人教A版高二数学选择性必修第一册3.2.1双曲线 第一课时 学案 (含详细解析)

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人教A版高二数学选择性必修第一册3.2.1双曲线第一课时同步练习(原卷版)

考点一双曲线的定义

【例1】（1）（2023·日喀则市拉孜高级中学高二期末（文））到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹为（）

A．椭圆B．两条射线C．双曲线D．线段

（2）（2023·甘肃省民乐县第一中学高三其他（理））已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（）

A．38B．24C．38或10D．24或4

【一隅三反】

1．（2023·广东濠江.金山中学高三三模（文））已知，则动点的轨迹是（）

A．一条射线B．双曲线右支C．双曲线D．双曲线左支

2（2023·浙江杭州.高二期末）已知平面中的两点，则满足的点M的轨迹是（）

A．椭圆B．双曲线C．一条线段D．两条射线

3．（2023·浙江瓯海.温州中学高二期末）双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，若，则（）

A．B．C．或D．

考点二双曲线定义的运用

【例2】（1）（2023·江西高二期末（文））已知双曲线，直线l过其左焦点，交双曲线左支于A、B两点，且，为双曲线的右焦点，的周长为20，则m的值为（）

A．8B．9C．16D．20

(2)（2023·四川南充.高二期末（理））设分别是双曲线的两个焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于

A．B．C．D．

【一隅三反】

1．（2023·宁夏兴庆.银川九中）已知是双曲线的两个焦点，点为该双曲线上一点，若，且，则（）

A．1B．C．D．3

2．（2023·武威第八中学高二期末（理））已知双曲线:的左右焦点分别为,为的右支上一点,且,则的面积等于

A．B．C．D．

3．（2023·吉林松原）已知点是双曲线上一点，，分别为双曲线的左右焦点，若的外接圆半径为4，且为锐角，则（）

A．15B．16C．18D．20

【例2-2】（2023·安徽贵池。池州一中高二期末（理））方程表示双曲线的充分不必要条件是（）

A．或B．C．D．或

【一隅三反】

1．（2023·全国高二课时练习）若m为实数，则“”是“曲线C：表示双曲线”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

2．（2023·辽宁高三其他（理））若，则是方程表示双曲线的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．（2023·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高二期末（文））若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（）

A．B．C．D．

考点三双曲线标准方程

【例3】（2023·吴起高级中学高二期末（理））在下列条件下求双曲线标准方程

（1）经过两点；

（2），经过点，焦点在轴上.

(3)过点(3，－)，离心率e＝；

(4)中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－)．

【一隅三反】

1．（2023·重庆大足）焦点在轴上，实轴长为4，虚轴长为的双曲线的标准方程是()

A．B．C．D．

2．（2023·四川高二期末（文））已知离心率为2的双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（）

A．B．

C．D．

3．（2023·河南林州一中高二月考（理））已知双曲线的一条渐近线方程为，为该双曲线上一点，为其左、右焦点，且，，则该双曲线的方程为（）

A．B．C．D．

4．（2023·全国）已知是双曲线的左焦点，过作一条渐近线的垂线与右支交于点，垂足为，且，则双曲线方程为（）

A．B．

C．D．

考点四渐近线

【例4】（2023·湖南开福）已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则双曲线的渐近线方程为（）

A．B．C．D．

【一隅三反】

1．（2023·浙江柯桥）双曲线的渐近线方程为（）

A．B．C．D．

2．（2023·邢台市第八中学高二期末）双曲线的顶点到渐近线的距离是__________.

3．（2023·云南省下关第一中学）已知双曲线以椭圆的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则的渐近线方程为()

A．B．C．D．

5．（2023·全国高三三模（文））已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，点．若周长的最小值为，则双曲线的渐近线方程为________．

人教A版高二数学选择性必修第一册3.2.1双曲线第一课时同步练习(解析版)

考点一双曲线的定义

【例1】（1）（2023·日喀则市拉孜高级中学高二期末（文））到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹为（）

A．椭圆B．两条射线C．双曲线D．线段

（2）（2023·甘肃省民乐县第一中学高三其他（理））已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（）

A．38B．24C．38或10D．24或4

【答案】（1）B（2）B

【解析】（1）∵到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6，

而|F1F2|＝6，∴满足条件的点的轨迹为两条射线．故选B．

（2）由题意可得，，，因为，所以点P在双曲线C的下支上，

则，故．故选：B.

【一隅三反】

1．（2023·广东濠江.金山中学高三三模（文））已知，则动点的轨迹是（）

A．一条射线B．双曲线右支C．双曲线D．双曲线左支

【答案】A

【解析】因为，故动点的轨迹是一条射线，其方程为：，故选A.

2（2023·浙江杭州.高二期末）已知平面中的两点，则满足的点M的轨迹是（）

A．椭圆B．双曲线C．一条线段D．两条射线

【答案】B

【解析】由题意得：，且=4,因为，因此符合双曲线的定义，故点M的轨迹是双曲线，故选：B.

3．（2023·浙江瓯海.温州中学高二期末）双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，若，则（）

A．B．C．或D．

【答案】B

【解析】双曲线的，

点在双曲线的右支上，可得，

点在双曲线的左支上，可得，

由可得在双曲线的左支上，可得，即有.故选：B.

