第1章-电磁场与电磁波课件

第一章矢量分析

1.1场的概念

1.2标量场的方向导数和梯度

1.3矢量场的通量和散度

1.4矢量场的环量和旋度

1.5圆柱坐标系与球坐标系

1.6亥姆霍兹定理1.7格林定理1.1场的概念1.1.1矢性函数在二维空间或三维空间内的任一点P，它是一个既存在大小(或称为模)又有方向特性的量，故称为实数矢量，用黑体A表示，而白体A表示A的大小(即A的模)。若用几何图形表示，它是从该点出发画一条带有箭头的直线段，直线段的长度表示矢量A的模，箭头的指向表示该矢量A的方向。矢量一旦被赋予物理单位，便成为具有物理意义的矢量，如电场强度E、磁场强度H、速度v等等。若某一矢量的模和方向都保持不变，此矢量称为常矢，如某物体所受到的重力。而在实际问题中遇到的更多的是模和方向或两者之一会发生变化的矢量，这种矢量我们称为变矢，如沿着某一曲线物体运动的速度v等。设t是一数性变量，A为变矢，对于某一区间G［a,b］内的每一个数值t,A都有一个确定的矢量A(t)与之对应，则称A为数性变量t的矢性函数。记为而G为A的定义域。矢性函数A(t)在直角坐标系中的三个坐标分量都是变量t的函数，分别为Ax(t)、Ay(t)、Az(t)，则矢性函数A

(t)也可用其坐标表示为其中ex、ey、ez为x轴、y轴、z轴正向单位矢量。1.1.2标量场和矢量场如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。换句话说，在某一空间区域中，物理量的无穷集合表示一种场。如在教室中温度的分布确定了一个温度场，在空间电位的分布确定了一个电位场。场的一个重要的属性是它占有一定空间，而且在该空间域内，除有限个点和表面外，其物理量应是处处连续的。若该物理量与时间无关，则该场称为静态场；若该物理量与时间有关，则该场称为动态场或称为时变场。在研究物理系统中温度、压力、密度等在一定空间的分布状态时，数学上只需用一个代数变量来描述，这些代数变量(即标量函数)所确定的场称为标量场，如温度场T(x,y,z)、电位场φ(x,y,z)等。然而在许多物理系统中，其状态不仅需要确定其大小，同时还需确定它们的方向，这就需要用一个矢量来描述，因此称为矢量场，例如电场、磁场、流速场等等。yx以浓度表示的标量场

以箭头表示的矢量场A

标量场（）和矢量场（A）yx标量场φ(x,y,z)的等值面方程为图1-1矢量场的矢量线例1-1

求数量场φ=(x+y)2-z通过点M(1,0,1)的等值面方程。解：点M的坐标是x0=1,y0=0,z0=1，则该点的数量场值为φ=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为或例1-2

求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。解：矢量线应满足的微分方程为从而有解之即得矢量方程c1和c2是积分常数。1.2标量场的方向导数和梯度1.2.1标量场的方向导数图1-2方向导数的定义设M0是标量场φ=φ(M)中的一个已知点，从M0出发沿某一方向引一条射线l,在l上M0的邻近取一点M，MM0=ρ，如图1-2所示。若当M趋于M0时(即ρ趋于零时)，的极限存在，则称此极限为函数φ(M)在点M0处沿l方向的方向导数，记为若函数φ=φ(x,y,z)在点M0(x0,y0,z0)处可微，cosα、cosβ、cosγ为l方向的方向余弦，则函数φ在点M0处沿l方向的方向导数必定存在，且为证明：M点的坐标为M(x0+Δx,y0+Δy,z0+Δz)，由于函数φ在M0处可微，故两边除以ρ，可得当ρ趋于零时对上式取极限，可得

例1-3

求数量场在点M(1,1,2)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。解：l方向的方向余弦为而数量场在l方向的方向导数为在点M处沿l方向的方向导数1.2.2标量场的梯度标量场φ(x,y,z)在l方向上的方向导数为在直角坐标系中，令矢量l°是l方向的单位矢量，矢量G是在给定点处的一常矢量。由上式显然可见，当l与G的方向一致时，即cos(G,l°)=1时，标量场在点M处的方向导数最大，也就是说沿矢量G方向的方向导数最大，此最大值为在标量场φ(M)中的一点M处，其方向为函数φ(M)在M点处变化率最大的方向，其模又恰好等于最大变化率的矢量G，称为标量场φ(M)在M点处的梯度，用gradφ(M)表示。在直角坐标系中，梯度的表达式为若引入算符，在直角坐标系中该算符可表示为则梯度可以表示为zxyr

OP(x,y,z)r'

r–r'

P'(x',y',z')例计算及。表示对x,y,z

运算表示对运算这里设c为一常数，u(M)和v(M)为数量场，很容易证明下面梯度运算法则的成立。

例1-4

设标量函数r是动点M(x,y,z)的矢量r=xex+yey+zez的模，，证明：证：因为所以例1-5

求r在M(1，0，1)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。解：由例1-2知r的梯度为点M处的坐标为x=1,y=0,z=1,所以r在M点处的梯度为r在M点沿l方向的方向导数为而所以例1-6

已知位于原点处的点电荷q在点M(x,y,z)处产生的电位为，其中矢径r为r=xex+yey+zey，且已知电场强度与电位的关系是E=-▽φ，求电场强度E。解：根据▽f(u)=f′(u)·u的运算法则，1.3矢量场的通量和散度1.3.1矢量场的通量将曲面的一个面元用矢量dS来表示，其方向取为面元的法线方向，其大小为dS，即n是面元法线方向的单位矢量。n的指向有两种情况：对开曲面上的面元，设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的，则选定绕行l的方向后，沿绕行方向按右手螺旋的拇指方向就是n的方向，如图1-3(a)所示；图1-3法线方向的取法将曲面S各面元上的A·dS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分：如果曲面是一个封闭曲面，则矢量

