复变函数-工科复变1-1课件

复变函数与积分变换的应用背景

世界著名数学家M.Kline指出：19世纪最独特的创造是复变函数理论。象微积分的直接扩展统治了18世纪那样，该数学分支几乎统治了19世纪。它曾被称为这个世纪的数学享受，也曾作为抽象科学中最和谐的理论。116世纪，解代数方程时引入复数17世纪，实变初等函数推广到复变数情形18世纪，J.达朗贝尔与L.欧拉逐步阐明复数的几何、物理意义。20世纪19181716219世纪，奠定理论基础。A.L.Cauchy、维尔斯特拉斯分别用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复变函数的映射性质20世纪，发展为数学分支,在解析性质、映射性质、多值性质、随机性质、函数空间及多复变函数等方面有重要成果。3空气动力学流体力学电学热学复变函数论在空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等领域有重要应用。复变函数论454）应用于计算绕流问题中的压力、力矩。5）应用于计算渗流问题。例如：大坝、钻井的浸润曲线。6）应用于平面热传导问题、电(磁)场强度。例如：热炉中温度的计算。

最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算。从而解决机翼的造型。67）Laurent级数应用于数字信号处理。8）积分变换也是复变函数的重要应用。9）Laplace变换可以求解微积分方程。积分变换的理论需要复变函数的留数等理论。利用Laurent级数直接写出离散数字信号的Z变换。710）Laplace变换应用于控制问题。在控制问题中，传递函数是输入量的Laplace变换与输出量的Laplace变换之比。11）Fourier变换应用于频谱分析。12）Fourier变换应用于信号处理。频谱分析是把周期信号展开成Fourier级数，对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进行分析。随着计算机的发展，语音、图象作为信号，在频率域中的处理要方便得多。8复变函数与积分变换的主要内容1引论2解析函数3复积分4级数5留数及应用6保角映射7积分变换9第一章复数和复变函数及其极限§1-1复数及其运算§1-2复平面上曲线和区域§1-3复变函数与整线性映射§1-4复变函数的极限和连续10§1-1复数及其运算一、复数的概念及其表示法二Δ、复数的代数运算三*、扩充复平面与复球面11一、复数的概念

对虚数单位,作如下规定:.

在实数范围内无解，为了解方程的需要，例如：方程虚数单位。称为人们引入了一个新数i12虚数单位的特性:……13复数

14例1复数取何值时实数,m解令15

实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数,共轭复数16二、复数的表示方法（1）定义表示形式17（2）复数的平面表示法18显然成立：（3）复数的向量表示法19注意1辐角不确定，没有辐角.注意2复数辐角的定义20辐角主值的定义2122利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成（4）复数的三角表示法23利用Euler公式（5）复数的指数表示法24例3

将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解故25故26故27三、复数的代数运算复数相等的概念定义:设复数复数则28

显然有注

非实数的复数不能比较大小。29两个复数的和与差两个复数的积两个复数的商30复数运算的性质31以上各式证明略32复数和与差的模的性质共轭复数的几何性质33例1解3435例2

解36例3

解37例4

证38乘幂与方根39两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加.从几何上看,两复数对应的向量分别为

两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.40注意:而是两个数集相等.即左端任给一值,右端必有值与它相对应；反过来是如此.例如41n

个复数相乘的情况:42同样，于是43

两个复数商的模等于它们模的商；两个复数商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.则44对于非零复数有：45例5解,3cos3sin

),31(21

21ppiziz-=-=已知46

n次幂deMoivr公式47例6求的所有值解：

故有

因为48可以推得:

n次方根从几何上看,4950推导过程如下：51当k以其他整数值代入时,这些根又重复出现.52例7设，求

解：

因为，故，

于是，z的四个四次方根为53例8解5455例9解即5657例10解故原方程可写成58故原方程的根为59四、扩充复平面与复球面60

球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们用球面上的点来表示复数.球面上的北极N不能对应复平面上的定点，但球面上的点离北极N越近，它所表示的复数的模越大.61我们规定:复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作.因而,球面上的北极N就是复数无穷大的几何表示.62包括无穷远点的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点的复平面称为有限复平面,或简称复平面.

引入复球面后，能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.

球面上的每一个点与扩充复平面的每一个点构成了一一对应,这样的球面称为复球面.6