第7章典型代数系统课件

第七章典型的代数系统一、半群二、群三、格（略）四、布尔代数（略）DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学一、半群1、半群2、可交换半群3、独异点（含幺半群）4、可交换含幺半群5、子半群6、循环半群DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学1、半群<S,*>:代数系统*:运算是可结合<S,*>:半群DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学2、可交换半群<S,*>:半群*运算是可交换<S,*>:可交换半群1）<S,*>:是代数系统2）*可结合3）*可交换DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学3、独异点（含幺半群）<S,*>:半群*运算有幺元e<S,*>:含幺半群独异点<S,*,e>DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学4、可交换含幺半群<S,*>:独异点*运算可交换<S,*>:可交换含幺半群DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学半群举例下列各代数系统是否为半群？若是半群，是什么半群？(1)<N,+>(2)<N,×>(3)<ρ(S),∩>，其中S为非空集合。(4)<ρ(S),∪>其中S为非空集合。DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学半群举例I:整数集合，对于下列*运算，哪些代数系统<I,*>是半群?(1)a*b=a(2)a*b=a+ab(3)a*b=max(a,b)说明：上述关于运算*的定义，对整数集合I均封闭，故<I,*>是代数系统。a,bIDALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学解答(1)a*b=a(a*b)*c=a*c=a,a*(b*c)=a*b=a，*是可结合运算<I,*>是半群DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学解答

(2)a*b=a+ab(a*b)*c=(a+ab)*c=a+ab+(a+ab)c=a+ab+ac+abca*(b*c)=a*(b+bc)=a+a(b+bc)=a+ab+abc(a*b)*c≠a*(b*c)<I,*>不是半群DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学解答(3)a*b=max(a,b)(a*b)*c=max(a,b)*c=max(a,b,c)a*(b*c)=a*max(b,c)=max(a,b,c)即：(a*b)*c=a*(b*c)，所以运算*可结合。<I,*>是半群DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学5、子半群<S,*>:半群HS，H≠φ

集合H在运算*作用下封闭<H,*>是<S,*>的子半群DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学<S,*,e>:含幺半群HS集合H在运算*作用下封闭，<H,*,e>是<S,*,e>的子含幺半群子含幺半群且eHDALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学子半群举例例：<S，*>是一个半群，*运算的运算表如下：问：(1)<{c,d},*>(2)<{b,c,d},*>(3)<{b,c},*>(4)<{c},*>(5)<{a,b},*>是否为<S，*>的子半群？子半群含幺子半群子半群含幺子半群子半群子半群不是子半群DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学子含幺半群举例集合A={0,2,4}

N6={0,1,2,3,4,5}(1)<A,×6>是含幺半群;(2)<A,×6>不是<N6,×6>的子含幺半群。i

×6j=(i×j)(mod6)DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学解答<A,×6>的幺元是4，所以<A,×6>是独异点；<N6,6>的幺元是1。而1A,，因此<A,6>不是

<N6,6>的子含幺半群。A={0,2,4}

N6={0,1,2,3,4,5}DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学定理<S,*,e>:含幺半群*运算表中任何两行或两列都是不相同的DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学证明a,bSa≠b假设a行和b行完全相同a*e=b*ea=b与a≠b矛盾,结论成立DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学定理

<S,*>:可交换含幺半群H:S的等幂元所构成的集合<H,*>是<S,*>的子含幺半群DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学证明(1)证明eHe*e=ee是等幂元eH,H≠φ

(2)*在H上封闭对任意的a,bHa*bHa*b是等幂元(a*b)*(a*b)

（*运算可交换）=(a*b)*(b*a)（*运算可结合）=a*(b*b)*a （b是等幂元）=a*b*a（*运算可交换）=(a*a)*b（a是等幂元）=a*bDALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学元素的幂的定义在含幺半群<S,*,e>中，任意元素aS,它的幂被定义为：

a0=ea1=aa2=a*a…

ak+1=ak*aDALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学6、循环半群<S,*>:半群<S,*,e>:含幺半群存在一个元素gS对任意的aS都有一个相应的nNa=gn循环半群循环含幺半群生成员DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学循环含幺半群举例设S={a,b,c,d}，定义S中的二元运算*，*运算的运算表如下：(1)证明<S,*>是一个循环含幺半群，并给出它的生成员;(2)把<S,*>中的每一个元素都表示成生成员的幂；(3)列出<S,*>中所有的等幂元。DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学解答(1)由运算表可知：e=ab和d均为生成员(2)生成员的幂的形式：b0=ab1=bb2=b*b=cb3=b2*b=c*b=dd0=ad1=dd2=d*d=cd3=d2*d=c*d=b(3)a为等幂元DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学定理

