人教版高中数学选修41-数学归纳法课件

数学归纳法证明不等式选修4-5数学归纳法证明不等式选修4-5

：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法结论一定可靠结论不一定可靠考察全体对象,得到一般结论的推理方法考察部分对象,得到一般结论的推理方法归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理2.3数学归纳法(1)2.3数学归纳法(1)多米诺骨牌课件演示

多人教版高中数学选修41-数学归纳法课件“多米诺骨牌”全部倒下的原理使“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件：⑴第一块骨牌倒下；⑵任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．两个条件的作用：

条件⑴：奠基；条件⑵：递推关系利用“多米诺骨牌”原理证明这个数学猜想（经历利用合情推理提出猜想逻辑推理进行证明）“多米诺骨牌”全部倒下的原理二、数学归纳法的概念证明某些与自然数有关的数学命题,可用下列方法来证明它们的正确性:(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,(2)假设当n=k(kN*

，kn0)时命题成立,

证明当n=k+1时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。验证n=n0时命题成立若当n=k(kn0)时命题成立,

证明当n=k+1时命题也成立命题对从n0开始的所有正整数n都成立。二、数学归纳法的概念证明某些与自然数有关的数学命题,可用下列数学归纳法的原理：⑴（归纳奠基）：命题对n=n0成立(n0为使猜想成立的最小的正整数)；⑵（归纳递推）：命题若对n=k成立，则对k＋1也成立（k≥n0）．普遍存在的问题：

为什么第二步能在假设下进行证明？

第二步实际上是证明一个命题：“假设n=k（k≥n0）时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立．”

其本质是证明一个递推关系，归纳递推的作用是从前往后传递.

人教版高中数学选修41-数学归纳法课件框图表示框图表示如下证明对吗？第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明.想一想证明:①当n=1时,左边＝1，右边＝12＝1∴n=1时,命题成立.②设n=k时,有即n=k+1时，命题成立.根据①②问可知，对n∈N*，等式成立.证明:1+3+5+…+(2n1)=n2.如下证明对吗？第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明1：用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n1)=n2

证明:(1)当n=1时左＝1，右＝12＝1∴n=1时，等式成立(2)假设n=k(k∈N*,k≥1)时，等式成立，即1+3+5+…+(2k1)=k2

那么，当n=k+1时左＝1+3+5+…+(2k1)＋[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1时命题成立由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立递推基础递推依据1：用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n1)=n2递推2.用数学归纳法证明

【分析】(1)第一步应做什么?本题的n0应取多少?n0=1,（2）在证传递性时，假设什么？求证什么?假设1+3+5+…..+（2k-1）=k2求证1+3+5十….十(2k-1)十(2k+1)=(k+1)2（3）怎样将假设1+3+5+…..+（2k-1）=k2推理变形为1+3+5十….十(2k-1)十(2k+1)=(k+1)22.用数学归纳法证明【分析】(1)第一步应做什么?本题的课堂练习CB课堂练习CB用数学归纳法证明等式问题？用数学归纳法证明等式问题？用数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明整除问题数学归纳法证题的关键是“一凑假设，二凑结论”，在证题的过程中，归纳假设一定要起到条件的作用，即证明n=k+1成立时必须用到归纳假设这一条件.特别提示:数学归纳法证题的关键是“一凑假设，二凑结论”，在证题的过程中人教版高中数学选修41-数学归纳法课件用数学归纳法证明几何问题特别提示:用数学归纳法证几何问题，应特别注意语言叙述正确，清楚，一定要讲清从n=k到n=k+1时，新增加量是多少.一般地，证明第二步常用的方法是加一法，即在原来的基础上，再增加一个，也可以从k+1个中分出一个来，剩下的k个利用假设.用数学归纳法证明几何问题特别提示:平面内有n(n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：它们的交点的个数为f(n)＝.证明：(1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)＝×2×(2－1)＝1，因此，当n＝2时，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，就是说，平面内满足题设的任何k条直线的交点的个数f(k)＝k(k－1)．现在来考虑平面内有k＋1条直线的情况．任取其中的一条直线，记为l(如下图所示)．由上述归纳法的假设，除l以外的其他k条直线的交点个数为f(k)＝k(k－1)．平面内有n(n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过另外，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的k·(k－1)个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是k(k－1)＋k＝k[(k－1)＋2]＝(k＋1)[(k＋1)－1]．这就是说，当n＝k＋1时，k＋1条直线的交点个数为f(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－1]．根据(1)、(2)可知命题对任何大于2的正整数都成立．另外，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k证明①当n=1时，左边＝1＝右边,等式显然成立。2

证明：递推基础递推依据②假设当n=k时等式成立，即那么,当n=k+1时，有这就是说，当n=k+1时,等式也成立。根据①和②，可知对任何nN*等式都成立。证明①当n=1时，左边＝1＝右边,等式显然成立。2证4．用数学归纳法证明：当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除．证明：(1)当n＝1时，x＋y能被x＋y整除．(2)假设n＝2k－1时，x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，当n＝2k＋1时，x2k＋1＋y2k＋1＝x2k＋1＋y2k＋1＋x2y2k－1－x2y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)－y2k－1(x＋y)(x－y)，根据归纳假设x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，另一项有因式x＋y，因此也能被x＋y整除，所以，当n＝2k＋1时，命题仍然成立．根据(1)(2)可知当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除.4．用数学归纳法证明：[通一类]4．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除．证明：(1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36，能被9整除，命题成立．(2)假设n＝k时，命题成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2·3＋3k·32＋33＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋9(k2＋3k＋3)．由归纳假设，上式中k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，又9(k2＋3k＋3)也能被9整除．故n＝k＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N*命题成立.[通一类]4．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整人教版高中数学选修41-数学归纳法课件人教版高中数学选修41-数学归纳法课件人教版高中数学选修41-数学归纳法课件人教版高中数学选修41-数学归纳法课件补充练习补充练习人教版高中数学选修41-数学归纳法课件1．数学归纳法的概念当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：

(1)证明当

时命题成立；

(2)假设当

时命题成立，证明