数解法本征值问题课件

第九章二阶常微分方程的本征值问题级数解法§9.2常点邻域上的级数解法§9.3正则奇点邻域上的级数解法§9.4施图姆-刘维尔本征值问题§9.1特殊常微分方程的本征值问题§9.1特殊常微分方程的本征值问题1.rxyz欧勒型常微分方程这是球函数方程，称为球函数。欧拉(Euler，1707－1783)，瑞士数学家及自然科学家。在1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日於俄国的彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭，自幼已受到父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。此外，他是数学史上最多产的数学家，写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》（1748），《微分学原理》（1755），以及《积分学原理》（1768-1770）都成为数学中的经典着作。欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域，为微分几何及分析学的一些重要分支（如无穷级数、微分方程等）的产生与发展奠定了基础。

本征值：λ=m2(m=0,1,2,3…）本征函数：如果球坐标的极轴是对称轴，则u

与φ无关，从而m=0．在m=0的情况下，方程成为：勒让德方程连带的勒让德方程Legendre：生：1752年法國巴黎。卒：1833年法國巴黎。國籍：法國勒让德為法國著名算學家，著有測地學、最小二乘方、數論、橢圓積分與橢圓函數等論文與書籍。他也研究數論上的問題，I830年將結果發表在《數論》中。1794年撰寫通俗但具影響力的幾何學教科書《幾何元素》，對於微積分與力學的發展有所貢獻。

常和拉格朗日、拉普拉斯並列為法國數學界的”3L”。他在數論（1798，1808）、橢圓函數（1832）等方面都有重要貢獻。在確定慧星軌道的論文（1805）中比高斯更早地發現了最小二乘法的原理。他的初等幾何著作《幾何原理》也很有名，在這裡他證明了π的無理性。在柱坐标下的分离变量0=Du2.rxyzx,y,z本征值：λ=m2(m=0,1,2,3…）本征函数：(1)（2）（3）贝塞尔重新订正了《布拉德莱星表》，并加上了岁差和章动以及光行差的改正；他编制了包括比九等星更亮的75000多颗恒星的基本星表，后来由他的继承人阿格兰德扩充成著名的《波恩巡天星表》。

1837年，贝塞尔发现天鹅座61正在非常缓慢地改变位置，第二年，他宣布这颗星的视差是0.31弧秒，这是世界上最早测定的恒星视差之一。贝塞尔（FriedrichWilhelmBessel1784-1846）德国著名的天文学家和数学家，天体测量学的奠基人。1810年，贝塞尔奉普鲁士国王之命在柯尼斯堡组建天文台，并被任命为台长，直至逝世。3.波动方程和运输方程Helmholtz方程(HermannvonHelmholtz1821～1894)德国物理学家、生理学家。1821年10月31日生于柏林的波茨坦。中学毕业后由于经济上的原因未能进大学，以毕业后需在军队服役8年的条件取得公费进了在柏林的王家医学科学院。1842年获得医学博士学位后，被任命为驻波茨坦驻军军医，1849年他应聘任柯尼斯堡大学生理学和普通病理学教授。1858年任海德尔堡大学生理学教授。1871年接替马格诺斯任柏林大学物理学教授。1873年当选为英国伦敦皇家学会的外国会员，被授予柯普利奖章。1882年受封爵位。1887年被任命为新成立的柏林夏洛滕堡物理技术学院院长。1894年9月8日在夏洛滕堡逝世。亥姆霍兹对物理学的主要贡献是发现了能量守恒定律。他原来是研究生理学的，在对生理过程和动物热的来源进行分析的时候，发现著名化学家李比希的活力学说有问题。李比希认为活的机体会从一种“活力”取得能量。亥姆霍兹认为，如果生物机体除了从食物发热取得能量外，还可以从某种“活力”得到能量，那么生物机体就成了永动机。说得通俗一点，就是人不吃饭也可以从“活力”中得到能量而活下去。亥姆霍兹认为永动机是不可能实现的。他把自己的观点加以整理，写成《论力的守恒》一文，送到德国《物理学年鉴》。它遭到了同迈尔论文一样的厄运，被主编波根道夫退了回来。1847年7月23日，亥姆霍兹在柏林物理学会的一次讲演中报告了这篇论文。他全面阐述了能量守恒和转换来表示“活力”，也就是现在所说的动能。这篇论文表明，亥姆霍兹是能量守恒定律的创立者之一。3.Helmholtz方程1)球坐标:半奇数阶Bessel方程2）柱坐标小结：本征值：λ=m2(m=0,1,2,3…）本征函数：§9.2常点邻域上的级数解法1.标准二阶线性齐次常微分方程2.勒让德方程的级数解(3)3.收敛半径4.勒让德方程的本征值问题,L多项式以后专门讨论§9.3正则奇点邻域上的级数解法1.奇点邻域上的级数解2.正则奇点邻域上的级数解若解（2）中含有限个负幂项，则z0为方程（1）的正则奇点，其解为正则解。3.Bessel方程的级数解1)νBessel方程和νBessel方程函数-ν阶Bessel函数ν阶Bessel函数注：2)Neumann函数3)半奇数阶Bessel函数诺伊曼(1903-1957)

诺伊曼（Neumann，Johnvon)，是20世纪最杰出的数学家之一，于1945年提出了“程序内存式”计算机的设计思想。这一卓越的思想为电子计算机的逻辑结构设计奠定了基础，已成为计算机设计的基本原则。由于他在计算机逻辑结构设计上的伟大贡献，他被誉为“计算机之父”。

诺伊曼于1903年出生于匈牙利的布达佩斯。他是一个数字神童，12岁的诺伊曼就对集合论，泛函分析等深奥的数学领域了如指掌。青年时期，诺伊曼从著名数学家希尔伯特，在获得数字博士之后，他成为美国普林斯顿大学的第一批终身教授，那时，他还不到30岁。

他精通七种语言，在化学方面也有相当的造诣，曾获苏黎世高等技术学院化学系大学学位。他并不仅仅局限于纯数学上的研究，而是把数学应用到其他学科中去。他对经典力学、量子力学和流体力学的数学基础进行过深入的研究，并获得重大成果。如：同理：4)整数阶Bessel函数5)Bessel方程的本征值问题4.虚宗量Bessel方程1)ν阶虚宗量Bessel方程2)m阶虚宗量Bessel函数§9.4施图姆-刘维尔本征值问题1.

施图姆-刘维尔本征值问题任何含有参量λ的二阶齐次常微分方程：可以化为：（1）称为施图姆-刘维尔型方程，加上边界条件，则称为施图姆-刘维尔本征值问题。法国数学家刘维尔（J.Liouville）生：1809年3月24日在法國聖‧奧蒙卒：1882年9月8日

在法國巴黎著作：(１)劉維爾數字命名：0.1100000000000000000100...(２)Sturm-Liouville理論。瑞士-法国数学家施图姆（Charles-FrançoisSturm）Born:

29Sept1803inGeneva,Switzerland

Died:

18Dec1855inParis,France2.边界条件的提法3.本征值问题的性质(1)如k(x),k’(x),q(x)连续或者最多以x=a,x=b为一阶极点，则存在无限多个本征值:λ1≤λ2≤λ3≤λ4≤λ5≤λ6≤…，相应地有无限多个本征函数，

y1(x),y2