2023年高考数学第20讲 怎样解答与圆锥曲线相关的对称问题

第20讲怎样解答与圆锥曲线相关的对称问题

一、知识概要

对称的思想是数学中的一种美学思想，圆锥曲线中的对称问题展示了数学科学的和谐美与

自然美，在高考命题中常有体现，所以掌握并运用对称的思想方法解题，必定要引起重视.特别是，圆

锥曲线上存在不同的两点关于某条直线对称,试确定圆锥曲线中或者直线中的某个参数的取值

范围，这是圆锥曲线问题中的一个难点，化解这个难点的方法有两种.

（1）利用两点关于直线对称的两个条件①两点的连线与对称轴垂直;②这两点的中点在对称

轴上），写出用参数表示的直线方程，利用直线与圆锥曲线有两个不同的交点（即消元后的一元二次

方程的判别式大于零）列出关于参数的不等式解之.

（2）利用圆锥曲线上与对称轴垂直的平行弦中点的轨迹与对称轴的交点在圆锥曲线内部,

列出关于参数的不等式解之.按常规约定:含有焦点的区域为圆锥曲线的内部，如点产（七,均）在

椭圆7+方=1内部的充要条件是才+尚点P（x。，%）在椭圆/+会=1外部的充要

22

2

条件是今+得>1,点P（%,%）在抛物线y=2px内部的充要条件是y：<2Px0等（可参阅本

书第十三、第十四、第十五讲知识概要中的图表）.

二、题型精析

【例1］已知A（—A46c是正三角形，且及C在双曲线盯=1（%>0）一支上.

Q）求证B,C关于直线y=x对称；

（2）求AABC的周长.

【策略点击）

本例是清华大学自主招生试题,只要把图形分析清楚，就不难解决，因为点4-1,-1）在直线y=x

上,而此直线又是双曲线xy=l（x>0）的对称轴,B,C两点应位于以为圆心,|A51=「

为半径的圆上，证明与求解就都比较容易了.

图2-58

【解】

⑴由AB=AC,可设B,C两点位于以A（-l,-l）为圆心，r=|为半径的圆：

(x+l)2+(y+l)2=r2得(X+1)2+[J+1)=/,结合图

(x+l)2+(y+l)2=/上，由方程组.

孙=l(x>0)

2-58所示图像可知(x+1尸+(y+=/与y=_L(x>0)最多有两个公共点.

X

若一个公共点的横坐标为％,则必有另一个公共点，且横坐标为上,

1(1>

••・毛>0且不彳1,，％0#一.，这两个点必为3(,且不妨设其坐标分别为为,一与

X0J

’11

一,与,可知它们关于直线y=x对称.

kX0)

、2、

⑵由(/+1)2+

,得/H----2x0H--8=0，解之得

kX0>Xxx

\o7\o7oJ

、2

11=%+'1_4=12.所求_ABC的周长为

^=4(或—2,舍去)，因此与

1

3二372x12=676.

7

[例2]

2

已知椭圆C-.3X+4y2=12.试确定加的取值范围,使得对于直线/:y=4x+〃?,椭圆C上有不

同的两点关于这条直线对称.

【策略点击】

本例是直线与椭圆相交产生的对称问题的典型题目，可以有多种不同的解法,E面把各种解题思

路与方法归纳如下，希望这道题的分析与详解，使读者能够举一反三，解决一批类似的题目.

【解法一】

(思路一：设出对称的两点及其所在的直线的方程，再使用判别式八〉0及中点在对称轴上来求解)

设椭圆c上关于直线/对称的两点为p(埠乂),。(%,%)，其所在直线的方程为旷=一：》+"

代人椭圆的方程3*2+4/=12并整理得

13f—诋+16/-48=0

》尸松.5=64/-4x13x16(〃-3)=64付-13(/-3)]=64(39-12〃)>0,

解得一孚<8<孚①

又山=竺,入&=_'5+。=世，而点

±<又在直线

213242132'2

y-4x+m——-4X-1——=•=----.②

2213

27132加］

把①代人②居-巫＜mW，.二m的取值范围是

131313'13)