A

沿某一有向曲面

S的面积分称为矢量

A通过该有向曲面

S的通量，以标量

表示，即

通量可为正、负、或零。当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外法线方向。当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面的通量一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭合面的通量一定为负。前述的源称为正源，而洞称为负源。S但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。当闭合面

S向某点无限收缩时，矢量

A通过该闭合面S

的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场

A

在该点的散度，以

divA

表示，即式中div

是英文字divergence的缩写，

V

为闭合面

S包围的体积。1.3.2矢量场的散度称此极限为矢量场A在某点的散度，记为divA，即散度的定义式为上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量。

直角坐标系中散度可表示为

因此散度可用算符

表示为矢量场A的散度可表示为哈密顿微分算子▽与矢量A的标量积，即1.3.3散度定理例求空间任一点位置矢量r的散度。求得已知解rOxzyxzy例1-7

已知矢量场r=xex+yey+zez，求由内向外穿过圆锥面x2+y2=z2与平面z=H所围封闭曲面的通量。解：

例1-8

在坐标原点处点电荷产生电场，在此电场中任一点处的电位移矢量为求穿过原点为球心、R为半径的球面的电通量(见图1-4)。图1-4例1-8图解：由于球面的法线方向与D的方向一致，所以

例1-9

原点处点电荷q产生的电位移矢量，试求电位移矢量D的散度。解：rrqrrqD3244pp=°=例1-10

球面S上任意点的位置矢量为r=xex+yey+zez，求解：根据散度定理知而r的散度为所以1.4矢量场的环量和旋度在力场中，某一质点沿着指定的曲线c运动时，力场所做的功可表示为力场F沿曲线c的线积分，即图1-5矢量场的环量矢量场

A沿一条有向曲线

l的线积分称为矢量场

A沿该曲线的环量，以

表示，即可见，若在闭合有向曲线

l上，矢量场

A

的方向处处与线元

dl的方向保持一致，则环量

>0；若处处相反，则

<0

。可见，环量可以用来描述矢量场的旋涡特性。l

已知真空中磁通密度

B沿任一闭合有向曲线

l的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度

I

与真空磁导率

0

的乘积。即

式中电流

I的正方向与

dl的方向构成

右旋关系。环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能显示源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。⊙I1I21.4.2矢量场的旋度

旋度是一个矢量。以符号

curlA

表示矢量

A

的旋度，其方向是使矢量

A

具有最大环量强度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即式中curl是旋度的英文字，en

为最大环量强度的方向上的单位矢量，S

为闭合曲线

l

包围的面积。矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量。

en1en2en直角坐标系中，旋度可用矩阵表示为

或者无论梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在某点附近的变化特性。因此，梯度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性。函数的连续性是可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前述的梯度、散度或旋度。

1.4.3斯托克斯定理因为旋度代表单位面积的环量，因此矢量场在闭合曲线c上的环量等于闭合曲线c所包围曲面S上旋度的总和，即此式称为斯托克斯定理或斯托克斯公式。它将矢量旋度的面积分变换成该矢量的线积分，或将矢量A的线积分转换为该矢量旋度的面积分。式中dS的方向与dl的方向成右手螺旋关系。例1-11

求矢量A=-yex+xey+cez(c是常数)沿曲线(x-2)2+y2=R2,z=0的环量(见图1-6)。图1-6例1-11图解：由于在曲线l上z=0，所以dz=0。例1-12

求矢量场A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1，0，1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。解：矢量场A的旋度在点M(1，0，1)处的旋度n方向的单位矢量在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度例1-13

在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的电场强度为求自由空间任意点(r≠0)电场强度的旋度▽×E。解：例：试证任何矢量场A均满足下列等式式中S为包围体积V的闭合表面，此式又称为矢量旋度定理，或矢量斯托克斯定理。证设C为任一常矢量，则那么对于任一体积V，得根据散度定理，上式左端

求得1.5圆柱坐标系与球坐标系1.5.1圆柱坐标系图1-7圆柱坐标系哈密顿微分算子▽的表示式为拉普拉斯微分算子▽2的表示式为1.5.2球面坐标系图1-8球面坐标系故拉梅系数分别为哈密顿微分算子▽的表示式为拉普拉斯微分算子▽2的表示式为例1-14

在一对相距为l的点电荷+q和-q的静电场中，当距离r>>l时，其空间电位的表达式为求其电场强度E(r,θ,φ)。解：在球面坐标系中，哈密顿微分算子▽的表达式为因为坐标变量的转换矢量分量的转换

若矢量场

F(r)

在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，源分布在有限区域V

中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场

F(r)

可以表示为

式中V'zxyr

Or'

r–r'

F(r)1.6亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理的简单表达是：若矢量场F在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一确定，并且可以表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和，即假设在无限空间中有两个矢量函数F和G，它们具有相同的散度和旋度。但这两个矢量函数不等，可令由于矢量F和矢量G具有相同的散度和旋度，根据矢量场由其散度和旋度唯一确定，那么矢量g应该为零矢量，也就是矢量F与矢量G是同一个矢量。因为▽·F=▽·G，所以同样由于▽×G=▽×F，所以由矢量恒等式▽×▽φ=0,可令在无限空间中一个既有散度又有旋度的矢量场，可表示为一个无旋场Fd(有散度)和一个无散场Fc(有旋度)之和：对于无旋场Fd来说