处理。3.7.2变换的矩阵表达式通常为了分析、推导的方便，将可分离变换写成矩阵形式：将式(3.7.1)两端分别左乘和右乘，则有：若变换矩阵是酉矩阵，即：那么则有：这里I表示同阶单位阵，*号表示求共轭，将上式与式(3.7.2)比较可知由于二维DFT中，矩阵P、Q都是对称阵，因此式(3.7.2)可写成：(3.7.1)(3.7.2)要点总结连续函数的傅立叶变换定义离散函数的傅立叶变换定义傅立叶变换的常用性质，并能证明初步了解傅立叶变换在数字图像处理中的应用3.8MATLAB图像处理初步3.8.1基本操作

例：（1）读入并显示一幅图像

（2）检查在内存中的图像

（3）改变图像的大小

（4）保存图像（5）检查新生成的文件内容

clear;closeall;I=imread('cameraman.tif');imshow(I);whosI2=imresize(I,0.5);figure,imshow(I2);imwrite(I2,'cameraman.bmp');imfinfo('cameraman.bmp')3.8.2高级图像处理初步

例：（1）读取和显示图像（2）估计图像背景（3）从原始图像中减去背景图像（4）使用阈值操作将图像转换为二值图像（5）检查图像中的目标对象数量（6）计算图像中对象的统计属性3.9图像格式与图像类型3.9.1常用图像格式调色板：包含不同颜色的颜色表，每种颜色以红、绿、蓝3种颜色的组合来表示。图像每一个像素对应调色板中的一个颜色。调色板的单元个数与图像的颜色数相对应。16色、256色。真彩色图像每个像素直接用R、G、B量值表示颜色，不需要调色板。

3.9.1常用图像格式图像格式：存储图像采用的文件格式。BMP文件包括表头、调色板和图像数据GIF文件TIFF文件PCX文件JPE格式PSD格式PCD格式3.9.2图像类型图像类型：数组数值与像素颜色之间定义的关系。5种类型的图像：（1）二进制图像

（2）索引图像（3）灰度图像（4）多帧图像（5）RGB图像

实验一图像的二维离散傅立叶变换一、实验目的掌握图像的二维离散傅立叶变换以及性质二、实验要求1.建立输入图像，在64*64的黑色图像