每一个循环半群（或含幺循环半群）都是可交换半群（或可交换含幺半群）。DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学证明<S,*>:循环半群g:生成员对任意的a,bX都存在m,nNa=gmb=gna*b=gm*gn=gm+n=gn+m=gn*gm=b*a*运算是可交换的<S,*>是可交换半群DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学二、群1、群的定义2、阿贝尔群3、循环群4、子群DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学1、群的定义（1）<S，*>是代数系统；（2）运算*满足结合律；（3）<S，*>中存在幺元e；注意:群中无零元群含幺半群（4）<S，*>中任意一个元素都有逆元素；DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学群举例<R，×>和<R-{0}，×>是群吗？为什么？(1)<R，×>解：0是<R，×>的零元，而零元是不可逆的。(2)<R-{0}，×>（1）<R-{0}，×>是代数系统；（2）存在幺元e=1;（3）“×”可结合；（4）对任意实数x,x-1=1/x不是是DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学有限群和无限群

设<S，*>是一个群，若集合S是有限集,则称<S，*>是有限群，|S|称为有限群的阶数;若集合S是无限集则称<S，*>是无限群。注意：群的运算表中没有两行或两列是相同的DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学定理<A，*>:群对于任意的a,b∈A方程a*x=by*a=b在A中都有唯一的解DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学证明(1)证明方程有解：x=a-1*by=b*a-1①a*x=ba*x＝

a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b②y*a=by*a＝

(b*a-1)*a=b*(a-1*a)=b*e=bDALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学证明（续）（2）证明方程有唯一的解假设方程有其它的解分别为x1,y1,则：a*x1=ba-1*a*x1=a-1*b(a-1*a)*x1=a-1*be*x1=a-1*bx1=a-1*b同理：y1＝b*a-1DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学定理<A，*>:群对于任意的a,b,c∈A(a*b=a*c)∨(b*a=c*a)

群满足消去律b=cDALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学证明(1)a*b=a*cb=c（左消去律）设a的逆元是a-1，则：a*b=a*ca-1*a*b=a-1*a*c(a-1*a)*b=(a-1*a)*ce*b=e*cb=c(2)

b*a=c*a

b=c（右消去律）

（略）DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学定理对于任意的a,b∈A，有：(a*b)-1=b-1*a-1<A，*>:群DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学证明<证>

（1）(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=a*e*a-1=a*a-1=e（2）(b-1*a-1)*(a*b)=b-1*(a-1*a)*b=b-1*e*b=b-1*b=e由(1)(2)知：(a*b)-1=b-1*a-1DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学群中幂的定义设<G,*>是群，任取a∈G，则：an=a*a*…*a(n个a)a-n=(a-1)n(a-1表示a的逆元)a0=eam*an=am+n(am)n=amn例如：<I,+>,任取a∈Ian=a+a+…+a=naa-n=(a-1)n=(-a)+(-a)+…+(-a)=-na

a0=0(幺元)DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学2、阿贝尔群<A，*>:群*:可交换阿贝尔群交换群DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学定理

群<A，*>是阿贝尔群的充分必要条件是：对任意的a,b∈A，有：

(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学证明：必要性1)

已知：<A，*>是阿贝尔群，证明：(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)

证明：

(a*b)*(a*b) =(a*b*a*b)(因可结合)=(a*a*b*b)(运算*可交换)=(a*a)*(b*b)DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学证明：充分性2)已知：(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)证明：

<A，*>是阿贝尔群证：只须证明运算*可交换即即可。任取a,b∈A,

由条件知：(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)a-1*(a*b)*(a*b)*b-1=a-1*(a*a)*(b*b)*b-1

