2022-2023学年福建省福州市私立水口中学高三数学理上学期期末试题含解析

2022-2023学年福建省福州市私立水口中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.甲乙两名同学分别从“象棋”、“文学”、“摄影”三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B2.已知函数只需要将的图象（

）参考答案：D略3.已知数列为等比数列，是它的前项和。若，且与的等差中项为则（

）A．35Ｂ．33

Ｃ．31

Ｄ．29参考答案：C4.是“实系数一元二次方程有虚根”的（A）必要不充分条件

（B）充分不必要条件（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：A解析：△＝－4＜0时，－2＜＜2，因为是“－2＜＜2”的必要不充分条件，故选A。5.设是两条不同的直线，是两个不同的平面,下列命题中错误的是（

）A.若,,,则

B.若,,,则C.若,,则

D.若,,,则参考答案：D6.已知函数的图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为，，则函数的单调增区间为（

）A.， B.，C.， D.，参考答案：D【分析】由题意得出的解析式，利用三角函数的性质得出其单调增区间可得答案.【详解】解：由题意得：对称中心为，可得b=0，图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为，，可得，，，可得将代入可得，可得，且，，可得，令，可得，故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的单调性及的性质，得出函数的解析式是解题的关键.7.设集合，集合，则集合＝（）A．[0,2]

B．(1,3)

C．[1,3)

D．(1,4)参考答案：C8.等差数列{an}中，a3和a9是关于x的方程x2﹣16x+c=0（c＜64）的两实根，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．176参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的性质和韦达定理求解．【解答】解：∵等差数列{an}中，a3和a9是关于x的方程x2﹣16x+c=0（c＜64）的两实根，∴a3+a9=16，∴该数列前11项和S11===88．故选：B．【点评】本题考查等差数列的前11项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．9.若集合，，则=（）A． B． C． D．参考答案：C略10.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象(

)A．关于点（，0）对称 B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称 D．关于直线x=对称参考答案：D【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由周期求出ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），再根据图象向右平移个单位后得到的函数y=sin（2x﹣+φ]是奇函数，可得φ=﹣，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性．【解答】解：由题意可得=π，解得ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ]是奇函数，又|φ|＜，故φ=﹣，故函数f（x）=sin（2x﹣），故当x=时，函数f（x）=sin=1，故函数f（x）=sin（2x﹣）关于直线x=对称，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．[来源:Z_xx_k.Com]二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若关于的方程有负数根，则函数在区间[1，4]上的最大值是

．参考答案：12.已知x，y满足若z=x+2y有最大值8，则实数k的值为

．参考答案：﹣4

【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出x，y满足对应的平面区域如图：由图象可知z=x+2y在点A处取得最大值，由，解得A（0，4），A在直线2x﹣y=k上，此时0﹣4=k，解得k=﹣4，故答案为：﹣4．13.在区间[1，3]上随机选取一个数(e为自然对数的底数）的值介于e到e2之间的概率为________.参考答案：数的可取值长度为，满足在e和之间的的取值长度为1，故所求事件的概率为.14.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体（记为ABCD-A1B1C1D1）的粮仓，宽3丈（即丈），长4丈5尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知1斛粟的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，则下列判断正确的是

．（填写所有正确结论的编号）①该粮仓的高是2丈；②异面直线AD与BC1所成角的正弦值为；③长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面积为平方丈．参考答案：①③由题意，因为，解得尺尺，故①正确；异面直线与所成角为，则，故②错误，此长方体的长、宽、高分别为丈、丈、丈，故其外接球的表面积为平分丈，所以③是正确的．

15.在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△ABC是边长为6的等边三角形，△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．参考答案：【分析】在等边三角形中，取的中点，设其中心为，则，再利用勾股定理可得，则为棱锥的外接球球心，利用球的表面积公式可得结果.【详解】如图，在等边三角形中，取的中点，设其中心为，由，得，是以为斜边的等腰角三角形，,又因为平面平面，平面，，，则为棱锥的外接球球心，外接球半径，该三棱锥外接球表面积为，故答案为.【点睛】本题考查主要四面体外接球表面积，考查空间想象能力，是中档题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.16.等差数列中，,记,则____.参考答案：略17.在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥AC.若SA＝4，三棱锥S－ABC外接球的表面积为116，则的最大值为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围.参考答案：（1）；（2）m≥3或m≤﹣1.【分析】（1）利用零点分段法进行求解，即可得答案；（2）由题意可得|x﹣m|+2|x﹣1|≥2恒成立，设g（x）＝|x﹣m|+2|x﹣1|，由题意可得只需g（x）min≥2，运用绝对值不等式的性质和绝对值的性质，以及绝对值不等式的解法，可得所求范围．.【详解】（1）若，不等式①当时，不等式①等价于，∴；当时，不等式①等价于，∴；当时，不等式①等价于，∴；综上所述，不等式的解集为.（2）关于x的不等式|x﹣1|≥1恒成立，即为|x﹣m|+2|x﹣1|≥2恒成立，设g（x）＝|x﹣m|+2|x﹣1|，由题意可得只需g（x）min≥2，而g（x）＝|x﹣m|+|x﹣1|+|x﹣1|≥|x﹣m﹣x+1|+0＝|1﹣m|，当且仅当x＝1取得等号，则g（x）的最小值为|1﹣m|，由|1﹣m|≥2，解得m≥3或m≤﹣1．【点睛】本题考查零点分段法解绝对值不等式、绝对值函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意讨论的完整性.19.已知,设,且,记;（1）设,其中,试求的单调区间;（2）试判断弦AB的斜率与的大小关系,并证明;（3）证明：当时,.参考答案：（1）（），若，则，它为上的增函数，若，则增区间为，减区间为…………3分（2）令，，，而.故在单调递增，故…………7分（3）当时，原不等式等价于，由（2）知，即证，转化为.令，，，故也成立.………12分20.某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区”．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区．

（Ⅰ）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；

（Ⅱ）假定选择的“非低碳小区”为小区，调查显示其“低碳族”的比例为，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区是否达到“低碳小区”的标准？参考答案：考点：概率综合试题解析：（Ⅰ）设三个“非低碳小区”为，两个“低碳小区”为

用表示选定的两个小区，，

则从5个小区中任选两个小区，所有可能的结果有10个，它们是，，，，，，，，．

用表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件，则中的结果有6个，它们是：，，，，．

故所求概率．

（II）由图1可知月碳排放量不超过千克的成为“低碳族”．

由图2可知，三个月后的低碳族的比例为，

所以三个月后小区达到了“低碳小区”标准．21.（本题满分12分）本题共有2小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分．在△中，角、、所对的边长分别为、、，且．（1）若，，求的值；（2）若，求的取值范围．

参考答案：（1）在△中，．

所以．

，所以．

………3分

由余弦定理，

得．

解得或．

…………6分

（2）.

………………9分

由（1）得，所以，，则.∴.

∴.

∴的取值范围是.

………12分22.（本小题满分14分）设函数（1）证明对每一个，存在唯一的，满足；（2）由（1）中的构成数列，判断数列的单调性并证明；（3）对任意，满足（1），试比较与的大小.参考答案：（1）显然,当时,,故在上递增.

…