新教材人教A版3.2.1.1函数的单调性课件（47张）

第1课时函数的单调性必备知识·自主学习(1)定义导思1.怎样描述函数的图象上升、下降的性质？2.什么是函数的单调区间？函数增函数减函数图示

条件设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有___________都有___________结论f(x)在区间D上单调_____f(x)在区间D上单调_____f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)递增递减(2)本质：函数的单调性反映的是两个变量的对应变换规律，定量地刻画了函数在区间上图象的变化趋势，是函数诸多性质中最核心、最本质的性质.(3)应用：证明函数的单调性、比较大小、解不等式、求参数范围等.【思考】函数单调性的定义中，能否将“∀”改为“∃”？提示：不能，一些特殊的值满足并不能说明函数的单调性.(1)单调函数：当函数在它的定义域上单调递增(减)时，就称它是增(减)函数；(2)单调性与单调区间：如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)_______，区间D叫做y=f(x)的__________.单调性单调区间【思考】函数y=f(x)在定义域内的每一个区间D1，D2，…上都单调递减，那么函数在定义域上是减函数吗？你能举例说明吗？提示：不是.如函数y=在(-∞，0)，(0，+∞)上都单调递减，但在定义域上不具有单调性.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数f(x)=x2，因为-1<2，且f(-1)<f(2)，则函数是增函数. ()(2)函数f(x)=在(-∞，0)∪(0，+∞)上是减函数. ()(3)函数f(x)在某一区间D上要么是单调递增要么是单调递减. ()提示：(1)×.函数f(x)=x2在R上不具有单调性.(2)×.函数f(x)=的减区间为(-∞，0)，(0，+∞)，不能用“并”表示.(3)×.常数函数不具有严格的单调性.2.函数y=f(x)的图象如图所示，其减区间是 ()

A.[-4，4] B.[-4，-3]∪[1，4]C.[-3，1] D.[-4，-3]，[1，4]【解析】选D.由图象知函数在[-4，-3]以及[1，4]上单调递减，则对应的减区间为[-4，-3]，[1，4].3.(教材二次开发：例题改编)若函数f(x)=(2k-1)x+1是减函数，则实数k的取值范围是_______.

【解析】由题意知，2k-1<0，解得k<.答案：

关键能力·合作学习类型一利用图象求函数的单调区间(数学抽象、直观想象)【题组训练】1.(2020·龙岩高一检测)图中是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是 ()A.函数在区间[-5，-3]上单调递增B.函数在区间[1，4]上单调递增C.函数在区间[-3，1]∪[4，5]上单调递减D.函数在区间[-5，5]上没有单调性2.(2020·海淀高一检测)下列函数中，在区间(0，1)上单调递增的是()A.y=|x|-2 B.y=|x-3|C.y= D.y=-x23.(2020·周口高一检测)函数y=|x|(1-x)在区间A上单调递减，那么区间A是 ()A.(-∞，0) B.C.[0，+∞) D.(-∞，0)，【解析】1.选C.若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接.2.选A.根据题意，依次分析选项：对于A，y=|x|-2=在区间(0，1)上单调递增，符合题意；对于B，y=|x-3|=在区间(0，1)上单调递减，不符合题意；对于C，y=，在区间(0，1)上单调递减，不符合题意；对于D，y=-x2，在区间(0，1)上单调递减，不符合题意.3.选D.y=|x|(1-x)=

再结合二次函数图象可知函数y=|x|(1-x)的单调递减区间是(-∞，0)，【解题策略】图象法求函数单调区间的步骤(1)作图：作出函数的图象.(2)结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间.【补偿训练】画出函数y=|x|(x-2)的图象，并指出函数的单调区间.【解析】y=|x|(x-2)=函数的图象如图所示.由函数的图象知：函数的单调递增区间为(-∞，0]和[1，+∞)，单调递减区间为[0，1].类型二利用定义证明函数的单调性(数学抽象、逻辑推理)【典例】证明函数f(x)=在区间(2，+∞)上单调递减.四步内容理解题意条件：函数f(x)=，x∈(2，+∞)结论：函数f(x)在(2，+∞)上单调递减思路探求任取x1，x2∈(2，+∞)，且x1<x2⇨f(x1)>f(x2)⇨函数在(2，+∞)上单调递减四步内容书写表达

因为2<x1<x2，所以x2-x1>0，所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).所以函数f(x)=在(2，+∞)上单调递减.注意书写的规范性：①x1，x2取值任意且分大小；②变形是解题关键.题后反思利用定义法证明函数单调性的关键是作差之后的变形，且变形的结果是几个因式乘积的形式.【解题策略】利用定义证明函数单调性的步骤【题组训练】(2020·哈尔滨高一检测)求证：函数f(x)=--1在区间(-∞，0)上单调递增.【证明】∀x1，x2∈(-∞，0)，且x1<x2<0，因为f(x1)-f(x2)=由题设可得，x1-x2<0，x1·x2>0，所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)=--1在区间(-∞，0)上单调递增.【拓展延伸】(1)当f(x)>0时，函数y=与y=f(x)的单调性相反，对于f(x)<0也成立.(2)在公共定义域内，两增函数的和仍为增函数，增函数减去一个减函数所得的函数为增函数.(3)函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性.(4)当c>0时，函数f(x)与cf(x)具有相同的单调性；当c<0时，函数f(x)与cf(x)具有相反的单调性.2.函数y=x+(a≠0)的单调性(1)若a>0，函数y=x+的图象如图1所示，则函数y=x+的单调增区间是(-∞，-]和[，+∞)，单调减区间是(-，0)和(0，).(2)若a<0，其图象如图2所示，函数y=x+在(-∞，0)和(0，+∞)上均单调递增，即y=x+的单调增区间为(-∞，0)和(0，+∞).【拓展训练】(2020·杭州高一检测)函数y=2x+的单调递增区间为_______.

