第七章-71-基本概念剖析课件

2023/7/231第七章偏微分方程（PartialDiffierentialEquation）

偏微分方程以物理学，力学以及工程技术等领域的具体问题为研究对象，并且在天文物理等领域的发展过程中起到了非常重要的推动作用。1746年，达朗贝尔对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。2023/7/232参考文献：[1].管志成,李俊杰常.微分方程与偏微分方程.杭州：浙江大学出版社，2001[2].汤燕,吴娥子.应用偏微分方程.北京:科学出版社.2010[3].查中伟.数学物理偏微分方程.成都:西南交通大学出版社,20042023/7/233第一节基本概念偏微分方程：含有自变量，未知函数（多元函数）及其偏导数的方程。偏微分方程的阶：未知函数的最高阶偏导数的阶数。偏微分方程的一般形式：一、偏微分方程的基本概念2023/7/234线性偏微分方程：未知函数及其各阶偏导数的次数都是一次的，且其系数仅依赖于自变量。拟线性偏微分方程：未知函数及其各阶偏导数的次数都是一次的，且其系数不仅依赖于自变量，还与未知函数有关。例如，一阶齐次线性偏微分方程的一般形式：形如的方程，称为一阶线性拟微分方程。2023/7/235例1：判断下列偏微分方程的阶数，线性性和齐次或非齐次2023/7/236若将它及其各阶偏导数带入方程偏微分方程的解：存在函数使其在给定区域内成立，则称函数为方程的一个解。通解和特解含有n个相互独立的任意函数的解，称为n阶偏微分方程的通解。确定了通解中任意常数以后的解称为特解。2023/7/237例2：二阶线性非齐次偏微分方程的通解为其中是两个独立的任意函数．因为方程为二阶的，所以是两个任意的函数．若给函数指定为特殊的，则得到的解2023/7/238称为方程的特解．

n阶常微分方程的通解含有n个任意常数，而n阶偏微分方程的通解含有n个任意函数．练习：2023/7/239二、三大类常见的数学物理方程热传导方程、波动方程和位势（泊松）方程是三类典型的数学物理方程。它们均是二阶线性偏微分方程。什么是数学物理方程？物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程，它们反映了支配各种自然现象的基本规律。连续介质力学、电磁学、传热学、量子力学、化学反应动力学等方面的基本方程都是数学物理方程的范畴。2023/7/2310（1）热传导方程（扩散方程）是一个重要的偏微分方程，它描述一个区域内的温度如何随时间变化。u=u(t,x,y,z)表示温度，它是时间变量t与空间变量(x,y,z)的函数。

2023/7/2311（2）波动方程（弦振动方程）2023/7/2312(1),(2)两类方程都是随时间发展的过程，所以有时也被称作发展方程。如果运动过程进入稳定状态，即表征运动过程的量不再随时间而改变，那么就有，于是得到方程（3），我们称之为泊松（Poisson）方程。2023/7/2313（3）泊松方程（稳定场方程，位势方程）描述稳状物理现象，如静电场，定常流场，稳定温度场的分布等。2023/7/2314三、定解问题刻画一个具体的对象，除了建立方程外，还需要一定的补充条件，这些补充条件称为定解条件。联系着一定的定解条件来研究一个方程的，通常叫做定解问题。常见的定解条件有两大类：（1）初始条件：用以说明初始时刻状态的条件。

（2）边界条件：用来说明区域边界上约束情况的条件。2023/7/2315初始条件和边界值条件：1、一维问题例如：热传导方程（1）初始条件：（2）边界（或边值）条件：通常有下列三种类型（以

为例）（a）第一类边界条件（Dirichlet边界条件）：已知细杆端点的温度随时间变化的函数（b）第二类边界条件（Neumann条件）：已知细杆端点与外界热量交换强度2023/7/2316（c）第三类边界条件（混合边界条件）：细杆端点的热流强度与温差成正比已知外界环境温度为m(t).则根据热力学定律整理得2023/7/23172023/7/23182023/7/2319例如：考虑如下弦振动方程初值条件有两个：边界条件：类似于热传导方程（三类中任意一个或组合形式）2023/7/23202023/7/23212023/7/23222023/7/2323弦振动方程的柯西（Cauchy）问题(或称“初值问题”)2023/7/23242.二维以上问题2023/7/23252023/7/23262023/7/23272023/7/23282023/7/23292023/7/2330以