北师大版-八年级数学下册-第五章-分式与分式方程-单元教案课件合集(含小结与复习)

5.1认识分式第五章分式与分式方程情景引入合作探究课堂小结随堂训练

第1课时分式的有关概念情景１：新华网北京2月6日电(记者张宗堂)截至6日，全国民间援助印度洋海啸灾区捐款资金近5亿元，其中，中国红十字总会及各地红十字会(简称红十字会)接受捐款2.6亿元，中华慈善总会及各地慈善会(简称慈善会)接受捐款近2.4亿元。情景引入思考并回答:1、截至2月6日,红十字会接受捐款占了全国民间捐款总额的多少?现在我国人口近13亿,平均每人捐了多少?假设中国有a亿人口,那么平均每人又捐了多少?2、2月6日后,捐款还在不断的增多,假设到2月份底,中国红十字总会及各地红十字会接受捐款x亿元,中华慈善总会及各地慈善会接受捐款y亿元,问红十字会捐款占捐款总额的多少?慈善会呢?情景２：“中国沙化土地达174万平方公里，占国土面积的18.2%，沙化面积每年仍以3436平方公里的速度扩展”。

面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成原计划任务。原计划每月固沙造林多少公顷？如果设原计划每月固沙造林x公顷，2、原计划完成的时间—实际完成的时间=4个月1、实际每月固沙造林的面积=x+30公顷这一问题中有哪些等量关系？3、如果设原计划每月固沙造林x公顷，那么

原计划完成一期工程需要_______个月，

实际完成一期工程用了________个月。根据题意，可得方程______________.

请将刚才得到的几个代数式按照你认为的共同特征进行分类，并将同一类移入一个圈内（圈的个数自己选定,若不够可再画），并说明理由。

合作探究

被除数除数34

被除数÷除数=（商数）整数整数分数3÷4=

被除式除式ta-x被除式÷除式

=（商式）整式整式分式t÷(a-x)=类比分式的概念:

用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成

形式。如果B中含有字母，式子

就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

分式的特征是:①分子、分母是

；②分母中含有

。字母都整式探索与发现（求代数式的值）x…-2-1012…………………xx-2x-14x+1xx+1-10-100-1-1-1无意义无意义思考：1、第2个分式在什么情况下无意义？2、这三个分式在什么情况下有意义？3、这三个分式在什么情况下值为零？谈一谈这一节课的收获和体会。①分子分母都是整式②分母中必含有字母分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义当分子为零且分母不为零时，分式值为零。分式的概念课堂小结1、归纳：对于分式（1）分式无意义的条件是

。（2）分式有意义的条件是

。（3）分式的值为零的条件是

。B=0B≠0B≠0且A=0随堂训练2、当a=1，2时，分别求分式

的值。a+12a3、a取何值时，分式

有意义？a+12a变式训练：（1）当a取什么值时，分式有意义。(2)当y是什么值时，分式的值是0？(3)当y是什么值时，分式的值是0？4、一个分子为x－5的分式，且知它在x≠1时有意义。你能写出一个符合上面条件的分式吗？试试看。5、把甲、乙两种饮料按质量比x：y混合在一起，可以调制成一种混合饮料。调制1千克这种混合饮料需多少甲种饮料？5.1认识分式第五章分式与分式方程情景引入合作探究随堂训练课后作业

第2课时分式的基本性质分数的基本性质

分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于零的数，分数的值不变.

把3个苹果平均分给6个小朋友，每个小朋友得到几个苹果？情景引入

类比分数的基本性质，你能得到分式的基本性质吗？说说看！合作探究类比分数的基本性质，得到：分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.例

1.下列等式的右边是怎样从左边得到的？

为什么出?(1)(2)为什么本题未给?(2)

由,

知解:

(1)由知1.填空:．练习2.若把分式的和都扩大两倍,则分式的值()

A．扩大两倍B．不变

C．缩小两倍D．缩小四倍3.若把分式中的和都扩大3倍,那么分式的值().

A．扩大3倍B．扩大9倍

C．扩大4倍D．不变BA

例

2.不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“－”号⑴⑵⑶例3.填空，使等式成立.⑴

⑵（其中x+y≠0）你是怎么想的？1.下列各组中分式，能否由第一式变形为第二式？

与(2)与练习

例4

不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数.⑴

⑵(3)例5.不改变分式的值，使下列各式的分子与分母中的多项式按

的降幂排列,且首项的系数是正数.解：1.不改变分式的值,把下列各式的分子与分母都不含“－”号.(1)(3)(2)(4)随堂训练2．下列各式成立的是（）（A）(B)(C)(D)D3.不改变分式的值将下列各式中的系数都化成整数.

