苏教版选择性必修第一册3.1.1椭圆的标准方程 同步教学课件（共53张PPT）VIP

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第3章圆锥曲线与方程

3.1椭圆

3.1.1椭圆的标准方程

课标要求

素养要求

通过研究椭圆的定义及标准方程，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养.

1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、会求其标准方程.

问题导学预习教材

必备知识探究

内容

索引

互动合作研析题型

关键能力提升

拓展延伸分层精练

核心素养达成

WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU

问题导学预习教材必备知识探究

1

一、椭圆的定义

1.思考在画板上取两个定点F1和F2，把一条长度为定值且大于F1F2的细绳的两端固定在F1，F2两点.如图，用笔尖把细绳拉紧并使笔尖在画板上移动一周，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？

提示椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数.

2.填空平面内到两个定点F1，F2的__________________________________的点的轨迹叫作椭圆.两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的______，焦距的一半称为________.

距离之和等于常数(大于F1F2)

焦距

半焦距

温馨提醒(1)当距离之和等于F1F2时，动点的轨迹是线段.

(2)当距离之和小于F1F2时，动点的轨迹不存在.

3.做一做思考辨析，判断正误

(1)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足PF1＋PF2＝4，则点P的轨迹是椭圆.()

(2)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足PF1＋PF2＝2，则点P的轨迹是椭圆.()

提示因为PF1＋PF2＝F1F2，所以点P的轨迹是线段F1F2.

(3)已知点F1(0，－1)，F2(0，1)，动点P满足PF1＋PF2＝1，则点P的轨迹是椭圆.()

提示因为PF1＋PF2＜F1F2，所以动点P的轨迹不存在.

√

×

×

二、椭圆的标准方程

1.思考你认为怎样建系可使所得椭圆方程形式简单？

提示以F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，

建立直角坐标系xOy.

2.填空椭圆的标准方程

(－c，0)，(c，0)

(0，－c)，(0，c)

c2＝a2－b2

c2＝a2－b2

温馨提醒(1)椭圆的标准方程的形式是：左边是“平方”＋“平方”，右边是1，切莫记为0.

(2)椭圆的焦点在x轴上标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上标准方程中含y2项的分母较大.因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时，要根据方程中分母的大小来判断，简记“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”.

B

3.做一做已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是()

A.1B.2C.3D.4

HUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG

互动合作研析题型关键能力提升

2

角度1椭圆定义的直接应用

题型一椭圆定义的应用

故由椭圆定义有AF1＋AF2＝2a＝10，BF1＋BF2＝2a＝10，又AF2＋BF2＝AB，

所以△AF1B的周长为AF1＋BF1＋AB＝AF1＋BF1＋AF2＋BF2

＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝2a＋2a＝20.

角度2椭圆中的焦点三角形

利用定义解决涉及焦点相关问题的计算

(1)定义是解决椭圆问题的常用工具，如果题目的条件能转化为动点到两定点距离之和为常数的问题，那么可考虑能否利用椭圆定义.

(2)一般地，遇到有关焦点问题时，首先应考虑用定义来解题，如题目中有椭圆上的点到两焦点的距离可考虑用定义解题.另外，对定义的应用也应有深刻理解，知道何时应用、怎样应用.

思维升华

2

120°

分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10；

题型二求椭圆的标准方程

解因为椭圆的焦点在x轴上，

因为2a＝10，所以a＝5.

又因为c＝4，所以b2＝a2－c2＝52－42＝9.

(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0).

(1)利用待定系数法求椭圆的标准方程.

①先确定焦点位置；②设出方程；③寻求a，b，c的等量关系；④求a，b的值，代入所设方程.

(2)当已知椭圆经过两点求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程.

思维升华

(2)当焦点在y轴上时，

题型三求与椭圆有关的轨迹问题

(2)一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程.

解由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3，0)，R1＝1；Q2(3，0)，R2＝9.

设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，如图.由题设知MQ1＝1＋R，

MQ2＝9－R，

所以MQ1＋MQ2＝10>Q1Q2＝6.

由椭圆的定义，知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3.

所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，

1.与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法.本例(2)所用方法为定义法.

2.定义法求轨迹方程

如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法.定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法.

思维升华

3.代入法(相关点法)

若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以将点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫作代入法(又称相关点法).

将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，

2c＝AB＝2，所以a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3.

课堂小结

1.牢记2个知识点

(1)椭圆的定义.

(2)椭圆的标准方程.

2.掌握求标准方程的2种方法

(1)待定系数法.

(2)定义法.

3.注意1个易错点

若焦点位置不确定，一定要分类讨论.

TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENG

拓展延伸分层精练核心素养达成

3

1.平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足MF1＋MF2为常数”是“M的轨迹是椭圆”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

B

C

D

BC

5.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是()

B

(0，－12)，(0，12)

解析由椭圆的标准方程知，a2＝169，b2＝25，

∴c2＝a2－b2＝169－25＝144，

又由椭圆的标准方程知椭圆的焦点在y轴上，

∴焦点坐标为(0，－12)和(0，12).

4

8

18

9.求适合下列条件的椭圆的标准方程：

若焦点在y轴上，

由①②得b2＝4，a2＝20，

10.已知点P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点.求点M的轨迹方程.

解由题意得F1(－1，0)，F2(1，0)，圆F1的半径为4，且MF2＝MP，

从而MF1＋MF2＝MF1＋MP＝PF1＝4>F1F2，

所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，

11.(多选)过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹可以是()

A.圆B.椭圆C.线段D.射线

AB

解析如图，设已知圆的圆心为A，半径为R，圆内的定点为B，

动圆的半径为r.若点A与点B不重合，由于两圆相内切，

则AC＝R－r.

由于r＝BC，

∴AC＝R－BC，即CA＋CB＝R.

∴动点C到两个定点A，B的距离和为常数R.

∵B为圆内的定点，∴AB<R.

∴动点C的轨迹为椭圆.

若A，B重合为一点，则此时动点C的轨迹为以R为直径的圆.

综上，圆心C的轨迹为椭圆或圆.

又点P在椭圆上，

13.已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点