考点二双曲线定义的运用

【例2】（1）（2023·江西高二期末（文））已知双曲线，直线l过其左焦点，交双曲线左支于A、B两点，且，为双曲线的右焦点，的周长为20，则m的值为（）

A．8B．9C．16D．20

(2)（2023·四川南充.高二期末（理））设分别是双曲线的两个焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于

A．B．C．D．

【答案】（1）B(2)D

【解析】（1）由已知，|AB|+|AF2|+|BF2|＝20，又|AB|＝4，则|AF2|+|BF2|＝16．

据双曲线定义，2a＝|AF2|﹣|AF1|＝|BF2|﹣|BF1|，所以4a＝|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）＝16﹣4＝12，

即a＝3，所以m＝a2＝9，故选B．

(2)设，则由双曲线的定义可得

故，又，

故，故，

所以的面积为.故选：D.

【一隅三反】

1．（2023·宁夏兴庆.银川九中）已知是双曲线的两个焦点，点为该双曲线上一点，若，且，则（）

A．1B．C．D．3

【答案】A

【解析】双曲线化为标准方程可得即

由双曲线定义可知,所以,

又因为,所以,

由以上两式可得,由得,

所以,解得,故选:A.

2．（2023·武威第八中学高二期末（理））已知双曲线:的左右焦点分别为,为的右支上一点,且,则的面积等于

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】∵双曲线中∴

∵∴

作边上的高，则∴

∴的面积为故选C

3．（2023·吉林松原）已知点是双曲线上一点，，分别为双曲线的左右焦点，若的外接圆半径为4，且为锐角，则（）

A．15B．16C．18D．20

【答案】B

【解析】依题意，.

在三角形中，，由正弦定理得，

即，由于为锐角，所以.

根据双曲线的定义得.

在三角形中，由余弦定理得，

即，

即，

即，所以.

故选：B

【例2-2】（2023·安徽贵池。池州一中高二期末（理））方程表示双曲线的充分不必要条件是（）

A．或B．C．D．或

【答案】C

【解析】方程表示双曲线，可得，解得或；

记集合或；所以方程表示双曲线的充分不必要条件为集合的真子集，

由于，故选：．

【一隅三反】

1．（2023·全国高二课时练习）若m为实数，则“”是“曲线C：表示双曲线”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若方程表示双曲线，

则，得，

由可以得到，故充分性成立；

由推不出，故必要性不成立；

则“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，故选：．

2．（2023·辽宁高三其他（理））若，则是方程表示双曲线的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】因为方程表示双曲线，

所以，解得，

因为，

所以是方程表示双曲线的必要不充分条件，

故选：B

3．（2023·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高二期末（文））若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】把曲线转化为，

因为曲线表示焦点在轴上的双曲线，

所以，即，解得.

故选：B.

考点三双曲线标准方程

【例3】（2023·吴起高级中学高二期末（理））在下列条件下求双曲线标准方程

（1）经过两点；

（2），经过点，焦点在轴上.

(3)过点(3，－)，离心率e＝；

(4)中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－)．

【答案】（1）;（2）（3）；（4）.

【解析】（1）由于双曲线过点，故且焦点在轴上，设方程为，代入得，解得，故双曲线的方程为.

（2）由于双曲线焦点在轴上，故设双曲线方程为.将点代入双曲线方程得，解得，故双曲线的方程为.

(3)若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为(a＞0，b＞0)．

因为双曲线过点(3，－)，则.①

又e＝，故a2＝4b2.②

由①②得a2＝1，b2＝，故所求双曲线的标准方程为.

若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为(a＞0，b＞0)．

同理可得b2＝－，不符合题意．

综上可知，所求双曲线的标准方程为.

(4)由2a＝2b得a＝b，所以e＝，所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点P(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6.

所以双曲线方程为x2－y2＝6.所以双曲线的标准方程为.

【一隅三反】

1．（2023·重庆大足）焦点在轴上，实轴长为4，虚轴长为的双曲线的标准方程是()

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】因为双曲线的实轴长是，虚轴长是所以，所以

所以双曲线的标准方程是故选：A

2．（2023·四川高二期末（文））已知离心率为2的双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】双曲线与椭圆有公共焦点由椭圆可得双曲线离心率，

双曲线的方程为：故选：C

3．（2023·河南林州一中高二月考（理））已知双曲线的一条渐近线方程为，为该双曲线上一点，为其左、右焦点，且，，则该双曲线的方程为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】设，则由渐近线方程为，，

又，

所以

两式相减，得，

而，所以，

所以，所以，，

故双曲线的方程为.

故选：D

4．（2023·全国）已知是双曲线的左焦点，过作一条渐近线的垂线与右支交于点，垂足为，且，则双曲线方程为（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】设双曲线右焦点为，连接，

左焦点到渐近线的距离为，

故，

在中，，由双曲线定义得，

在中，由余弦定理得，

整理得，即，

又，解得，，

双曲线方程为.

故选：D.

考点四渐近线

【例4】（2023·湖南开福）已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则双曲线的渐近线方程为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】由题意，、分别为双曲线的左、右焦点，点在上，

且满足，可得，，，

由双曲线的定义可知，即，

又由，所以双曲线的渐近线方程为.故选：C.

【一隅三反】

1．（2023·浙江柯桥）双曲线的渐近线方程为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】双曲线的渐近线方程满足，整理可得.故选：A.

2．（2023·邢台市第八中学高二期末）双曲线的顶点到渐近线的距离是__________.

【答案】

【解析】双曲线的标准方程为，故双曲线顶点为，渐近线方程为.