【解析】y=2，由对勾函数的图象可知，单调递增区间为(-∞，-)和(，+∞).答案：(-∞，-)和(，+∞)类型三函数单调性的简单应用(数学抽象、逻辑推理)

角度1利用单调性解不等式

【典例】(2020·佛山高一检测)函数f(x)在[0，+∞)上单调递减，且f(2)=-1，则满足f(2x-4)>-1的实数x的取值范围是 ()A.(3，+∞) B.(-∞，3)C.[2，3) D.[0，3)【思路导引】从定义域，单调性两个方面列不等式求范围.【解析】选C.因为f(2)=-1，所以由f(2x-4)>-1得，f(2x-4)>f(2)，且f(x)在[0，+∞)上单调递减，所以0≤2x-4<2，解得2≤x<3，所以满足f(2x-4)>-1的实数x的取值范围是[2，3).【变式探究】本例的条件若改为“单调递增”，试求x的取值范围.【解析】因为f(2)=-1，所以由f(2x-4)>-1，得f(2x-4)>f(2)，又f(x)在[0，+∞)上单调递增，所以2x-4>2，解得x>3.角度2分段函数的单调性

【典例】(2020·宜春高一检测)已知函数f(x)=是增函数，则实数a的取值范围是_______.

【思路导引】分别考查x≥1，x<1，分界点三个方面的因素求范围.【解析】因为函数f(x)=在(-∞，+∞)上单调递增，又函数y=ax2-ax-1的对称轴为x=1，所以解得-≤a<0.答案：

【解题策略】利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于未知量的不等式(组)，然后求解，要注意函数的定义域.首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小，如果是增函数，则分界点左侧值小于等于右侧值，如果是减函数，则分界点左侧值大于等于右侧值.【题组训练】1.(2020·沈阳高一检测)f(x)=x|x|，若f(2m+1)+f(1-m)>0，则m的取值范围是 ()A.(-∞，-1) B.(-∞，-2)C.(-1，+∞) D.(-2，+∞)【解析】选D.因为f(x)=x|x|=所以f(x)在R上是增函数，且f(-x)=-f(x)，所以由f(2m+1)+f(1-m)>0得，f(2m+1)>f(m-1)，所以2m+1>m-1，解得m>-2，所以m的取值范围为(-2，+∞).2.定义域在R上的函数f(x)满足对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0，则有 ()A.f(-2)<f(1)<f(3) B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(3)<f(-2)<f(1) D.f(3)<f(1)<f(-2)【解析】1，x2∈R，且x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0，当x1<x2时，x1-x2<0，则f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)；当x1>x2时，x1-x2>0，则f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).可得函数f(x)是在R上的增函数，所以f(-2)<f(1)<f(3).3.已知函数f(x)=是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围是_______.

【解析】根据题意，函数f(x)=是R上的减函数，必有≥1，且a-4<0，且1-(a+1)+7≥(a-4)+5，解得1≤a≤3，即a的取值范围为[1，3].答案：[1，3]【补偿训练】(2020·无锡高一检测)已知f(x)=x2-(m+2)x+2在[1，3]上单调，则实数m的取值范围为_______.

【解析】根据题意，f(x)=x2-(m+2)x+2为二次函数，其对称轴为x=，因为f(x)在[1，3]上单调，则有≤1或≥3，解得m≤0或m≥4，即m的取值范围为m≤0或m≥4.答案：m≤0或m≥4【典例备选】抽象函数的单调性(数学抽象、逻辑推理)【典例】(2020·抚顺高一检测)函数f(x)对任意的m，n∈R，都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)是增函数.(2)若f(3)=4，解不等式f(a2+a-5)<2.【思路导引】(1)按照单调性的定义，构造f(x2)-f(x1)，再判断符号.(2)将2化为f(x0)的形式，再利用单调性解不等式.【解析】(1)设x1，x2∈R，且x1<x2，则x2-x1>0，所以f(x2-x1)>1，f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，所以f(x)是R上的增函数.(2)因为m，n∈R，不妨设m=n=1，所以f(1+1)=f(1)+f(1)-1，即f(2)=2f(1)-1，f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-1=2f(1)-1+f(1)-1=3f(1)-2=4，所以f(1)=2.所以f(a2+a-5)<f(1)，因为f(x)为增函数，所以a2+a-5<1，得-3<a<2，即a∈(-3，2).【解题策略】关于抽象函数的单调性证明(1)证明抽象函数的单调性的根本还是单调性的定义，要围绕构造定义式展开思维.(2)构造定义式的依据是已知的抽象函数的性质关系式，需要灵活进行自变量的赋值、拆分、组合，直到构造出f(x1)-f(x2)，再利用已知条件展开化简.【跟踪训练】若f(x)的定义域为(0，+∞)，当0<x<1时，f(x)<0，且对一切x，y>0，满足f()=f(x)-f(y).(1)证明函数f(x)是增函数.(2)若f(6)=1，解不等式f(x+3)-f()<2.【解析】(1)因为当0<x<1时，f(x)<0，∀x1，x2∈(0，+∞)，x1<x2，则0<<1，f(x1)-f(x2)=f()<0，所以f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)是增函数.(2)因为f(6)=1，所以2=1+1=f(6)+f(6)，所以不等式f(x+3)-f()<2，等价为不等式f(x+3)-f()<f(6)+f(6).所以f(3x+9)-f(6)<f(6)，即f()<f(6)，因为f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以解得-3