线性代数矩阵秩与向量组秩的关系_第1页
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文档简介

线性代数课件矩阵秩与向量组秩的关系第1页，课件共20页，创作于2023年2月按行分块得到第2页，课件共20页，创作于2023年2月将该矩阵按列分块得到第3页，课件共20页，创作于2023年2月称为A的行向量组称为A的列向量组定义9

矩阵A的行向量组的秩成为A的行秩，A的列向量组的秩称为A的列秩。矩阵A的秩与其行秩和列秩有什么关系呢？第4页，课件共20页，创作于2023年2月先看一个例子此矩阵为具有4个非零行的B-型矩阵第5页，课件共20页，创作于2023年2月显然B的列向量组线性无关，并且故是B的列向量组的极大无关组。第6页，课件共20页，创作于2023年2月B的列秩＝B的秩＝r一般的，对有r个非零行的B-型阶梯型矩阵，有B的列秩＝B的秩＝4引理设矩阵A经过行初等变换化为B，分别记为：第7页，课件共20页，创作于2023年2月之间有完全相同的线性关系，即则A的列向量组与B的列向量组当且仅当证

因为矩阵A经过行初等变换化为B，A的列向量组与B的列向量组等价，也就是说齐次线性方程组AX=0与BX=0同解，即第8页，课件共20页，创作于2023年2月有相同的线性相关性。于是知列向量组

与同解与第9页，课件共20页，创作于2023年2月定理5

矩阵的秩等于它的行秩，也等于它的列秩。证设矩阵

B是与之对应的B-型阵设A的r阶非零子式

下证A的列向量组的秩为r所在的r列构成的

矩阵为

第10页，课件共20页，创作于2023年2月显然即B的r个列向量线性无关，而A的任意r+1

列所构成的矩阵的秩小于等于

所以A的任意r+1列向量线性相关，因此，B的r个列向量为矩阵A的列向量组的极大无关组。所以A的列秩等于r。第11页，课件共20页，创作于2023年2月故：A的秩=A的行秩=A的列秩的列向量组，又因为A的行向量组就是例1

设向量组第12页，课件共20页，创作于2023年2月求该向量组的极大无关组，并把其余向量由极大无关组线性表示。

解：以为列构造矩阵A，并利用初等行变换把A化成行简化型阶梯矩阵B第13页，课件共20页，创作于2023年2月第14页，课件共20页，创作于2023年2月第15页，课件共20页，创作于2023年2月第16页，课件共20页，创作于2023年2月所以故列向量组的秩为2，即列向量组的极大无关组含有2个向量，显然，

第17页，课件共20页，创作于2023年2月为矩阵B的列向量组的极大无关组则是向量组的极大无关组，且显然有：第18页，课件共20页，创作于2023年2月对于这道题我们可以直接用数学软件MATLAB来计算向量组的秩和极大无关组，并把其余向量由极大无关组线性表示

%求向量组的秩、极大无关组A=[145-10;-2-14-1;5-2-1916;-3315-15];rref(A)%************运行结果************ans=10-32012-300000000第19页，课

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