【解法二】

（思路二:设出对称的两点及其所在直线的方程，由中点既在/上又在两点确定的直线上彳导出交点

坐标的表达式，由中点必在两点之间建立不等式来求解）

8b16伍2—3）_.、

由解法一知,29=西+x2=—,x,x2=—:一~其中弦PQ的中点坐标为

由Ji’,消去为并把%=五代入，^m=-—,x0=-m

Jo=4x0+m,

根据中点M的位置（介于P,Q之间）必有不等关系（王—%乂々一毛）<0油

此可解得me〈/一2醇<机<2醇｝.①

2I~r22/pi[yi

经验证:当—<m<"时，—丁■<〃<^^，适合条件的点P,Q存在，，①为所求，即

（J13

加的取值范围是一2啧一

【解法三】

（思路三:根据“点差法”求出，”的取值范围）

设?（内方）,。仁,必）是椭圆3/+4丁=12上的两点.P,Q关于直线/:y=4x+m对称，当

3x；+44=12,①

3月+4^=12,②

山」,③

且仅当下列四个等式成立

x2-x,4

2i±A=4x5+〃,④

22

①一②并把例人得乂+必=3（%+々）,⑤

把⑤代人④得%+々=-2m⑥

把⑥代人⑤彳导X+%=-6也⑦

①+②，得3储+用+4（j,2+£）=24.⑧

由斗片孙%仁]得句+¥>°’，律+£>（弘；%）

，3（*：+x；）+4（y：++々）~+2（y+%）*'⑨

把⑥0⑧R人⑨，得一^^<m<2^.

即机的取值范围是一半，等

\7

【解法四】

（思路四:C上存在不同的两点关于直线/对称，等价于存在C上的弦被I垂直平分,且垂足必在椭

圆c的内部，这类问题可考虑根据交点在椭圆C内部建立不等式）

设椭圆上的两点为p（苞,*）,。（马,必），弦尸。的中点为例（%，％），代人椭圆的方程后相减相

上匚&=一拦=一!（即运用点差法），①

%-电4%4

由点M在直线y=4x+m上彳导为=4%+机，②

由①②解得4=一加,%=-3〃?.”（一加,一3，〃）在椭圆的内部，

3（一加>+4（-3机-<12，解得一2年<m<*3,

即”的取值范围是一岑¥，整3.

【解法五】

（思路五:C上存在不同的两点关于直线/对称,等价于c存在被/垂直平分的弦，即等价于/的适

合条件的弦所在直线方程与椭圆c的方程组成的方程组在某确定的区间上有两个不同的解.因

此，这类问题可根据一元二次方程根的分布的条件建立不等式求解）

113

由解法四知七=-m,%=-3m，直线的方程为y=-^X一丁加•代人椭圆的方程整理，并记

，（无）=13/+26〃吠+169m2-48（—2领k2）.

[例3]

如图2-59所示，已知椭圆C,和抛物线G有公共焦点产（1，°），G的中心和G的顶点都在坐标原

点，过点M（4,0）的直线/与抛物线。2分别相交于AB两点.

⑴写出抛物线G的标准方程；

⑵若坐标原点。关于直线/的对称点P在抛物线G上•直线/与椭圆G有公共点,求椭圆G的

长轴长的最小值.

图2-59

【策略点击】

按照常规解法，本题的突破口应选在设点P坐标上，利用P是G上的点寻求所设参变量之间的

等量关系,而寻求“最小值”的契机则在于由“直线/与抛物线G分别相交于A,3两点”，其前提

为

【解】

⑴抛物线c2的焦点为F(1,O)，，曰=1,即p=2,

抛物线C2的方程为y2=4x.

⑵设P(m,〃)，则。P的中点为££卜「。,P两点关于直线y=左(x—4)对称,

8二

m=-----,

km-n-8左，1+k2

,C解得

m+nk=O,8k

n=-----

l+k2

8女2

将其代人抛物线方程猾=4.,：.女2=1,

1+公

,=%(》一4),

联立>2消去y得92+/人2卜2一8氏2。2工+]6a242一。2〃=。

由△=(-8Z%2)~-4(〃+。242)(]6a之二-a2b2y.O,

得16a224一(/+/左2)06/一/)..(),即a2k2+b2..16k2,(3)

将左2=1,6=a2T代人①式并化简得2a2..17，解得a2...—,

2a.A，即椭圆C,的长轴长的最小值为扃.

【回顾反思】

上述解法无疑是正确的,但是可以做一些改进，通常后面的解答可以利用前面阶段性解题的成果,

比如椭圆右焦点F(1,0)是已知的，直线/的斜率&2=1也已经求出，可以尽量减少字母参数.由

y=±(x-4)