4.不改变分式的值，使下列各式的分子与分母的最高次项系数是正数.⑴⑵⑶见《学练优》本课时练习课后作业5.2分式的乘除法第五章分式与分式方程复习导入合作探究课堂小结随堂训练1:一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器的水占容积的时,求水的高为

。2:大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕地b公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的

倍。怎样将上面两式化简？如何进行分式乘法、除法的计算？复习导入做一做1.2.=合作探究用字母表示：

两个分数相乘,把分子相乘的积作为积的分子,分母相乘的积作为积的分母.

两个分数相除,把除数的分子分母颠倒位置后,再与被除数相乘.【分数的乘除法法则

】类似地得到分式乘除法则：u≠0

分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母，分别作为积的分子、分母，然后约去分子与分母的公因式．

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．除法转化为乘法计算(1).x2-12x4x2x+1∙解x2-12x4x2x+1∙(x2-1)2x4x2(x+1)=∙∙(x+1)(x-1)2x4x2(x+1)=∙∙x-12x=举例(2).x2+2x+18x26xx+1÷解x2+2x+18x26xx+1÷∙(x+1)28x26xx+1=∙∙(x+1)28x26x(x+1)=3x+34x=

从例题中看到，有时需要把分子或分母中的某些多项因式分解，然后约分，化成最简分式.

“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克。（1）哪种小麦的单位面积产量高？（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？解（1）

∵0＜（a－1）2＜a

2－1

∴

“丰收2号”单位面积产量高。

（2）∴“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的倍。分式的乘除法法则注意：分式乘除运算时，有时要把分子或分母中的某些多项式因式分解，然后约去，化成最简分式。课堂小结1、下面的计算对吗？如果不对，应该怎样改正？（1）(2).随堂训练A．x≠3且x≠-2B．x≠3且x≠4C．x≠3且x≠-3D．x≠-2且x≠3且x≠43、计算：=

.D5.3分式的加减法第五章分式与分式方程复习导入合作探究课堂小结随堂训练

第1课时同分母分式的加减

大约公元前250年前后，希腊数学家丢番图在研究了一个数学问题时，解出了两个数：，欲知丢番图在研究什么问题，请你计算 等于多少．观察复习导入

现在你能看出丢番图在研究什么数学问题吗？注意16＝42.由此看出，丢番图是在研究把42表示成两个数的平方和，即42=x2+y2，他在寻找x和y，写出了一组解：，还有其它的解吗？有兴趣的同学可以在课余时间进行探索．同分母分数相加，分母不变，分子相加减类比探索，掌握规律.想一想：1474+=2737+=-17同分母分数相加，分母不变，把分子相加.你认为:a1a2+怎么计算？合作探究猜一猜：同分母的分式应该如何加减？同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．即计算：1、解举例x2-2xy+y2x2x2-2xy+y2y2-2、解：原式注意:把分子相加减后，要进行因式分解，通过约分，把所得结果化成最简分式．.计算原式=分数线有括号的作用分母不变分子相加减合并整理能约分的药约分同分母分式的加减法法则同分母分式相加减，分子相加减分母不变结果要化简，能约分的要约分注意同分母分式加减的基本步骤：1.分母不变，把分子相加减.（1）如果分式的分子是多项式，一定要加上括号；（2）如果是分子式单项式，可以不加括号.2.分子相加减时，应先去括号，再合并同类项；3.最后的结果，应化为最简分式或者整式.课堂小结计算(1).x1x3-(2).acab+(3).m-3m1-(4).a12a3+-a15(5).x-13-x-12(6).x-yy-x-yx(7).2x-y3x-2x-yx+y(8).x-ya-y-xa随堂训练2、填空(1).x-2x2-x-24=

+(2).x+1x+2-x+1x-1x+1x-3=5.3分式的加减法第五章分式与分式方程复习导入合作探究课堂小结随堂训练第2课时异分母分式的加减最小公倍数：4×3×2=24解：原式=计算1284235×212×2—8×31×3思考：这种运算属于分数的哪种运算？分数的变形是何种变形？怎样变形？

通分复习导入探究怎样计算

比较简便？使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把它们化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分合作探究1.观察下列式子，到底是多少呢？解：最简公分母是：