(a-1*a)*(b*a)*(b*b-1)=(a-1*a)*(a*b)*(b*b-1)e*(b*a)*e=e*(a*b)*eb*a=a*bDALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学3、循环群

设<G，*>是群，在G中如果存在某个元素a,使得G中的任意一个元素均可表示成a的整数幂的形式，则称<G，*>为循环群。a称为<G，*>的生成元。记：G=(a)DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学循环群举例例1:整数加群<I,+>是个循环群，0是幺元，任取a∈I,a-1=-a,1是它生成元，因为对任意的m∈I,1m=m,对任意的-m∈I，1-m=(1-1)m=(-1)m=-m,10=0。故I=(1)=(-1)（-1也是它的生成元）

例2：设G={…,10-2,10-1,100,101,102,…}则U=<G,×>是个群，10是它的生成元，即G=(10)DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学循环群举例例3

设Z4={[0]，[1]，[2]，[3]}（1）<Z4，+4>是循环群吗？（2）找出生成元。

[a]+4[b]=[(a+

b)(mod4)]（1）<Z4,+4>是循环群；（2）生成元：[1],[3][1]1=[1][1]2=[1]+4[1]＝[2][1]3=[1]2+4[1]＝[2]+4[1]=[3][1]4=[1]3+4[1]＝[3]+4[1]=[0]DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学讨论循环群的结构命题1：设循环群G=(a),若a的所有不同的整数幂都是互不相等，则G中含无穷多个元素，且有G=(a)={…,a-2,a-1,a0,a1,a2,…}命题2：设循环群G=(a),若a的所有不同的整数幂中有两个是相等的，则存在最小的正整数n，使an=e,且有：G=(a)={a0,a1,a2,…，an-1}(命题2的证明——略)DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学讨论循环群的结构定义1：设a是群<G,*>中的任一元素，若存在使an=e的最小正整数n,则称a的周期(或阶)为n。若这样的正整数n不存在，则称a的周期是无限的(或a的阶是无限的)。注：如果<G,*>是个循环群，则把它生成元的周期称为该循环群的周期。例如：整数加群<I,+>是个循环群，因为它的生成元1，而元素1的周期是无限的。所以，整数加群<I,+>是个周期无限的循环群。DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学讨论循环群的结构例3

设Z4={[0]，[1]，[2]，[3]}<Z4,+4>是个循环群。其中：

[i]+4[j]=[(i+

j)(mod4)]生成元是：[1],[3][1]1=[1][1]2=[1]+4[1]＝[2][1]3=[1]2+4[1]＝[2]+4[1]=[3][1]4=[1]3+4[1]＝[3]+4[1]=[0]生成元的周期是4，故该循环的周期是4。[3]1=[3][3]2=[3]+4[3]=[2][3]3=[3]2+4[3]

=[2]+4[3]=[1][3]4=[3]3+4[3]

=[1]+4[3]=[0]DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学剩余类加群

<Zm+m>是个周期为m的循环群。其中：

Zm={[0],[1],[2],…,[m-1]}[i]+m[j]=[(i+j)(modm)]+m[0][1][2][m-1][0][1][m-1]…………DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学结论设循环群G=(a)若a的周期是无限的，则(a)≌

<I,+>

若a的周期是有限的，则(a)≌

<Zm,+m>DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学4、变换群A:非空集合PA:从A到A的所有双射函数的集合∘

:函数的复合运算<PA,∘>构成群变换群|A|!DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学变换群举例A={1,2,3}f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}=IAf2={<1,1>,<2,3>,<3,2>}f3={<1,2>,<2,1>,<3,3>}f4={<1,3>,<2,2>,<3,1>}f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}f6={<1,3>,<2,1>,<3,2>}∴PA={f1,f2,f3,f4,f5,f6}DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学变换群举例（续）（1）∘在PA上封闭；（2）∘可结合；（3）幺元存在，e=f1（4）每个元素均可逆：

f1-1=

f1，f2-1=

f2，

f3-1=

f3，

f4-1=

f4，

f5-1=

f6，

f6-1=

f5◦f1f2f3f4f5f6f1f1f2f3f4f5f6f2f2f1f6f5f4f3f3f3f5f1f6f2f4f4f4f6f5f1f3f2f5f5f3f4f2f6f1f6f6f4f2f3f1f5DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学5、子群则称<H，*>是<G，*>的子群<G，*>:群HG且H≠Φ<H，*>也是一个群DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学平凡子群设<G，*>是群<{e}，*>和<G，*>是<G，*>的两个平凡子群除了平凡子群外的其它子群——叫真子群DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学判断子群的方法判断<H，*>是否为群

