5第五章留数及其应用课件

复变函数

与积分变换

大学数学多媒体课件2第五章留数及其应用

本章中心问题是留数定理，前面讲的柯西定理、柯西积分公式都是留数定理的特殊情况，并且留数定理在作理论探讨与实际应用中都具有重要意义，它是复积分与复级数理论相结合的产物，为此先对解析函数的孤立奇点进行分类。3第五章留数及其应用5.1孤立奇点5.2留数5.3留数在定积分计算中的应用4第一节孤立奇点一、奇点的分类

定义：

？5孤立奇点的分类(1)负幂项缺失(2)仅含有限负幂项

(3)主部含有无限多项，解析部分主要部分三个分类：6例1．解：7二、可去奇点

则可构造出全解析函数8定理5.1’定理5.19三、极点

10极点处的极限等于无穷大1112例2．解：13例3．解：14四、本性奇点

15例3．解：1617例5．解：综上所述:三类孤立奇点的特点孤立奇点可去奇点m级极点本性奇点洛朗级数特点存在且为有限值不存在且极限无负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项关于的最高幂为不为极限为19五、函数的零点与极点的关系

定理120证明：21例6．解：定理2证明：2223例7．（通过零点阶数判断极点阶数）解：24例8．解：法一：法二：25六、函数在无穷远点的性态

分析：

2627这样，对无穷远点来说，它的特性与其洛朗级数之间的关系就跟有限远点刚好相反，只需把正幂项与负幂项的作用互相对调就是．

282930例9．说明：

解：31例10．例11．解：解：在无穷远点的奇点类型.

在无穷远点的奇点类型.

32例12．解：例13．解：33例14．解：34例15．解：35例16．解：36或者：37第二节留数一、留数的概念及留数定理

留数是复变函数论中重要的概念之一，它与解析函数在孤立奇点处的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等有着密切的联系．

1．留数概念

3839留数定义：说明：例1．解：40例2．解：例3．解：41定理1证明：42二、函数在极点处的留数

法则1：

证明：结论：先知道奇点的类型，有利于求留数.

43例4．解：44例6．解：45法则2：证明：由法则1：

46例5．解：例8．解：47法则3：证明：48例7．解：49例8．解：50例9．解：再往下计算比较繁琐！

而分母是六阶零点5152三、函数在无穷远点的留数

顺时针53定理2证明：54法则4：证明：55例11．解：（法则4）（定理2）56例12．解：例13．解：57第三节留数在定积分计算中的应用留数定理为某些类型积分的计算提供了有效的方法．应用留数定理计算实变函数的定积分的方法称为围道积分法．

围道积分法就是把求实变函数的积分化为复变函数沿着围线的积分，然后利用留数定理，使沿着围线的积分计算，归结为留数计算．

这一方法对有些不易求得的定积分和广义积分常常比较有用．现在就几个特殊类型举例说明．58一、

59例1．解：6061二、

6263例2．解：64三、

65教材P12566例3．解：67例4．解：68在实轴上有一阶级点的积分

=0需满足前面条件=0一阶极点：二阶极点：Xk是n阶极点69若实轴上有m个一阶极点69例5．解：7070例6．解：=0=0=积分路径经过三阶极点的情况=第5章作业pp133-