上海民办奉浦学校2022年高一数学理期末试题含解析

上海民办奉浦学校2022年高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5，7}，B={2，4，5}则?U（A∪B）（）A．{6，8} B．{5，7} C．{4，6，7} D．{1，3，5，6，8}参考答案：A【考点】补集及其运算；并集及其运算．【专题】计算题．【分析】由已知中U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5，7}，B={2，4，5}，我们根据集合并集的运算法则求出A∪B，再利用集合补集的运算法则即可得到答案．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5，7}，B={2，4，5}∴A∪B={1，2，3，4，5，7}，∴Cu（A∪B）={6，8}故选A【点评】本题考查的知识点是集合补集及其运算，集合并集及其运算，属于简单题型，处理时要“求稳不求快”2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断正确的是（

）①平面平面②平面③异面直线与所成角的取值范围是④三棱锥的体积不变A.①② B.①②④ C.③④ D.①④参考答案：B【分析】①连接DB1，容易证明DB1⊥面ACD1，从而可以证明面面垂直；②连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得；③分析出A1P与AD1所成角的范围，从而可以判断真假；④=，C到面AD1P的距离不变，且三角形AD1P的面积不变；【详解】对于①，连接DB1，根据正方体的性质，有DB1⊥面ACD1，DB1?平面PB1D，从而可以证明平面PB1D⊥平面ACD1，正确．②连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得A1P∥平面ACD1，正确．③当P与线段BC1的两端点重合时，A1P与AD1所成角取最小值，当P与线段BC1的中点重合时，A1P与AD1所成角取最大值，故A1P与AD1所成角的范围是，错误；④=，C到面AD1P的距离不变，且三角形AD1P的面积不变．∴三棱锥A﹣D1PC的体积不变，正确；正确的命题为①②④．故选：B．【点睛】本题考查空间点、线、面的位置关系，空间想象能力，中档题．3.从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球,若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”,则与事件A互斥的事件是（

）A.所取的3个球中至少有一个白球B.所取的3个球中恰有2个白球1个黑球C.所取的3个球都是黑球D.所取的3个球中恰有1个白球2个黑球参考答案：B4.“”是“”成立的（）A.充分非必要条件. B.必要非充分条件.C.充要条件. D.既非充分又非必要条件.参考答案：A【分析】依次分析充分性与必要性是否成立.【详解】时，而时不一定成立，所以“”是“”成立的充分非必要条件，选A.【点睛】本题考查充要关系判定，考查基本分析判断能力，属基础题5.已知实数x，y满足，，且，，成等比数列，则xy有（）A.最大值e B.最大值 C.最小值e D.最小值参考答案：C试题分析：因为，，成等比数列，所以可得，有最小值，故选C.考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算及基本不等式求最值.6..函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别为3，5，9，则的单调递增区间是（

）A.， B.，C.， D.，参考答案：A【分析】先分析得到函数的最小正周期是6，求出函数在一个周期上的单调递增区间是，再求出函数的单调递增区间.【详解】因为函数与直线的三个相邻交点的横坐标分别为3，5，9，所以函数在时取得最大值，在时取得最小值，所以函数的最小正周期是6.易知函数在一个周期上的单调递增区间是，所以函数的单调递增区间是，.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.（5分）在y=2x，这四个函数中，当0＜x1＜x2＜1时，使恒成立的函数的个数是（） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3参考答案：B考点： 余弦函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点．专题： 三角函数的图像与性质．分析： 函数f（x）只有在区间（0，1）上的函数图象是上凸型的，才能满足，由于函数y=2x、y=x2、y=cos2x区间（0，1）上的图象是下凹型的，只有y=log2x在区间（0，1）上的图象是上凸型的，从而得出结论．解答： 函数f（x）只有在区间（0，1）上的函数图象是上凸型的，才能满足，由于函数y=2x在区间（0，1）上的图象是下凹型的，故不满足条件．由于y=log2x在区间（0，1）上的图象是上凸型的，故满足条件．由于函数y=x2在区间（0，1）上的图象是下凹型的，故不满足条件．由于函数y=cos2x在区间（0，1）上的图象是下凹型的，故不满足条件．故选B．点评： 本题主要考查函数的图象特征，体现了转化的数学思想，属于中档题．8.要得到的图象只需将y=3sin2x的图象（

