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第四节线性方程组解的结构１．解向量的概念设有齐次线性方程组若记（1）一、齐次线性方程组解的性质则上述方程组（1）可写成向量方程若为方程的解，则

称为方程组(1)的解向量，它也就是向量方程(2)的解．２．齐次线性方程组解的性质（1）若为的解，则

也是的解.证明（2）若为的解，为实数，则也是的解．证明

由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组的解空间．证毕.１．基础解系的定义二、基础解系及其求法２．线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵为，并不妨设的前个列向量线性无关．于是可化为现对取下列组数：依次得从而求得原方程组的个解：下面证明是齐次线性方程组解空间的一个基．由于个维向量线性无关，所以个维向量亦线性无关.由于是的解故也是的解.

所以是齐次线性方程组解空间的一个基.说明１．解空间的基不是唯一的．２．解空间的基又称为方程组的基础解系．３．若是的基础解系，则其通解为

例1求齐次线性方程组的基础解系与通解.解对系数矩阵作初等行变换，变为行最简矩阵，有即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量.例15证证明１．非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质证明证毕．其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.２．非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组Ax=b的通解为３．与方程组有解等价的命题线性方程组有解４．线性方程组的解法（1）应用克莱姆法则（2）利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题．特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法．例16求解方程组解经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量StudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe写在最后ThankYou在别人的演说中思考，在自己的故事里成长ThinkingInOtherP

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