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文档简介

立体几何中的向量方法用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形问题）

空间两点之间的距离

根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式或(其中)，可将两点距离问题转化为求向量模长问题.

点到直线的距离点P与直线l的距离为d,则

设E为平面α外一点,F为α内任意一点,为平面α的法向量,则点E到平面的距离为:点到平面的距离

a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b上的点,是a,b公垂线的方向向量,则a,b间距离为异面直线间的距离

平面与平面的距离问题A，P分别是平面a与b上任意一点，平面a与b的距离为d,则mDCPA

例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD图1解：如图1，设化为向量问题依据向量的加法法则，进行向量运算所以回到图形问题这个晶体的对角线的长是棱长的倍。典例展示（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？

（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?A1B1C1D1ABCD分析:分析:∴这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。

（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）A1B1C1D1ABCDH

分析：面面距离回归图形点面距离向量的模解：∴所求的距离是如图所示，在120°的二面角α

­AB­β中，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长．解：取CD的中点O，连结OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD.以O为坐标原点，分别以直线OC，BO，OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.例2.1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离.zxyABCC1EA1B1zxyABCC1取x=1,则y=-1,z=1,所以EA1B1二、利用向量求距离1.点到平面的距离：连接该点与平面上任意一点的向量在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向，可取其射影的绝对值）.2.点到直线的距离：求出垂线段的向量的模.3.直线到平面的距离：可以转化为点到平面的距离.一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。面面距离回归图形点面距离向量的模4.平行与平面间的距离：转化为直线到平

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