实数的运算性质的证明课件

实数的运算性质的证明郇中丹2006-2007学年第一学期实数运算性质的证明实数的运算性质加法和乘法的交换律加法和乘法的等价定义加法结合律乘法结合律加法的序性质乘法的序性质加法与乘法的分配律x1/x=1有理数的十进小数表示实数的运算性质加法和乘法满足交换律:a+b=b+a,ab=ba与结合律:a+(b+c)=(a+b)+c,a(bc)=(ab)c乘法与加法之间满足分配律:a(b+c)=ab+ac0是加法零元:a:a+0=a1是乘法单位元:a:a1=a每个数a有负数-a:a+(-a)=0每个非零数a有倒数1/a:a(1/a)=1加法和乘法的交换律加法和乘法的交换律:a+b=b+a,ab=ba证明:这直接由有理数的加法和乘法满足交换律来得到.1.由

a,bR,sn(a)+sn(b)=sn(b)+sn(a)就有A={sn(a)+sn(b)|nN}={sn(b)+sn(a)|nN}=B.所以a+b=supA=supB=b+a类似地，由sn(a)sn(b)=sn(b)sn(a)有A={sn(a)sn(b)|nN}={sn(b)sn(a)|nN}=B.所以ab=supA=supB=ba.#加法和乘法的等价定义(I)为了证明加法的结合律,需要对加法的定义作适当的改进.记号:Qf

={rQ|r是有限十进小数}命题1.a,bR,对乘法设a,b>0.a+b=sup{x|a,bQf,a<a,b<b,xa+b}ab=sup{x|a,bQf,0<a<a,0<b<b,xab}证明:分三种情形:a,b为都为无限十进小数、都为有限是进小数以及一个无限和一个有限.先考虑加法.加法和乘法的等价定义(II)记A={sn(a)+sn(b)|nN}和B={x|a,bQf,a<a,b<b,xa+b}.记x=supA,y=supB.希望证明x=y.1.设a和b都是无限小数.在现在的情形AB,这样xy.下面证明yx.这只要证明x是B的上界就够了.任取xB,由B的定义a,bQf,a<a使得xa+b.a<a,b<b给出m,nN,有a<sm(a)和b<sn(b)成立.不仿设mn根据有理数的性质xa+b<sm(a)+sn(b)sn(a)+sn(b)x.所以yx.加法和乘法的等价定义(III)2.设a和b都是有限小数.则nN,x=sn(a)+sn(b)A.由有理数的性质,就有x是B的上界,所以yx.下面证明x是B的上确界.设a=p+0.a1…am,b=q+0.b1…bn,am>0,bn>0.为确定起见,设mn.对于i>n,记t(i)=p+0.a1…(am-1)tm+1…ti+q+0.b1…

(bn-1)tn+1…ti,其中tj=9,j>n.记C={t(k)|k>n},类似第一部分中的讨论,y=supC.因此,只要能够证明x=supC就够了.x是C的上界是显然的.下面x是C的上确界.加法和乘法的等价定义(IV)设x=x0+0.x1…xk,其中kn.这里考虑k>0的情形.则xk>0.注意对于i>n+1,t(i)有i位小数,其整数部分与前k-1位与x相同,第k位为xk-1,第k+1至i-1位为9,第i位为8.即t(i)=x0+0.x1…(xk-1)9…98.c<x,若cx=x0+0.x1…xk-1,或其第k位小数小于xk-1,则当i>n+1时,t(i)>c;当c的第k位小数等于于xk-1时,设c第k位小数后第一个不为9的小数位是j,则当i>j时,t(i)>c.因此x=supC,也就是x=y.加法和乘法的等价定义(V)3.设a和b一个是有限小数,一个是无限小数.设a是有限小数a=p+0.a1…am.类似第一部分中的证明,可以得到yx.类似第二部分中的想法:令t(i)=p+0.a1…(am-1)tm+1…ti+sn(b),tj=9,j>m.记C={t(k)|k>m}.则y=supC.这是因为CB,且B中的任意一个数一定比C中的某个数小.下面证明x=supC.设c<x,则n,c<sn(a)+sn(b).只要考虑n>m的情形.并且只需要考虑b的第n位小数不为0的那些情形.加法和乘法的等价定义(VI)注意当n>m时,sn(a)+sn(b)=x0+0.x1…xm

