2020年高考数学人教B版典例透析能力提升必修2课件：222-直线方程的几种形式

2.2.2直线方程的几种形式2.2.2直线方程的几种形式1.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式及一般式),尤其要掌握点斜式、斜截式和一般式.2.理解直线与二元一次方程的对应关系.1.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式121.直线方程的几种形式

121.直线方程的几种形式121212【做一做1-1】

直线kx-y+1=3k,当k变化时,所有直线都通过定点(

)A.(0,0) B.(0,1) C.(3,1) D.(2,1)解析：直线方程可化为y-1=k(x-3),由点斜式知该直线必过定点(3,1).答案：C12【做一做1-1】直线kx-y+1=3k,当k变化时,所12【做一做1-2】

集合A={x|x为直线的斜截式方程},B={x|x为一次函数的解析式},则集合A,B间的关系为

(

)A.A⊆B B.B⫋A C.B=A D.A⫋B答案：B12【做一做1-2】集合A={x|x为直线的斜截式方程},12【做一做1-3】

若ac<0,bc>0,那么直线ax+by+c=0必不过(

)A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限12【做一做1-3】若ac<0,bc>0,那么直线ax+b1212122.几种特殊直线的方程直线方程都是关于x,y的一次方程,关于x,y的一次方程都表示直线,选用点斜式、斜截式、两点式求直线方程时,要考虑特殊情况下的直线方程(坐标轴所在直线或垂直于坐标轴的直线或经过原点的直线).过点(a,b)且平行于x轴的直线方程为y=b.过点(a,b)且平行于y轴的直线方程为x=a(平行于y轴的直线的斜率不存在).x轴的方程是y=0.y轴的方程是x=0(y轴的斜率不存在).122.几种特殊直线的方程12【做一做2-1】

若关于x,y的方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则实数m满足(

)解析：由2m2+m-3=0得m=1或m=;由m2-m=0得m=0或m=1,因此要使2m2+m-3和m2-m不同时为0,只需m≠1即可.答案：C12【做一做2-1】若关于x,y的方程(2m2+m-3)x12【做一做2-2】

已知直线过点(1,1),则(1)垂直于x轴的直线方程为

;

(2)垂直于y轴的直线方程为

;

(3)截距相等的直线方程为

.

答案：(1)x=1

(2)y=1

(3)y=x或y=-x+212【做一做2-2】已知直线过点(1,1),则12341.直线的一般式方程与四种特殊形式之间的转化剖析：直线方程各种形式之间的转化关系如下.12341.直线的一般式方程与四种特殊形式之间的转化12342.直线方程的几种形式的选择技巧剖析：(1)直线方程的几种特殊形式都有其使用的局限性,如对于点斜式和斜截式,要求直线的斜率存在,因此,如果选用点斜式或斜截式,应考虑斜率不存在的情况.对于两点式,它不能表示平行或重合于坐标轴的直线.截距式除了不能表示平行或重合于坐标轴的直线外,还不能表示过原点的直线.那么,如何根据题设条件灵活选取直线方程的形式来求直线方程呢?一般地,已知一点通常选择点斜式;已知斜率选择斜截式或点斜式;已知截距或两点选择截距式或两点式.另外,从所求的问题来看,若求直线与坐标轴围成的三角形的面积或周长,则应选用截距式.12342.直线方程的几种形式的选择技巧1234(2)待定系数法是求直线方程最基本、最常用的方法,但要注意选择直线方程的形式.一般地,已知一点就待定斜率k,但应注意讨论当斜率k不存在时的情形;如果是已知斜率k,一般选择斜截式,待定纵截距b;如果是已知直线与坐标轴围成的三角形的问题就选择截距式,待定横截距和纵截距.一般来说,几个系数待定就应列出几个方程.有的题目中要求的直线方程可以同时选用几种形式,但选择的形式不同,导致的运算繁简程度就不同.1234(2)待定系数法是求直线方程最基本、最常用的方法,但12343.教材中的“?”函数y=kx+b与方程y=kx+b,这两种说法的含义相同吗?剖析：不相同,当k≠0时,函数y=kx+b是一次函数,方程y=kx+b表示斜率不为0的直线;当k=0(b≠0)时,函数y=kx+b是常数函数,方程y=kx+b表示一条平行于x轴的直线.12343.教材中的“?”12344.教材中的“思考与讨论”已知两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,求直线AB的方程.名师点拨

