2023年上海高一下学期数学同步讲义第13讲向量的应用含详解

第13讲向量的应用

知识梳理

1、平面向量分解定理：

如果是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量N有且只有一

12

对实数九，入，使2=入£+入/.我们把不平行的向量建厂叫做这一平面内所有向量的一

I2112212

组基.

注意：

(1)基底不共线；

(2)将任一向量征在给出基底'的条件下进行分解；

I2

(3)基底给定时，分解形式唯一，入，九「是被2",须唯一确定的数量

I2I2

几何角度证明：

如图，在平面内取一点0,作OA=a,OB^b,0c=2,再作直线0A、OB.

设点C不在直线0A和0B上，过点C分别作直线OA、0B的平行线，由于向量不

平行，可知所作两直线分别与直线OB、0A有唯一的交点，记为N、M.作向量。“、ON.

因为Q07/3,所以存在唯一的实数X,使。而=%£.

因为ON〃石，所以存在唯一的实数丁，使ON=如.

而四边形OMCN是平行四边形，因此配=丽+两=x£+y方.

即=。=xa+y6.

如果点C在直线0A或0B上，那么”//£,或2〃5.

这时得c=xa=xa+0日或c=)方=()a+yB.所以。关于。、b的分解式总是确定的.

代数角度：证明唯一性：

(1)当2。0时，0=0-e+0-Z

12

（2）当Z，6时，假设d=九2,+入e',则有入e+A，e=A,£+A，e;

1122II22I122

（X-入'）.？+（入一九'）•葭=0.

II1222

由于e,e不平行，故（九一九）=0,（九一九）=0,即入=九，九=入.

12I1221122

2、重要结论

设双、说不平行，点尸在4B上0存在实数九，口使得。尸=1±4+日。8

且九+日=1（九，|1e7?）

证明：如图，设向量入户=RA氏PB=kAB,

•.•用+而=福=>+日=1

OP=OA+AP=OA+^AB^OA+^^-OA^=(1-^OA+^OB

=WA+11OB【'口的正负可以给学生讲一下】

3、平面向量和三角形四心

(1)G4+G3+GC=0<=>G是AABC的重心.

证法1：设G(x,y),A(x,y),B(x,y),C(x,y)

I12233

-►-►_\(X-X)+(X-X)+(X-X)=0

G4+GB+GC=0<=>1i23

(y-y)+(y-y)+(y—y)=o

1123

X+X+X

X=—1---2----X.

3

'=G是AABC的重心.

y—_yi_+__y2_+__yi.

r3

证法2：如图,/GA+GB+GC=GA+2GD=0

AG=2GD

」.A、G、。三点共线，且G分AO为2：1

G是AABC的重心

(2)设。，力，。是三角形的三条边长，I是AABC的内心+力店+=GO。为

AABC的内心.

证明：vaIA+bIB+cIC=0

(Q+/?+C)/4+/?AB+C^

FbeABAC

AI=----------(——+-------)

a+b+ccb

竺、空分别为AB^C方向上的单位向量，

cb

ABAC

——+丁平分N8AC,

cb

.•JA为△ABC中NA的角平分线，

同理可证IB为AABC中NB的角平分线，IC为AABC中NA的角平分线。

.•.点I为△ABC的内心。

(3)豆？•丽=丽友=沅•玄=”为AABC的垂心.

证明：如图所示”是三角形ABC的垂心，BE垂直AC,AD垂直BC,D、E是垂足.

A

B

OAOB^OBOC^OB(OA-OC)^OBCA=QoOB1AC

同理OAIBC,OC1AB

(4)WH网俨<=>。为A4BC的外心。

（5）四心重要的结论:

I外心（外接圆圆心0中垂线的交点）

①.|砺卜|丽卜（R为外接圆半径）.

"■'1—*p

M）・AB=3

②.

Ad-AC=-Acf

2

"11I---*12I--•2

,4O.8C=#q--JB

③.推广：,前•布=；而「+；|充-（D为BC的中点，G为AABC的重心）.

~AO~AG=-'\A^\+-~AC''

6l।6

④.*圆心角是圆周角的两倍.

⑤.*sin2/4-CM+sin2B-OB+sin2C-OC=0

II、重心（G中线的交点）

①.GA+GB+GC^O.

②.OG=UOA+OB+OC）orAG=AC）.

③.若A（x,y）,8（x,y）,C（x,y）,则其重心的坐标为

I12233

„（x+x+xy+y+y）

I33）

重心分每条中线分为2：1的两短.

III、内心（内切圆圆心I角平分线的交点）

①.4/=入（也+3-）（九力0）注：至+-4U表示为/A的角平分线.

\AB\\AC\\AB\|/1C|

②.c・/C+〃・=0.

IV、垂心（H角平分线的交点）

①.HAHB=HBHC=HCHA.

②.*tanA-HA+tanS-HB+tanC-HC=6

4、运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？

“三步曲”：

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化

为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.

例题解析

1、平面向量的分解定理

例1.［华师大二附中高二(上)期中•12］下列有关平面向量分解定理的四个命题中：

①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；

②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；

③平面向量的基向量可能互相垂直；

④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合.