bm+1…bn,而t(n)=x0+0.x1…xmbm+1…(bn

-1).所以n>m,j>0sn(a)+sn(b)<t(n+j).由此得到x=supC.即x=y.4.对于乘积ab.当a和b都是无限小数时,证明与加法第一部分的证明完全平行.5.当a=p+0.a1…am,b=q+0.b1…bn,am>0,bn>0时,设mn.对于i>n,记t(i)=(p+0.a1…(am-1)tm+1…ti)(q+0.b1…

(bn-1)tn+1…ti,)其中tj=9.记C={t(k)|k>n}.则y=supC.加法和乘法的等价定义(VII)设x=x0+0.x1…xm+n,其中xm+n>0.记k=p+q+2.则s>0,当i=m+n+s+k时,t(i)=x0+0.x1…(xm+n-1)tm+n+1…t2i,其中tm+n+j=9,j=1,…,s.利用这个事实和第二部分思路就可以证明x=supC.6.a是有限小数a=p+0.a1…am,am>0,b是无限小数.记t(i)=(p+0.a1…(am-1)tm+1…ti)sn(b),tj=9,j>m.注意当n>m,b(n)0时,sn(a)sn(b)=x0+0.x1…xm+n,xm+n0.则s>0,k=[b]+1,当i=m+n+s+k时,t(i)==x0+0.x1…(xm+n-1)tm+n+1…t2i,其中tm+n+j=9,j=1,…,s.类似第五部分就可以证明x=supC.#加法结合律(I)a,b,cR,a+(b+c)=(a+b)+c证明:1.记A={x|a,bQf,a<a,b<b+c,xa+b},B={x|a,b,gQf,a<a,b<b,g<c,xa+b+g}和C={x|a,bQf,a<a+b,b<c,xa+b}.下面证明A=B=C.只要证明A=B就够了,B=C的证明类似.设xA,则存在a,bQf满足a<a,b<b+c以及xa+b.由加法定义和b<b+c得到存在g,dQf满足g<b,d<c和bg+d,即,xB.因此,AB.加法结合律(II)类似地可以证明BA2.这样就得到加法的结合律:a,b,cR,a+(b+c)=supA=supB=supC=(a+b)+c这样加法结合律就证明了.#乘法结合律(I)a,b,cR,a(bc)=(ab)c证明:当a,b,c中有一个为零时,很容易验证结合律的成立.由乘法定义,只要考虑正实数的情形就够了.1.记Qf+={xQf|x>0},A={x|a,bQf+,a<a,b<bc,xab},B={x|a,b,gQf+,a<a,b<b,g<c,xabg}和C={x|a,bQf+,a<a+b,b<c,xa+b}.下面证明A=B=C.只要证明A=B就够了,B=C的证明类似.乘法结合律(II)设xA,则存在a,bQf+满足a<a,b<bc以及xab.由乘法定义和b<bc得到存在g,dQf+满足g<b,d<c和bgd,即,xB.因此,AB.类似地可以证明BA2.这样就得到加法的结合律:对于正是数a,b,ca(bc)=supA=supB=supC=(ab)c这样加法结合律就证明了.#实数序的三歧性和稠密性实数序的三歧性:a,bR,则a<b,a=b,a>b中有且仅有一种情形成立序与加法和乘法的关系:a,b,cR,a>ba+c>b+ca,b,cR且c>0,a>bac>bc记号:ab表示a<b或a=b;ab表示a>b或a=b实数的稠密性:a,bR,a<b,cR\Q,dQ,a<c<d<b.加法的序性质引理1引理2加法的序性质引理1引理1.设xR,nN.则当mn时,sm(x+10^{-n})=sm(x)+10^{-n},因而x+10^{-n}>x.证明:记a=10^{-n},a满足a(n)=1,mn,a(m)=0.记y=x+a.则m>n,y(m)=x(m).若n=0,则sm(y)=sm(x)+1

