第六章平面立体课件

6.1平面立体的投影第六章平面立体6.6两平面立体相交6.3工程形体6.2平面立体的表面展开6.5直线与平面立体相交6.4平面与平面立体相交概述基本立体平面立体

曲面立体

棱柱体棱锥体圆柱体圆锥体圆环体圆球体物体的组成基本立体表面线点

常见的基本立体平面立体曲面立体棱柱棱锥圆柱圆锥圆球圆环平面+平面曲面+平面曲面+曲面围成立体的各类表面相交形成不同的表面交线。2)相贯线：立体与立体表面相交所形成的交线。立体表面上的交线可分为两大类：1)截交线：平面与立体表面相交后形成的交线；规定：可见的轮廓线画粗实线，

不可见的轮廓线画细虚线。§6.1平面立体的投影平面立体的投影是平面立体各表面投影的集合---由直线段组成的封闭图形。平面立体侧表面的交线称为棱线。棱柱棱锥平面立体基本知识：棱线若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱。若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥。由一些基本立体（棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、圆球、圆环等）组成的较复杂的物体称为组合体（工程形体）。视图——形体的正投影图称为视图。三面投影体系三个视图V投影主视图W投影左视图H投影俯视图主视图俯视图左视图一、棱柱的投影将三棱柱分别向三个投影面作正投射，得到H、V、W三个投影。再按规定方向，将H、W面展开到与V面重合的位置上，便得三棱柱的三个投影图。XZOYWYHa′c′b′a1′b1′c1′(

)a〞c〞b〞a1〞b1〞c1〞cc1(

)aa1(

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)后前上下上下左右左右左右三个投影图之间存在着下列投影规律：1)投影图之间的度量关系V投影与H投影沿OX轴方向的坐标相等；V投影与W投影沿OZ轴方向的坐标相等；H投影与W投影沿OY轴方向的坐标相等。XZOYWYHa′c′b′a1′b1′c1′(

)a〞c〞b〞a1〞b1〞c1〞cc1(

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)后前上下上下左右左右左右2)投影图之间的位置关系H投影反映物体前、后和左、右的位置关系；V投影反映物体上、下和左、右的位置关系；W投影反映物体上、下和前、后的位置关系。投影规律适用于所有物体的投影XZOYWYHa′c′b′a1′b1′c1′(

)a〞c〞b〞a1〞b1〞c1〞cc1(

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)后前上下上下左右左右左右平面立体投影的可见性判别：

1)外形轮廓线都是可见的。XZOYWYHa′c′b′a1′b1′c1′(

)a〞c〞b〞a1〞b1〞c1〞cc1(

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)2)外形轮廓线内的相交直线，可利用重影点来判别可见性。3)若外形轮廓线内的多条棱线交于一点，且交点可见，则这些棱线均可见，否则均不可见。

4)若外形轮廓线内的两可见表面相交，其交线为可见。两不可见表面的交线为不可见。a′c′b′a1′b1′c1′(

)a〞c〞b〞a1〞b1〞c1〞cc1(

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)XZOYWYH由于物体投影图的形状和大小，与物体对投影面的距离无关，所以，在画图时为了合理布置图幅，通常去掉投影轴。但它们之间的投影关系，仍应严格遵守。a′c′b′a1′b1′c1′(

)a〞c〞b〞a1〞b1〞c1〞cc1(

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)例1.在三棱柱表面上有点K，已知点K的V投影k′，求作它的另外两投影k、k〞。分析：1）由于点K的V投影k′是可见的，所以点K位于侧表面AA1BB1上；HVWk′ABCA1B1C12）侧表面AA1BB1是铅垂面，其H投影积聚为直线段，所以点K的H投影k必在该直线段上；aa1bb1kK例1.