把两点式方程化为整式(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),就可以用它来求过平面上任意两点的直线方程.12344.教材中的“思考与讨论”名师点拨把两点式方程化为题型一题型二题型三题型四题型五直线方程的点斜式

【例1】

求下列直线的方程:(1)过点P(-4,3),斜率k=-2;(2)过点P(2,-5),且与x轴平行;(3)过点P(3,-1),且与y轴平行.分析：利用直线方程的点斜式及特殊位置的直线表示形式解答.解(1)直线过点P(-4,3),斜率k=-2,由点斜式得y-3=-2(x+4),整理得所求方程为2x+y+5=0.(2)直线过点P(2,-5),且与x轴平行时,斜率k=0,故所求直线方程为y+5=0(x-2),即y=-5.(3)直线与y轴平行,说明斜率不存在,又因为直线过点P(3,-1),所以直线的方程为x=3.题型一题型二题型三题型四题型五直线方程的点斜式【例1】求题型一题型二题型三题型四题型五反思

由点斜式方程可知确定直线方程需要一个点和斜率两个条件,对于斜率为0和斜率不存在的情况要区别对待.题型一题型二题型三题型四题型五反思由点斜式方程可知确定直线题型一题型二题型三题型四题型五(2)经过点(10,3),且平行于x轴的直线方程为

;

(3)若直线l的方程为y=-2(x+1)-1,则该直线的斜率为

;

(4)若直线方程为y-2=k(x+3),则该直线必经过定点P,且点P坐标为

.

题型一题型二题型三题型四题型五(2)经过点(10,3),且平题型一题型二题型三题型四题型五(2)由直线与x轴平行,得直线的斜率k=0.故所求直线的方程为y=3.(3)直线方程可化为y+1=-2(x+1),它表示经过点(-1,-1),斜率为-2的直线,即直线斜率为-2.(4)直线方程为y-2=k(x+3),它表示经过点(-3,2),斜率为k的直线,因此直线经过的定点P的坐标为(-3,2).题型一题型二题型三题型四题型五(2)由直线与x轴平行,得直线题型一题型二题型三题型四题型五直线方程的斜截式

题型一题型二题型三题型四题型五直线方程的斜截式题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五反思

根据直线的方程判断直线在直角坐标平面中的位置时,通常把直线转化成斜截式的形式,利用斜率和截距的几何意义作出判断.若直线l的方程是y=kx+b,则有(1)k>0,b>0⇔l过第一、二、三象限;(2)k>0,b=0⇔l仅过第一、三象限;(3)k>0,b<0⇔l过第一、三、四象限;(4)k<0,b>0⇔l过第一、二、四象限;(5)k<0,b=0⇔l仅过第二、四象限;(6)k<0,b<0⇔l过第二、三、四象限;(7)k=0,b>0⇔l仅过第一、二象限;(8)k=0,b=0⇔l为x轴,不过任何象限;(9)k=0,b<0⇔l仅过第三、四象限.题型一题型二题型三题型四题型五反思根据直线的方程判断直线在题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练2】

(1)与x轴平行且在y轴上的截距为

的直线的方程为

.

(2)若直线y=kx+b经过第一、三、四象限,则直线y=bx-k经过第

象限.