设n>0.若x(n)<9,则m<n,y(m)=x(m),而y(n)=x(n)+1,当mn时,sm(y)=sm(x)+10^{-n}.若x(n)=9,则m<n满足m=0或x(m)<9,y(m)=x(m)+1,也有当mn时sm(y)=sm(x)+10^{-n}.#引理2引理2.设x,yR.若x>y,则nN,有x>y+10^{-n}.证明:由x>y,mN,j<m,x(j)=y(j),x(m)>y(m).取定n>m满足y(n)<9.则y+10^{-n}<x.#加法的序性质设x,y,zR.若x>y,则x+z>y+z.证明:由x>y和引理2,nN,x>y+10^{-n}.注意m,sm(x)sm(y+10^{-n}),所以,m,sm(x)+sm(z)sm(y+10^{-n})+sm(z)两边对m取上确界就得到x+y(y+10^{-n})+z.有加法的结合律和引理1,x+y(y+z)+10^{-n}>y+z.证明完毕.#乘法的序性质引理3-5引理6乘法的序性质引理3-5引理3.设x,yR.若x,y>0.给定mN.则xy=sup{sn(x)sn(y)|nm}.证明:留作习题.#引理4.设x,yR.若x>0,y>0,则xy>0.证明:由x>0和y>0,则n,sn(x)>0和sn(y)>0.由有理数的性质sn(x)sn(y)>0.在有乘法的定义就得到xysn(x)sn(y)>0.#引理5.设x,yR.若x>y,则-x<-y.证明:由x>y和实数的序性质,-y=-y+((-x)+x)=x+((-y)+(-x))>y+((-y)+(-x))>(y+(-y))+(-x)=-x.#引理6引理6.设A是一个有上界的非空集合,c是一个给定的实数.则sup{x+c|xA}=supA+c.证明:1.任取xA,xsupA,由加法的序性质,x+csupA+c.

因此supA+c是{x+c|xA}的上界.2.任取b<supA+c.由加法的序性质,b-c<supA.在由supA的定义,存在xA,x>b-c.再一次利用加法的序性质,x+c>b.因此,sup{x+c|xA}=supA+c.#乘法的序性质(I)设x,y,zR.若x>y,z>0,则xz>yz.证明:1.若y=0,则x>0,由引理4,xz>0=yz.若x=0,则y<0,由引理5,-y>0,由引理3,(-y)z>0,由乘法的定义,yz=-(-y)z<0=xz.下面假设x和y都不为零.分成三种情形:(1)y>0;(2)x<0;(3)x>0,y<0;2.设y>0.由x>y和引理2,n,kN,x>y+10^{-n},z>10^{-k}.则当mn,mk时,由引理1,sm(x)sm(z)sm(y+10^{-n})sm(z)=sm(y)sm(z)+10^{-n}sm

(z)>sm(y)sm(z)+10^{-n-k}.乘法的序性质(II)由引理6和引理3就有xzyz+10^{-n-k}.再利用引理1就有xz>yz.3.设x<0,则引理5,(-y)>(-x)>0,由第二部分的结果(-y)z>(-x)z.由乘法的定义和引理5,xz=-(-x)z>-(-y)z=yz.4.x>0和y<0.由引理4和乘法定义可得xz>0和yz<0.所以xz>yz.这样乘法的序性质就证明完了.#加法与乘法的分配律(I)a,b,cR,a(b+c)=ab+ac证明:先考虑情形1:a>0,b>0,c>0.1.记A={x|a,bQf+,a<a,b<b+c,xab},B={x|a,b,gQf+,a<a,b<b,g<c,xa(b+g)},C={x|a,bQf,a<ab,b<ac,xa+b}.下面证明A=B.设xA,则存在a,bQf+满足a<a,b<b+c以及xab.由加法定义和b<b+c得到存在g,dQf+满足g<b,d<c和bg+d,