<G，*>的子群？（1）HG且H≠Φ（2）*对H封闭性；（3）H中含幺元；（子群的幺元就是群中的幺元）（4）H中的每个元素均可逆；（若元素aH,则a-1H

）注：子群也是群a在H中的逆元，就是a在G中的逆元DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学举例已知<I,+>为整数加群，I0为全体偶数组成的集合。显然，则<I0,+>是<I,+>的真子群。解：(1)I0I且I0≠φ(2)

因为任何两个偶数之和还是偶数，故运算+对集合I0封闭。这说明<I0,+>是<I,+>的子系统。(3)I0中对运算+具有幺元0（0也是I中的幺元）(4)I0中的每个元素均可逆。即I0中对任意的一个偶数2n,都有-2n，使得：

2n+(-2n)=(-2n)+2n=0(幺元)，即(2n)-1=-2n。得证DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学子群的判定条件定理1：一个群<G，*>的非空子集H构成G的子群的充要条件是(1)a,bHa*bH（封闭性）(2)aHa-1H（可逆性）DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学证明：充分性1)封闭性、可逆性<H,*>是

<G,*>的子群子群HG且H≠Φ*对H封闭可逆性只需证明H中存在幺元e已知已知已知由(2)可逆性aHa-1H由(1)封闭性a*a-1HeHDALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学证明：必要性2)<H,*>是

<G,*>的子群封闭性、可逆性ⅰ)封闭性<H,*>是

<G,*>的子群由群的定义知

运算*在H上封闭所以(1)式成立DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学证明：必要性（续）ⅱ)

可逆性设e是群<G,*>中的幺元，a的逆元是a-1①<H,*>中的幺元就是<G,*>的幺元因为<H,*>是

<G,*>的子群<H,*>中必有幺元e′对于任意的aHe

*a=ae*a=ae*a=e*a消去律e′=eHDALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学证明：必要性（续）<G,*>中a的逆元是a-1②<H,*>中a的逆元就是<G,*>中a的逆元<H,*>是子群对于任意的aH,必存在逆元aa*a=ea-1

*a=ea*a=a-1

*a消去律a

=a-1H

DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学子群的判定条件定理2：设H是群<G，*>的非空子集，则<H,*>是<G，*>的子群的充要条件是：对任意的a,bH，则a*b-1HDALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学证明:必要性1)<H,*>是<G,*>的子群若a,bH，则a*b-1H∵

<H,*>是<G,*>的子群对任意的a,bHb-1Ha*b-1H可逆性封闭性a,b-1H再由DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学证明:充分性①封闭性对任意的a,bH由条件可知a,b-1H由a,bHa*b-1Ha*(b-1)-1Ha*bH*运算在H上封闭2)若a,bH，则a*b-1H<H,*>是<G,*>的子群DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学证明:充分性若a,bH，则a*b-1H②H中有幺元对任意的aH由a,bHa*b-1H；a*a-1HeHH中存在幺元对任意的aHe*a-1Ha-1HH中每个元素均可逆<H,*>是<G,*>的子群③可逆性a,aHe,aH由a,bHa*b-1H；DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学子群举例例1：求出<Z6，+6>的所有子群DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学解答e=[0][1]-1=[5],[5]-1=[1][2]-1=[4],[4]-1=[2][3]-1=[3],[0]-1=[0](1)<{[0]},+6>(平凡子群)(2)<{[0],[3]},+6>,(3)<{[0],[2],[4]},+6>(4)<Z6，+6>(平凡子群)DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学子群举例例2：设<G,*>是群，令C={a|

a

G，a*x=x*a,xG

}

证明：<C,*>是<G,*>的子群。证：（1）封闭性任取a,bC,[来证a*bC]，则对任意的xG有:

a*x=x*a,b*x=x*b

(a*b)*x=a*(b*x)=a*(x*b)=(a*x)*b=(x*a)*b(*可结合)=x*(a*b)