）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位

D．向右平移个单位参考答案：C9.已知a=log23+log2，b=，c=log32则a，b，c的大小关系是(

)A．a=b＜c B．a=b＞c C．a＜b＜c D．a＞b＞c参考答案：B【考点】不等式比较大小．【专题】计算题．【分析】利用对数的运算性质可求得a=log23，b=log23＞1，而0＜c=log32＜1，从而可得答案．【解答】解：∵a=log23+log2=log23，b===＞1，∴a=b＞1，又0＜c=log32＜1，∴a=b＞c．故选：B．【点评】本题考查不等式比较大小，掌握对数的运算性质既对数函数的性质是解决问题之关键，属于基础题．10.圆和圆的位置关系是（

）A．相离

B．相交

C.内切

D．外切参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则的值为______________参考答案：略12.若集合中只有一个元素,则的值为________.参考答案：0或1略13.参考答案：14.平面点集，用列举法表示

。参考答案：15.直线与坐标轴围成的三角形的面积是

.参考答案：5

16.已知，，则的最小值为

．参考答案：317.在20瓶饮料中，有两瓶是过了保质期的，从中任取１瓶，恰为过保质期的概率为_

___参考答案：1/10略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，满足且方程有唯一解。（1）求的解析式；（2）若，求函数的值域。

参考答案：解：（1）有唯一解

即有唯一解

有唯一解

解得

又

所以

解得

（2）由（1）知

设，则

，

即

上为增函数

所以函数的值域为略19.(本小题满分12分)如图所示，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到A点(距平衡位置最远处)开始计时．(1)求物体离开平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式；(2)求该物体在t＝5s时的位置．参考答案：(1)x＝3cost;(2)在O点左侧且距O点1.5cm处(1)设位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式为x＝3sin(ωt＋φ)(ω>0,0≤φ<2π)，则由T＝＝3，得ω＝.当t＝0时，有x＝3sinφ＝3，∴sinφ＝1.又0≤φ<2π，故可得φ＝.从而所求的函数关系式是x＝3sin(t＋)，

即为x＝3cost.(2)令t＝5，得x＝3cos＝－1.5，故该物体在t＝5s时的位置是在O点左侧且距O点1.5cm处．

20.(本小题满分13分)一般情况下，桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，会造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度小于40辆/千米时，车流速度为40千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．（Ⅰ）当，求函数的表达式；（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．参考答案：21.如图所示，公园内有一块边长为的等边形状的三角地，现修成草坪，图中把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上.（Ⅰ）设，试用表示的函数关系式；（Ⅱ）如果是灌溉水管，为节约成本希望它最短，的位置应该在哪里？如果是参观线路，则希望它最长，的位置又在哪里？请给予证明.

参考答案：（Ⅰ）在中，在上，，，在中，由余弦定理得：

（4分）（6分）（Ⅱ）令，则则令，由对勾函数单调性可知：在上单调递减，在上单调递增．又∴有最小值，此时∥，且有最大值，此时为的边或的中线上．

（12分）22.已知圆Cx2+y2+2x﹣4y+3=0 （1）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程； （2）求经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程． 参考答案：【考点】直线与圆的位置关系；直线的截距式方程． 【专题】计算题；直线与圆． 【分析】（1）已知切线不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出变量即可求直线l的方程； （2）利用斜率存在与不存在两种形式设出直线方程，通过圆心到直线的距离、半径半弦长满足勾股定理，求出经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程． 【解答】解：（1）∵切线在两坐标轴上截距相等且不为零，设直线方程为x+y+c=0…1分 圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0 圆心C（﹣1，2）半径为， 圆心到切线的距离等于圆半径：，…3分 解得c=1或c=﹣3…4分 ∴l或δ