通分异分母分式怎么通分呢？关键是找最简公分母最简公分母由哪些元素组成？解：最简公分母是应用举例通分:解：最简公分母是(x-5)(x+5)例2

通分

，，(1)5x2x+141-2x2x4x2-1，，(2)16x-4y14y-6x3x4y2-9x2公分母是：(2x+1)(2x-1)-2(3x-2y)(3x+2y)方法归纳1、通分要先确定分式的最简公分母。2、怎样找公分母？找最简公分母应从方面考虑？第一要看系数；第二要看字母(式子）分母是多项式的先因式分解，再找公分母。2、确定最简公分母的一般步骤

（1）找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最小公倍数。（2）找字母：凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都要选取。1、把各分式化成相同分母的分式叫做分式的通分.课堂小结（3）找指数：取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数最大的。（4）当分母是多项时，应先将各分母分解因式，再确定最简公分母。（5）分母的系数若是负数时，应利用符号法则，把负号提取到分式前面。（6）通分后，完成计算。3.三个分式的最简公分母是

；

2.分式的最简公分母是_______.C1.三个分式的最简公分母是（）B.C.D.A.4xy3y212xy212x2y22x(x-1)(x+1)x(x-1)(x+1)随堂训练4、计算bd2c4b23ac+

(1)(2)2xy(x+y)2xx2-y2-(3)23a-9a-1a2-9+(4)14x-2x21x2-1-5.4分式方程第五章分式与分式方程情景引入合作探究课堂小结课后作业

第1课时分式方程的概念及列分式方程

据联合国《2003年全球投资报告》指出，中国2002年吸收外国投资额达530亿美元，居全球第二位，比上一年增加了13%。设2001年我国吸收外国投资额为x亿美元，请你写出x满足的方程。你能写出几个？其中哪一个是分式方程？情景引入xx+3000900015000480600＝452xx48005000x+20x上面所得到的方程有什么共同特点？分母中含有未知数的方程叫做分式方程480600＝x-45x2•合作探究

有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg和15000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，分别求这两块试验田每公顷的产量。(根据题意,列出方程)探究“农业生产”问题每公顷的产量=总产量土地面积第一块试验田每公顷的产量+3000kg=第二块试验田每公顷的产量第一块试验田的面积=第二块试验田的面积总产量（千克）每公顷的产量(千克)土地面积（公顷）第一块试验田(原品种)第二块试验田(新品种)基本量对象二维数量表：

从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600km的普通公路，另一条是全长480km的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半.探究“交通运输”问题路程（千米）时间（小时）速度（千米/小时）普通公路高速公路基本量对象二维数量表:客车在普通公路上行驶的平均速度×客车由普通公路从甲地到乙地的时间=600km客车在高速公路上行驶的平均速度×客车由高速公路从甲地到乙地的时间=480km客车在高速公路上行驶的平均速度－客车在普通公路上行驶的平均速度=45km/h由高速公路从甲地到乙地的时间×

2

＝由普通公路从甲地到乙地的时间等量关系:

为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等。如果设第一次捐款人数为x人，那么x应满足怎样的方程？探究“救济捐款”问题捐款总额（元）捐款人数(人)人均捐款（元）第一次捐款第二次捐款基本量对象二维数量表：xX+20500048004800x5000X+20你找到等量关系了吗？什么是分式方程？分式方程是刻划现实生活的又一数学模型.要注意掌握列方程的最基本的思维步骤.课堂小结列方程的基本思维步骤:一审:审清题意,弄清已知量与未知量之间的数量关系和相等关系.二设:设未知数.三列:列代数式,列方程.见《学练优》本课时练习课后作业5.4分式方程第五章分式与分式方程复习导入合作探究课堂小结随堂训练第2课时分式方程的解法同学们你认识下面的方程吗?会对它们求解吗?3x－2y=62x+y=8复习导入例1解方程解:方程两边都乘以x(x–2),得:

x=3(x–2)

解这个方程,得:x=3

检验:将x=3代入原方程,得:

左边=1=右边.