故a*bC加：CG且C≠ΦDALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学子群举例（2）C中有幺元对任意的xG，∵

e*x=x*e,∴

eC即C≠φ

（3）可逆性

任取aC,[来证a-1C]

则对任意的xG有：

a*x=x*aa-1*(a*x)*a-1=a-1*(x*a)*a-1

(a-1*a)*(x*a-1)=(a-1*x)*(a*a-1)

e*(x*a-1)=(a-1*x)*e

x*a-1=a-1*x故a-1CDALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学拉格朗日定理设<G,*>是含n个元素的有限群，H为G的含有m个元素的子群，则必有m|nm是n的因子或m整除n结论：子群的阶必整除群的阶。DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学推论任何素数阶的群不可能有非平凡子群。DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学三、格—(略)1、偏序格2、格的性质3、特殊格DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学1、偏序格<L,≤>:偏序集对于任意的a,bL{a,b}都有上确界和下确界偏序格a⊕b=LUB{a,b}a*b=GLB{a,b}保联运算(上确界)保交运算(下确界)<L,*,⊕>a⊕b表示上确界，a*b表示下确界DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学偏序格举例S={a,b,c}

问偏序集<ρ(s),>是偏序格吗？DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学解答ρ(s)＝{φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}对任意的S1,S2ρ(s)GLB{S1,S2}=a*b(下确界)=S1∩S2LUB{S1,S2}=a⊕b(上确界)=S1∪S2∴偏序集<ρ(s),>是偏序格DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学偏序格举例n:正整数Sn:n的所有因子的集合≤:定义在Sn上的整除关系，问：(1)<S6,≤>(2)<S8,≤>(3)<S24,≤>(4)<S30,≤>是否为偏序格？DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学解答（1）S6={1,2,3,6}<S6,≤>是偏序格。对于任意的a,bS6a*b=a和b的最大公约数；

a⊕b=a和b的最小公倍数；DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学解答（2）S8={1,2,4,8}<S8,≤>是偏序格。DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学解答（3）S24={1,2,3,4,6,8,12,24}<S24,≤>是偏序格。DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学解答（4）S30={1,2,3,5,6,10,15,30}<S30,≤>是偏序格。DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学偏序格举例判断以下的偏序集是否构成偏序格？DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学解答（1）对于子集{b,d}：上界有两个：c,e而c,e没有偏序关系子集{b,d}没有上确界不是偏序格DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学解答（2）对于子集{b,c}：上界有三个：d,e,f而d,e没有偏序关系子集{b,c}没有上确界不是偏序格DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学2、格的性质（1）等幂律（2）交换律（3）结合律（4）吸收律DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学（1）等幂律<L,*,⊕>:格任意的a,bL,均有：

a*a=aa⊕a=aDALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学（2）交换律<L,*,⊕>:格任意的a,bL,均有：

a*b=b*aa⊕b=b⊕aDALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学（3）结合律<L,*,⊕>:格任意的a,b,cL,均有：

(a*b)*c=a*(b*c)(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c)DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学（4）吸收律<L,*,⊕>:格任意的a,bL,均有：

a*(a⊕b)=aa⊕(a*b)=aDALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学3、特殊格（1）有界格（2）有补格（3）分配格DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学*和⊕运算的一般定义对L的一个无穷子集，结论不一定成立<L,*,⊕>格S={a1,a2,…,an}是

L的一个有限子集S的上确界和下确界均存在LUB(S)=a1*a2*…*anGLB(S)=a1⊕a2⊕…⊕anDALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学（1）有界格有限格是有界格<L,*,⊕>:格L有最大元素和最小元素有界格有界格的界最大元素:1最小元素:0<L,*,⊕,0,1>DALIANMARITIMEUNIVERSITY大连海事大学有界格的性质<L,*,⊕,0,1>:有界格对于任意的aL：

0≤a≤1a⊕0=a