解析：(1)与x轴平行时,直线斜率为0,因此由斜截式得直线方程为y=.(2)因为y=kx+b经过第一、三、四象限,所以k>0,b<0,因此在直线y=bx-k中,b<0,-k<0,所以它经过第二、三、四象限.答案：(1)y=(2)二、三、四

题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练2】(1)与x轴平题型一题型二题型三题型四题型五直线方程的两点式

【例3】

三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求这个三角形的三条边所在直线的方程.分析：由于每一条边上的两个点(顶点)已知,故可直接用两点式求解;或由两点可求出每条边所在直线的斜率,故可选择一个点(两顶点中的一个),利用点斜式求该边所在直线的方程.题型一题型二题型三题型四题型五直线方程的两点式【例3】三题型一题型二题型三题型四题型五反思

1.由已知直线上的两点来确定直线方程时可用两点式,但要注意判断是否满足两点式的适用条件,不满足时,可直接写出直线方程;2.一定要注意两点式的对称性(x1≠x2,y1≠y2).题型一题型二题型三题型四题型五反思1.由已知直线上的两点来题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练3】

求满足下列条件的直线的方程:(1)经过点A(0,3),B(2,1);(2)经过点M(3,-1),N(3,2);(3)经过点P(2,-2),Q(3,-2);(4)经过点C(-2,-3),D(-5,-6).题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练3】求满足下列条件题型一题型二题型三题型四题型五直线方程的一般式

【例4】

设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.分析：(1)从截距的定义入手,因方程中含有变量a,故需要对截距进行分类讨论.问题(2)中涉及直线在坐标系中的位置问题,可将方程转化为斜截式,从斜率和截距两方面进行综合考虑.题型一题型二题型三题型四题型五直线方程的一般式【例4】设题型一题型二题型三题型四题型五解(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为零,当然相等.所以a=2,方程即为3x+y=0.当a≠2时,截距存在且均不为0,所以a=0,方程即为x+y+2=0.(2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,所以a≤-1.综上,a的取值范围是a≤-1.题型一题型二题型三题型四题型五解(1)当直线过原点时,该直线题型一题型二题型三题型四题型五反思

对于与截距有关的问题,一定要注意截距为0的特殊情况,再者对直线方程的一般式往往根据需要将其转化为点斜式、斜截式等.题型一题型二题型三题型四题型五反思对于与截距有关的问题,一题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练4】

已知直线l的斜率为2,且与x轴、y轴围成的三角形的面积为36,求此时直线与x轴、y轴围成的三角形的周长.分析：已知斜率,且与坐标轴上的截距有关,因此可设斜截式y=2x+b,利用直线l和x轴、y轴围成的三角形的面积为36,求出直线l的方程,然后再求三角形的周长.解由于直线l的斜率为2,则设l的方程为y=2x+b.即b=±12,因此,l的方程为y=2x+12或y=2x-12.当b=12时,l在x轴、y轴上的截距分别为-6,12;当b=-12时,l在x轴、y轴上的截距分别为6,-12.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练4】已知直线l的斜题型一题型二题型三题型四题型五易错辨析

易错点:忽视截距式方程适用的条件致错【例5】

求经过点P(2,3),并且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程.题型一题型二题型三题型四题型五易错辨析易错点:忽视截距式方题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五【例6】

求过点M(m,0)和点N(2,1)的直线的方程.错解:由两点式直线方程得

,整理得x+(m-2)y-m=0.错因分析：没有分类讨论,而忽视了两点式方程的适用条件为x1≠x2,且y1≠y2,因题中已知条件含参数,故应分类讨论.题型一题型二题型三题型四题型五【例6】求过点M(m,0)和题型一题型二题型三题型四题型五正解:(1)当m=2时,过点M(m,0)和点N(2,1)的直线斜率不存在,其方程为x=2.因为直线过点N(2,1),即x+(m-2)y-m=0.因为当m=2时,上述方程也就是x-2=0,即x=2,故所求直线方程为x+(m-2)y-m=0.题型一题型二题型三题型四题型五正解:(1)当m=2时,过