所以:x=3是原方程的根.解分式的关键：把分式方程化为整式方程。合作探究

解分式方程.解：方程两边乘以x(x+1)，得；

解这个方程，得：

x=-2

检验：将x=-2代入原方程，得：左边=-1=右边所以，x=-2是原方程的根。2(x+1)=x

把分式方程化成整式方程的关键：给两边都乘以最简公分母，约去分母。议一议：下面哪种解法正确？例2：解方程

解法一：将原方程变形为方程两边都乘以

,得：

解这个方程，得：解法二：将原方程变形为

方程两边都乘以

,得：解这个方程，得：；。你认为x=3是原方程的根？与同伴交流。注：给方程两边各项都乘以最简公分母。

在这里，x=3不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我们称它为原方程的增根。产生增根的原因是，我们在方程两边同乘了一个可能使分母为零的整式。

注意：因此解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验。验根的三种方法：(1)把解直接代入原方程进行检验；（2）把解代入每个分式的分母，看分母的值是否等于零，若有等于零的分母，即为增根。(3)把解代入分式的最简公分母，看最简公分母的值是否等于零，若等于零，即为增根。

你如何解方程做一做。

解方程

解：方程两边都乘以,得：

解这个方程，得：

检验：将x=5代入原方程，方程的分母为零.

所以，x=5是方程的增根，原方程无实根。

想一想：解分式方程需要哪几个步骤？(1)在方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根;(4)说明根的情况.1、解分式方程的基本思路是？2、解分式方程有哪几个步骤？3、什么是方程的增根？4、验根有哪几种方法？课堂小结

解方程：(x=4)(x=3,增根)(x=1)随堂训练5.4分式方程第五章分式与分式方程情景导入合作探究课堂小结随堂训练

第3课时分式方程的应用出租某单位将沿街的一部分房屋出租,每间房屋的租金第二年比第一年多500元,所有房屋的租金第一年为9.6万元,第二年为10.2万元.⑴你能找出这一情境中的等量关系吗?⑵根据这一情境你能提出哪些问题?情景引入⑵根据这一情境你能提出哪些问题?⑴你能找出这一情境中的等量关系吗?等量关系:①第二年每间房屋的租金-第一年每间房屋的租金=500②第一年出租的房屋数=第二年出租的房屋数①每年有多少间房屋出租?②这两年每间房屋的租金各是多少?合作探究解:①设每年有x

间房屋出租.

根据题意,得解决提出的问提解得

x=12经检验:x=12

是原方程的解,也符合提意.所以每年有12间房屋出租②:由①得第一年每间房屋的租金为﹙元﹚第二年每间房屋的租金为﹙元﹚答:……解:设第一年每间房屋的租金为x元,则第二年每间房屋的租金为(x+500)元.根据题意,得解得

x=8000则x+500=8500经检验:x=8000是原方程的解,也符合题意.

所以,这两年每间房屋的租金分别是8000元,8500元.答:……例.某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每吨水费上涨1/3,小丽家去年12月的水费是15元,今年7月的水费是30元.已知今年7月的用水量比去年12月的用水量多5m3,求该市今年居民用水的价格?等量关系?主要等量关系:①今年7月份用水量-去年12月份用水量=5m3②水费=用水量×单价

你找对了吗?解:设该市去年用水的价格为x元/m3.则今年水的价格为(

)x元/m3.根据题意,得解得x=1.5经检验x=1.5是原方程的根.1.5×(1+1/3)=2(元)答:该市今年居民用水的价格为2元/m3

列分式方程解应用题的

一般步骤1.审:分析题意,找出研究对象，建立等量关系.2.设:选择恰当的未知数,注意单位.3.列:根据等量关系正确列出方程.4.解:认真仔细.5.验:有三次检验.6.答:不要忘记写.课堂小结1.小明和同学一起去书店买书,他们先用15元买了一种科普书,又用15元买了一种文学书.科普书的价格比文学书高出一半,因此他们所买的科普书比所买的文学书少1本。这种科普书和这种文学书的价格各是多少？解:设文学书的价格是每本x元，科普书每本1.5x元.根据题意得：解得x=5经检验x=5是原方程的解答:文学书的价格是每本5元，科普书每本7.5元随堂训练某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%。求这种服装的成本价。解设：这种服装的成本价为x元.根据题意：解方程的：x=120答这种服装的成本价为120元。经检验x=120是原方程的根.小结与复习第五章分式与分式方程知识归纳合作探究课堂小结随堂训练2、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。1、形如的式子叫做分式，其中A、B是整式，B

中必须含有字母。对于任意一个分式，分母都不能为零。知识归纳4、分式的加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算。5、分式方程是分母中含有未知数的方程：解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，其一般步骤是：去分母，解整式方程，验根。3、分式的乘除法：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘。结果要化为最简分式或整式。一、分式的意义：解：由m–3≠0，得m≠3。所以当

m≠3时，分式有意义；由m2–9=0，得m=±3。而当m=3时，分母m–3=0，分式没有意义，故应舍去，所以当m=-