解三角形 说课一等奖

§4.6

正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则1.正弦定理、余弦定理知识梳理定理正弦定理余弦定理内容＝

＝

＝2Ra2＝

；b2＝

；c2＝_______________b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC变形(1)a＝2RsinA，b＝

，c＝

；(2)sinA＝

，sinB＝

，sinC＝

；(3)a∶b∶c＝

；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝

；cosB＝

；cosC＝____________2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：

A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)S＝

a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝

absinC＝

＝

；(3)S＝

r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径).acsinBbcsinA1.三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；知识拓展2.三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；3.三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(

)(2)在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B.(

)(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(

)(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形.(

)(5)在△ABC中，

.(

)(6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.(

)思考辨析×√××√√

1.(2016·天津)在△ABC中，若AB＝

，BC＝3，C＝120°，则AC等于A.1 B.2 C.3 D.4考点自测答案解析由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去).故选A.

2.(教材改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于答案解析由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，

3.在△ABC中，若sinB·sinC＝cos2，且sin2B＋sin2C＝sin2A，则△ABC是A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形答案解析∴2sinB·sinC＝1＋cosA＝1－cos(B＋C)，∴cos(B－C)＝1，∵B、C为三角形的内角，∴B＝C，又sin2B＋sin2C＝sin2A，∴b2＋c2＝a2，综上，△ABC为等腰直角三角形.4.(2016·辽宁五校联考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝

.答案解析因为3sinA＝5sinB，所以由正弦定理可得3a＝5b.令a＝5，b＝3，c＝7，则由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得49＝25＋9－2×3×5cosC，答案解析题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形答案解析1①证明：sinAsinB＝sinC；证明则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B).在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.所以sinAsinB＝sinC.解答由(1)知，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，思维升华应用正弦、余弦定理的解题技巧(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.

答案解析(边化角)

(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2－c2＝b，且sin(A－C)＝2cosAsinC，则b等于A.6 B.4 C.2 D.1答案解析(角化边)由题意，得sinAcosC－cosAsinC＝2cosAsinC，即sinAcosC＝3cosAsinC，由正弦、余弦定理，得整理得2(a2－c2)＝b2，

①又a2－c2＝b，

②联立①②得b＝2，故选C.题型二和三角形面积有关的问题例2

(2016·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acosB.(1)证明：A＝2B；证明由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B).又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.解答由sinB≠0，得sinC＝cosB.思维升华(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.

跟踪训练2在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝

，则△ABC的面积是答案解析∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6. ①由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.

题型三正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1判断三角形的形状例3

(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若

<cosA，则△ABC为A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形答案解析即sin(A＋B)<sinBcosA，所以sinAcosB<0，因为在三角形中sinA>0，所以cosB<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.

(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定答案解析由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA>0，∴sinA＝1，即A＝

，∴△ABC为直角三角形.引申探究1.例3(2)中，若将条件变为2sinAcosB＝sinC，判断△ABC的形状.解答∵2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)，∴2sinAcosB＝sinAcosB＋cosBsinA，∴sin(A－B)＝0，又A，B为△ABC的内角.∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形.2.例3(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，判断△ABC的形状.解答又由2cosAsinB＝sinC得sin(B－A)＝0，∴A＝B，故△ABC为等边三角形.命题点2求解几何计算问题解答例4

(2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍.因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.(2)若AD＝1，DC＝

，求BD和AC的长.解答在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，又由(1)知AB＝2AC，所以解得AC＝1.思维升华(1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.(2)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示；②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.

跟踪训练3

(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c