<X2y2消去y得到关于x的一元二次方程，再用判别式△..()就简单多了！

,a2+a2-11

如果从几何意义的角度思考，还会得到更加简捷的解法：

设椭圆的两个焦点为耳(-1,0),月(1,0)点尸2关于直线/：y=X-4的对称点为E(4,-3)，从图

形特征及椭圆定义可得

(2«)min=忻£|=/4+1)2+(一3-0)2=用

方法提炼

「点线对称的一般形式及两个推论

点M(5,%)关于直线Ax+By+C=0的对称点为［)二；］，其中

_Ar0+By„+C

A2+B2

证明如下:如图2—60所示，设已知点”(%,%)关于直线/:4:+3)，+。=0的对称点坐标为

8Jf

N(x,y)，则4MN

Ax-x0

化简得Bx-Ay=Br()-A%.①

又肱V的中点E［上手,告］在直线/上,

小』+小生+。=0

22

化简得Ar+5)=一伍一By0-2C.②

由①x3+②xA彳导(1+夕卜=(A?+⑹/-2A(阳+的)+0

x=x0-2A--产。：。，令心。：取：C=%,得x=X。-2/U

A2+B2A2+B-

同理:y=y0-28X.

推论一：点M(x0,y0)关于直线x-y+m=0的对称点为(%—巾,%+〃?).

推论二:点M(*(),%)关于直线x+y+机=0的对称点为(一为一〃?,一/-772).

2.曲线的对称问题

⑴曲线C的自对称问题:对于曲线C:f(x,y)=0.若用-x代替x，则曲线C关于y轴对称;若用

一y代替y，则曲线C关于x轴对称若用一乂一)，分别同时代替x,y,则曲线C关于原点对称.

⑵曲线C关于已知点或已知直线的对称问题：

曲线C"(x,y)=0关于x轴对称的曲线C'的方程为/(x,-y)=O.

曲线C：f(x,y)=0关于y轴对称的曲线C'的方程为/(-X,y)=0.

曲线C:f(x,y)=0关于坐标原点对称的曲线C'的方程为了(—羽―y)=0.

曲线C:f(x,y)=0关于直线x=a对称的曲线C'的方程为/(2a—x,y)=0.

曲线C:f(x,y)=0关于直线＞=A对称的曲线C'的方程为f(x,2b-y)=0.

曲线C:f(x,y)=0关于直线x土y+c=0对称的曲线C'的方程为

/[+y-c,T(x+c)]=0

曲线C:f(x,y)=0关于点(a,6)对称的曲线C'的方程为/(2。—X,26-y)=0.

三、易错警示

【例】

X2y2

设P是双曲线F-4=1上顶点外的任意一点,£,K为两个焦点，已知

ab“

a

【错解】

如图2—61所示.

a,aB.aBaBaB

tan—sin—cos—sin—cos—•cos—cos—.cos"—•一

2=22=2222=sina2=sina1+coso)

sin"cdsina.cdCCS，sin/?2«sin/?1+cosa

idnsin-cossin--cos,coscos―cos一

22222222

弦定理，得芈］=偿｝，又设P(x,y)厕cosa=,cos£=-筋.

sm£|P用|P用|PR

aix~c

.21^1㈣归居一x+c

\an"M1+带归耳+x+c

2冏|

可以求出\PFi\=ex-^-a,\PF2\=ex-a,

a

2_ex—a—x+c_ex—a2—ax+ac_(c—a)(x+a)_c—a

tan2ex+a+x+ccx+a1+ax+ac(c+a)(x+a)c+a

7

【评析及正解】

上述解法没有分别考虑点p在双曲线左支和右支的两种对称的情况,而是假定点p在双曲线的

右支上，所以在运用焦半径公式时没有讨论点p在左支时与点p在右支时不同的情况.

正确的解法补充如下：

【解】

若点P在双曲线的左支上很=

c-x

因而学I一㈣上_

幽|P用-X+C

ta*附I1+安阀l+x+c

2

a

目2一百+。-x+c-cx+cr-ax+ac(。+。)(工一。)

J7E不-===一

i.an„—P-ex-a+x+c-cr-4+QX+QC(c-a)(x-a)c-a

2

a

tan—I(当点P在双曲线的右支),

正确的结果是:一

tan-"0(当点P在双曲线的左支).

2c-a

四、难题攻略

网

直线/:y=ax+l与双曲线C:3/-y2=i相交于A,B两点.

⑴求。为何值时以AB为直径的圆过原点；

⑵是否存在这样的实数a，使A,B关于直线x-2y=0对称?若存在，求。的值;若不存在，说明理

由.

【破难析疑】

第⑵问是探索存在性问题:先假设存在,拍住轴对称问题的要点是两对称点A,B连线的斜率是对

称轴斜率的负倒数，而AB的中点又在对称轴上.看所得的a值是否一致，不一致可立即下结论这

样的实数4不存在，若一致还要看直线/与双曲线。在此〃值下是否存两个交点，对称问题所要满

足的环节都要考虑到.

【解】

y-ax+\,,。

⑴联立方程得方程组工2，,消y得