一些新的代数不等式

一些新的代数不等式一些新的代数不等式

中国论文联盟*编辑。本文旨在介绍一些新的代数不等式，期冀为中学数学教研注入一股新奇活力.

命题1若a,b为满意a+b=1的正数，则a+1b+b+1a10.

证明：原不等式等价于a+1b+2(a+1b)(b+1a)+b+1a101a+1b+2ab+1ab+29.因1a+1b=(a+b)(1a+1b)4，故只要证ab+1ab174.因ab(a+b2)2=14,故ab+1ab=ab+116ab+1516ab12+1516ab12+154=174.

综上，原不等式成立.

猜想1若a,b,c为满意a+b+c=1的正数，则a+1b+b+1c+c+1a30.

命题2若a,b为满意a+b=1的正数，0，则(a++b+)(1a+1b)41+2.

证明：原不等式等价于(a++2(a+)(b+)+b+)(1a+2ab+1b)16(1+2)(1+2+2ab++2)(1ab+2ab)16(1+2)(1+2ab+21++2ab)(1ab+2)16(1+2).因ab14,故(1+2ab+21++2ab)(1ab+2)(2+4+21+4+42)(2+2)=8［1+2+(1+2)2］=16(1+2).

综上，原不等式成立.

类似可证《数学通报》2024年9月号问题1752之推广

命题3若a,b,c，为正数，则1+ba+1+cb+1+ac31+.

一些新的代数不等式

命题4若a,b,c为满意a+b+c=3的非负实数，则a1+b3+b1+c3+c1+a35.

证明：a1+b3=a(1+b)(1-b+b2)a［(1+b)+(1-b+b2)］2=a+12ab2,同理b1+c3b+12bc2，c1+a3c+12ca2，以上三式相加，可得a1+b3+b1+c3+c1+a33+12(ab2+bc2+ca2).为证原不等式，只需证ab2+bc2+ca24.

不妨设ab,ac，则ab2+bc2+ca2a［b2+c(a+b)］a［12b(a+b)+c(a+b)］=12a(a+b)(b+2c)

12［a+(a+b)+(b+2c)3］3=4.

综上，原不等式成立.

猜想2若a,b,c为满意a+b+c=3的非负实数，则a1+b3+b1+c3+c1+a332.

命题5若a,b,c为满意a+b+c=1的实数，则3(bc+ca+ab)+|b-c|+|c-a|+|a-b|73.

证明：不妨设abc,则原不等式等价于3(bc+ca+ab)+2a-2c(a+b+c)2+43bc+ca+ab+2a-2ca2+b2+c2+43(a-b)2+(b-c)2+(a-c-2)243.因(a-b)2+(b-c)2+(a-c-2)2=［(a-b)+(b-c)］22+［(a-b)-(b-c)］22+(a-c-2)212(a-c)2+(a-c-2)2=32(a-c)2-4(a-c)+4=32［(a-c)-43］2+4343,故原不等式成立.

猜想3若a,b,c为满意a+b+c=1的实数，则3(bc+ca+ab)+|b-c|+|c-a|+|a-b|1.

命题6若a,b,c为非负实数，则(a2+1)(b2+1)(c2+1)4(bc+ca+ab-1).

证明：因a-1、b-1、c-1中必有两个非负或非正，故不妨设(b-1)(c-1)

一些新的代数不等式

0，于是2abc+a2+b2+c2+1-2(bc+ca+ab)=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+2(a-1)(b-1)(c-1)(a-1)2+2(b-1)(c-1)+2(a-1)(b-1)(c-1)=(a-1)2+2a(b-1)(c-1)0,(a2+1)(b2+1)(c2+1)-4(bc+ca+ab-1)=a2b2c2+b2c2+c2a2+a2b2+a2+b2+c2+5-4(bc+ca+ab)=(abc-1)2+(bc-1)2+(ca-1)2+(ab-1)2+［2abc+a2+b2+c2+1-2(bc+ca+ab)］0.因此，原不等式成立.

简单证明命题6的姊妹命题：

若a,b,c为实数，则(a2+1)(b2+1)(c2+1)34(a+b+c)2.

命题7若a,b,c为满意a+b+c=1的正数，则a2+1b2+c2+b2+1c2+a2+c2+1a2+b212.

证明：不妨设abc，则a(b+c)b2+c2+b(c+a)c2+a2+c(a+b)a2+b2a(b+c)b2+c2+b(c+a)c2+a2=b(a-b)+c(a-c)b2+c2+a(b-a)+c(b-c)c2+a2+2b(a-b)b2+c2+a(b-a)c2+a2+2

=(a-b)2(ab-c2)(b2+c2)(c2+a2)+22,a2+bcb2+c2+b2+cac2+a2+c2+aba2+b2=a2-b2+c(b-c)b2+c2+

b2-a2+c(a-c)c2+a2+2c2-(a-b)22(a2+b2)+52a2-b2b2+c2+b2-a2c2+a2-(a-b)22(a2+b2)+52(a-b)2［(a+b)2(a2+b2)2-12(a2+b2)］+52=

(a-b)2［(a+b)2+2ab］2(a2+b2)2+5

一些新的代数不等式

252.以上两式相加，可得a2+bc+ca+abb2+c2+b2+ca+ab+bcc2+a2+c2+ab+bc+caa2+b292,即a2+1-b2-c2b2+c2+b2+1-c2-a2c2+a2+c2+1-a2-b2a2+b29,所以原不等式成立.a=b12,c0时，原不等式左端12，因此，原不等式不行改进.

猜想4若a,b,c为满意a+b+c=1的正数，则a2+1b2+c