在三棱柱表面上有点K，已知点K的V投影k′，求作它的另外两投影k、k〞。a′c′b′a1′b1′c1′(

)a〞c〞b〞a1〞b1〞c1〞cc1(

)aa1(

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)分析：3）根据点的投影规律，先求出点K的H投影k，然后由k、k′求出其W投影k″；4）因侧表面AA1BB1的W投影为可见，故k″也为可见。k′ABCA1B1C1aa1bb1kkY2Y2k〞HVWKa′c′b′a1′b1′c1′(

)a〞c〞b〞a1〞b1〞c1〞cc1(

)aa1(

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)例2

在三棱柱表面上有点M，已知点M的H投影m，求作它的另外两投影m′、m〞。分析：1）由于点M的H投影m是可见的，所以点M位于顶面ABC内；HVWmABCA1B1C12）顶面ABC为水平面，其V、W投影均积聚为直线段，Ma′b′c′a〞c〞b〞m′m〞可由点M的H投影m，利用点的投影规律，求出其V、W投影m′、m″。m′Y3Y3m〞二、棱锥特点：棱锥各棱相交于锥顶。b〞a′b′a〞c〞b〞c′s′s〞（）abcsHVWABCSc′a′b′c〞s′abcs分析：侧表面SAB及SBC为一般位置平面，侧表面SAC为侧垂面，底面ABC为水平面；三条棱线中SA和SC为一般位置直线，而SB为侧平线。b〞a′b′a〞c〞b〞c′s′s〞（）abcs例3.在三棱锥表面上有点N，已知点N的H投影n，求作它的另外两投影n′、n〞。分析：1）由于点N的H投影n是不可见的，所以点N位于底面ABC内；2）底面ABC为水平面，其V、W投影均积聚为直线段，可由点N的H投影n，利用点的投影规律，求出其V、W投影n′、n″。(n)n′Yn〞YHVWABCSc′a′b′c〞s′abcsNdb〞a′b′a〞c〞b〞c′s′s〞（）abcsHVWABCSc′a′b′c〞s′abcs例4.在三棱锥表面上有点K，已知点K的V投影k′，求作K的另外两投影k、k〞。分析：1）由于点K的V投影k′为可见，所以点K在一般位置平面SAB内；2）过点K作辅助直线SD，其V投影s′d′必通过k′；求出辅助线SD的H、W投影sd、s″d″，则点Ｋ的H、W投影k、k″必在sd、s″d″上。YYKDd′d′YkYkk〞kk′辅助线法1b〞a′b′a〞c〞b〞c′s′s〞（）abcsHVWABCSc′a′b′c〞s′abcs例4

在三棱锥表面上有点K，已知点K的V投影k′，求作K的另外两投影k、k〞。KYkYkk〞k′辅助线法22)求出EF的H、W投影ef、e″f″，则点K的H、W投影k、k″必在ef、e″f″上。1)通过点K作水平辅助线EF∥AB，则e′f′通过k′且∥a′b′；e′f′efkEF

平面立体的各表面是平面多边形，而多边形的各边是各相邻两表面的交线（棱线、底边），多边形的顶点是各棱线及各底边的交点。立体表面的交线称为轮廓线。绘制平面立体的投影归结为绘制其轮廓线的投影。

平面立体的各投影的最外边轮廓线为一条封闭的折线，总为可见，是区分平面立体可见与不可见部分的分界线。

判别投影轮廓线范围内各线段的可见性，对于底面处于一般位置的平面立体，可利用重影点的原理，对于底面处于特殊位置的平面立体直接利用最外边轮廓线。平面立体投影的可见性判别三棱锥投影及可见性判别三棱锥由一个底面和三个棱面所围成。投影图：作出顶点S及底面△ABC的两面投影，然后将S与△ABC的各顶点相连，即得三棱锥的投影图。可见性判别：利用重影点的原理判别两轮廓线的相对位置，确定其可见性。五棱锥的投影及可见性判别可见性：底面处于特殊位置，直接利用最外边轮廓线来判别各表面的可见性。

轮廓线的可见性规律：平面立体上两个不可见平面的交线为不可见；两个可见平面的交线为可见；可见平面与不可见平面的交线为可见。

五棱锥由一个底面和五个棱面所围成。投影图：作出顶点S及底面△ABCDE的两面投影，然后将S与△ABCDE的各顶点相连，即得五棱锥的投影图。平面截切平面立体，在平面立体表面留有的交线，称为平面立体的截交线。⒉平面立体截交线的形状是由直线段围成的平面多边形。一、平面立体体截交线的性质⒈平面立体截交线是截平面与平面立体表面的公有线。⒊平面多边形的顶点是平面立体棱线与截平面的交点，边是截平面与平面立体各表面的交线（截交线段）。§6.4平面与平面立体相交截平面截交线截断面P二、平面立体截交线的求法1、线面交点法2、面面交线法

