新同步学案数学必修第一册版

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课时学案5.4

三角函数的图象与性质5.4.1

正弦函数、余弦函数的图象(0，0)(π，0)(2π，0)π

2，03π

2

，0答：由诱导公式一sin(x＋2kπ)＝sinx，cos(x＋2kπ)＝cos

x，k∈Z可得．2．如何由y＝cos

x(x∈R)的图象得到y＝sin

x的图象？方法唯一吗？

答：①sin

x＝cosx－π2

π，故只需把y＝cos

x，x∈R的图象向右平移

个单位长度即可得到y＝sin

x，x∈R的图象．②方法不唯一，如sin

x＝cosx＋23π2，3π即可将y＝cos

x的图象向左平移

2 个单位长度．课时学案题型一

用“五点法”作正弦、余弦型函数的图象例1

作出下列函数的图象：(1)y＝－sin

x(0≤x≤2π)；(2)y＝1＋cos

x(0≤x≤2π)．【解析】

利用“五点法”作图．(1)列表：x0π2π3π22πsin

x010－10－sin

x0－1010探究1

“五点法”作图要抓住要害，即抓住五个关键点，使函数中x取0，π

3π2，π，

2

，2π，然后相应地求出y的值，然后作出图象．思考题1

用“五点法”作出下列函数的简图：y＝sin

x－1，x∈[0，2π]；y＝－2cos

x＋3，x∈[0，2π]．y＝|sin

x|Bπ【解析】

当x＝

2

时，y＝0；当x＝0时，y＝1；当x＝2π时，y＝1；结合正弦函数的图象可知B正确．(3)已知f(x)＝sinx＋π

π2

2

，g(x)＝cosx－

，则f(x)的图象(D

)与g(x)的图象相同与g(x)的图象关于y轴对称 π向左平移2

个单位长度，得g(x)的图象π向右平移2

个单位长度，得g(x)的图象Ⅱ.对称变换①函数y＝|f(x)|的图象是将函数y＝f(x)的图象在x轴的上方的部分不动，下方的部分对称翻折到x轴上方得到．②函数y＝f(|x|)的图象是将函数y＝f(x)的图象在y轴右边的部分不动，并将其对称翻折到y轴左侧得到．③函数y＝－f(x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于x轴对称．④函数y＝f(－x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．⑤函数y＝－f(－x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于原点对称．D【解析】

方法一：函数y＝－sin

x与y＝sin

x的图象关于x轴对称．π方法二：y＝－sin

x＝cos(x＋

2

)，所以其图象是y＝cos

x在[0，2π]上的图π象向左平移2

个单位长度．故选D.(2)作出函数y＝sin|x|的图象．题型三

正弦函数、余弦函数图象的应用例3

(1)求函数y＝

1－2cos

x的定义域．(2)方程x2－cos

x＝0的实数解的个数是

2

，所有的实数解的和为

0

．探究3

利用三角函数图象解三角不等式sin

x>a(cos

x>a)的步骤：(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；

(2)确定在[0，2π]上sin

x＝a(cos

x＝a)的x值；(3)写出不等式在区间[0，2π]上的解集；(4)根据诱导公式一写出定义域内的解集．思考题31(1)解不等式sin

x≥2.(2)函数y＝cos

x＋4，x∈[0，2π]的图象与直线y＝4的交点坐标为

．π

3π

2

，4，

2

，4【解析】由y＝cos

x＋4，y＝4，得cos

x＝0，π

3π当x∈[0，2π]时，x＝

2

或x＝

2

，π

3π所以交点坐标为

2

，4，

2

，4.课后巩固21．用“五点法”画函数y＝1＋1

sinx的图象时，所描出的五点的横坐标是(

)π

π

3πA．0，

4

，

2，

4

，πC．0，π，2π，3π，4ππ

3πB．0，

2

，π，

2

，2ππ

π

π

2πD．0，

，

，

，6

3

2

3x的图象所描出B解析

所描出的五点的横坐标与用“五点法”画函数y＝sinπ

3π的五点的横坐标相同，即0，

2

，π，

2

，2π.故选B.2．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin

x，x∈[0，2π]与y＝sin

x，x∈[2π，4π]的图象(

B

)A．重合B．形状相同，位置不同D．形状不同，位置不同C．关于y

轴对称解析

根据正弦曲线的作法可知函数

y＝sin

x，x∈[0，2π]与

y＝sin

x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同．B解析

y＝sin(－x)＝－sin

x，y＝－sin

x与y＝sin

x的图象关于x轴对称．故选B.14．函数y＝1＋sin

x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2交点的个数是(

C

)A．0C．2B．1D．35．不等式cos

x<0，x∈[0，2π]的解集为(

B

)A.0，3π2