由乘法的序性质,xa(g+d)即xB.因此,AB.加法与乘法的分配律(II)类似地,任取xB,a,b,gQf+,a<a,b<b,g<c,xa(b+g).由a<a,b<b,g<c,利用加法的序性质得到b+g<a+b,再由b+g>0,就有xA.因此,BA.所以,B=A.2.下面证明B=C.设xB,则a,b,gQf+,a<a,b<b,g<c,xa(b+g)=ab+ag.由a,b,gQf+满足a<a,b<b,g<c和乘法的序性质ab<ab,ag<ac,所以xC.因此BC.加法与乘法的分配律(III)设xC.则a,bQf

,a<ab,b<ac.由ab>0和ac>0,不妨设a,bQf+.由乘法定义g,d,s,tQf+,有g<a,d<b,s<a,t<c,a<gd,b<st.由乘法的序性质,可以取g=s.因而就有xa+b<gd+gt=g(d+t),这样就有xB.所以CB.因此,B=C.这样就证明了当a>0,b>0,c>0时,a(b+c)=ab+ac.下面考虑其他情形:3.当a=0,或b=0,或c=0时,分配律显然成立.4.当b+c=0时,a(b+c)=0,而c=-b.由乘法定义,

ac=-ab,因此分配律成立.加法与乘法的分配律(IV)下面考虑a,b,c和b+c都不为零的情形.5.当a>0和b+c>0时,不妨设b>0,c<0.则由情形1的结果:ab=a((b+c)+(-c))=a(b+c)+a(-c).因此a(b+c)=ab-a(-c)=ab+ac.6.剩下的情形a<0和b+c>0,a>0和b+c<0,以及a<0和b+c<0,可以通过乘法定义化成5的情形.这需要用到下列事实:-(b+c)=(-b)+(-c).这样分配律就证明了.#x1/x=1加法引理和乘法引理x1/x=1加法引理和乘法引理加法引理:设A={anQf|nN},B={bnQf|nN}满足nN,anan+1,bnbn+1.如果x=supA,y=supBR,则x+y=sup{an+bn|nN}证明:加法的序性质给出x+ysup{an+bn|nN}.再由加法的等价定义,c<x+y,a,bQf,a<x,b<y,c<a+b.利用x=supA,y=supB和anan+1,bnbn+1,存在n,c<an+bn.#乘法引理:设A={anQf+|nN},B={bnQf+|nN}满足nN,anan+1,bnbn+1.如果x=supA,y=supBR,则xy=sup{anbn|nN}.证明:与加法引理完全平行.#x1/x=1(I)设x0,则x1/x=1证明:1.由于x<0时,x1/x=|x|1/|x|,只要讨论x>0的情形就够了.设x>0.此时有x=sup{sn(x)|nN}.有定义1/x=sup{sn[1/(sn(x)+10^{-n})]|nN}.2.注意sn(x)sn+1(x).而sn+1(x)+10^{-n-1}=sn(x)+x(n+1)10^{-n-1}+10^{-n-1}sn(x)+10^{-n},所以1/(sn(x)+10^{-n})1/(sn+1(x)+10^{-n+1}),因此,sn[1/(sn(x)+10^{-n}]sn+1[1/(sn+1(x)+10^{-n+1}].x1/x=1(II)3.注意yR,sn(y)y<sn(y)+10^{-n}.这就有sn(x)sn[1/(sn(x)+10^{-n})]sn(x)/(sn(x)+10^{-n})<1.4.由sn(x)sn[1/(sn(x)+10^{-n})]>sn(x)[-10^{-n}+1/(sn(x)+10^{-n})]=1-sn(x)/10^n-1/(1+sn(x)10^n)设k:j<k,x(j)=0,x(k)>0.记m=max{x(0)+1,k}.则sn(x)sn[1/(sn(x)+10^{-n})]>1-10^{n-m-1}.5.这样1=sup{sn(x)sn[1/(sn(x)+10^{-n})]|nN},也就是x1/x=1.#有理数的十进小数表示有理数的十进小数分类有限情形的十进小数表示无限情形的十进小数表示有理数的十进小数分类有理数集Q={r=m/n|mZ,nN+,(m,n)=1}r=m,即n=1,此时有理数r为整数.当n>1时,则考虑用