将平面立体上参与相交的各条棱线与截平面求交点，并将位于立体同一棱面上的两交点依次连接起来，即为所求平面立体的截交线。

将平面立体上参与相交的各棱面与截平面求交线，这些交线即围成所求的平面立体截交线。1234SABCD三、求截交线的作图步骤1)空间分析及投影分析2)画出截交线的投影a、截平面与立体的哪几个表面相交——确定截交线的形状（多少截交线段）——确定截交线的投影特性（积聚性）b、截平面、立体表面是否具有积聚性运用线面交点法（棱线法）或面面交线法（棱面法），分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。3)整理立体的棱线投影作图：①作出三棱锥的棱线SA、SB、SC与截平面P的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的V面投影1′、2′、3′。②根据点的投影规律求出H、W面投影1、2、3和1″、2″、3″。③依次连接各交点的同面投影即为所求。实形④可用换面法求得截断面的实形△ⅠⅡⅢ。解因截平面P为正垂面，故截平面的正面投影积聚在PV上，H面和W面截交线可利用求三棱锥各棱线与截平面交点来求。【例1】三棱锥被所截，完成截交线的投影及截断面实形【例2】完成五棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。1、空间分析2、投影分析3、投影作图4、整理图线截交线为平面五边形，对V面具有积聚性截平面为正垂面，截交线的正面投影落在截平面的积聚性投影上，要求的是截交线的水平投影和侧面投影。1′2′3′4′5′513421〞2〞3〞4〞5〞【例3】求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。6´2´5´1´3´4´1234561″2″3″4″5″6″【例4】求正四棱锥被截切后的水平和侧面投影。1、空间分析立体表面交线的形状？

——空间10边形2、投影分析截交线的正面投影落在截平面的积聚性投影上；1′2′10′3′9′4′8′5′7′6′1210391″2″10″9″3″8″4″847″5″6″675—水平截平面截切的交线平行于四棱锥对应底边；—侧平截平面截切的交线平行于四棱锥前后棱线。3、投影作图4、整理图线【补充题】完成四棱台上部开槽后的水平投影和侧面投影空间分析

水平截平面与四棱台各棱面相交，交于四条边；两个侧平截平面均与四棱台三个面相交，分别交于三条边；截平面之间有二条交线；1′2′5′6′7′8′4′3′9′10′12562〞6〞1〞5〞4〞7〞3〞8〞10〞9〞3478109整理棱线投影§6.5直线与平面立体相交1、贯穿点——直线与立体表面的交点2、贯穿点的性质1）既属于直线，又属于立体表面2）成对出现3、求法直线与平面立体相交，相当于直线和平面相交【例1】直线与棱柱的贯穿点121'2'a'b'ab【例2】求直线与三棱锥的交点解采用辅助平面法求解。①包含直线L作正垂面PV。②求出P与棱锥的截交线△ⅠⅡⅢ。③求出△123与L的交点a、b，由a、b找出a′、b′，则A、B为所求的贯穿点。④判别可见性。如图所示，显然两贯穿点A、B之间的一段为立体里面的线不必画出。其余部分，则由于A、B所处的平面SCD、SDE的H、V面投影均为可见，故其余部分亦为可见。作图：例3试求斜三棱柱与一般位置平面△MNL的截交线解由于斜三棱柱的棱及截平面均处于一般位置，故采用包含直线作辅助平面的方法求出各棱与△MNL平面的交点。deff’e’d’例4

画出三棱锥与三棱柱全贯的投影图例5

画出三棱锥与三棱柱互贯的投影图sabcc′s′a′b′123(4)564′3′2′5′6′1′【例6】求作三棱柱与三棱锥的相贯线，并判别可见性。例求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影作图方法:1)求棱线与截平面的共有点2)连线

3)根据可见性处理轮廓线1״2״1׳2׳2׳2׳2׳7׳7״5׳6׳5״6״12345673׳4׳3״4״同坡屋顶αα同坡屋面屋顶立体图。平脊斜脊屋面交线交点天沟（斜沟）屋檐多边形平脊线屋檐线斜脊线凹角凸角水平天沟线同坡屋顶的投影已知同坡屋面的倾角α和平面形状，求屋面的三面投影。