正确命题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

例2［位育中学期中•13］平面内有三个向量靠，OB,0C,其中应与施的夹角为120。，血与

面的夹角为30°,K|6A|=|6B|=I,|6C|=2>/3,若比=入渣+u京(入，HER),则入+

U的值为.

例3.［普陀区晋元中学期中•16］如图所示，A,B,C是圆0上的三点，线段C0的延长线与

线段BA的延长线交于圆0外的点D,若说=m福+n而，则m+n的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,+8)C.(-8,-1)D.(-1,0)

B

例4.如图，在AABC中，AF=|AB,D为BC的中点，AD与CF交于点E.若硅=a,AC-b,

o

且注=xa+yb,则x+y=

例5.如图，设向量本=(3,1),施=(1,3),若优=入位+口施，且人》口21,则用阴影

例6.［华师大二附中期中78］已知M为4ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边

AB,AC于点P,Q,设肝="丽，五@=)＜亍，记y=/(x).

(1)求函数y=/(x)的表达式;

(2)的取值范围.

—2-

例7.在△OAB中,C为0A上的一点，且0。=；。,。是BC的中点，过点A的直线/〃01）,P

是直线/上的动点,而=入方+%反则%一%=.

例8.给定两个长度为1的平面向量质和施，它们的夹角为90°.如图所示，点C在以0为

圆心的圆弧AB上运动.若花=x5X+y而，其中x、yeR,则x+y的最大值是.

例9.将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条

线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点。，其中x、y分别为点。

到两个顶点的向量;若将点。到正六角星12个顶点的向量，都写成ai+b》的形式，则6

的最大值为（）

—T

1.［建平中学期中•6］已知直角坐标平面内的两个向量.二"，2）、°=（%T，"+3）使得平

面内的任意一个向量c都可以唯一分解成c="，则m的取值范围是.

2.［莘庄中学等四校联考期中•10］如图，在A4BC中，D、E分别为边BC、AC的中

点.尸为边上的点，且人百=34尸，若4万=%4户+y亚，则x+y的值

为

3.［位育中学监控考试.⑴在AA8C中,初1通+向量而的终点M在

AA8C的内部（不含边界），则实数用的取值范围是—

4.若直线1上不同的三个点A,B,C与直线1外一点0,使得xz前+x施=2就成立，贝IJ满

足条件的实数x的集合为（）

A.{-1,0}B•产守,冲甘D.I}

5.［普陀区晋元中学期中•16］如图，在A&BC中，AM=LAB,7W=lsC,BN与

CM交于点£,若荏=xH5+y而，则x+y=

6.［复旦大学附属中学期中•21］如图，数轴x，y的交点为。，夹角为。，与X轴、y轴正

向同向的单位向量分别是2；屋。由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量而，存在

12

唯一的有序实数对（X，y），使得OP^xe'+ye',我们把（x,y）叫做点P在斜坐标系x。），中

12

的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系X。），'中的坐标）.

（1）若0=90。，加为单位向量，且/与e的夹角为120。，求点P的坐标；

I

（2）若0=45。，点P的坐标为求向量9与e,的夹角.

7.（1）在AQAB中，点P、。分别在。4、上，线段P。过三角形48。的重心G,

设。4=4,OB=b,OP=md,OQ=nb,试求竺」的值.

mn

（2）在A4BC中，点用是AB的中点，点N是AC上一点，且也=2,BN与CW相

AC3

交于点E,设4力=d,=〃，试用G、〃表示XE.

8.如图，在AABC中，B0为边AC上的中线，BG=2G0,设C£i〃A6,AD=-AB+XAC

5

(XeR),则X的值为.

9.在直角^ABC中，NC是直角，CA=4,CB=3,AABC的内切圆交CA,CB于点D,E,点P

是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若丽=x®+y在，则x+y的值可以使（）

A.1B.2C.4D.8

10.如图所示，在边长为2的正六边形A8CD瓦'中，动圆0的半径为1,圆心在线段

（含端点）上运动，P是圆。上及内部的动点，设向量初=加4"+"4尸（根,〃为实数）,

则加+〃的最大值为

2、平面向量与“四心”

一、单选题

例1.（2020•湖北武汉市第十一中学高一月考）已知0是4相。所在平面内的一定点,

△ABC的（）

A.内心B.外心C.重心D.垂心

例2.（2021•上海金山区•高三一模）已知的外接圆圆心为。，NA=120,若

=x血+y/（x,y6R）,则的最小值为（）

123

A.—B.■C.1—■D.2

232

例3.（2021•全国高三专题练习）已知0,N,P在△地。所在平面内，且

陷=|叫=pq,NA+NQ+NC=。，且PAPS=PBPC=R•丽,则点0,

N,P依次是的（填三角形的四心）

例4.（2021•全国高三专题练习）己知。是平面上一定点，满足

OP=OA+M———+———）,Xe[0,+8）,则尸的轨迹一定通过△ABC的

（外心、垂心、重心、内心）

例5.（2020•上海徐汇区•位育中学高二月考）设H是A4BC的垂心，且

3HA+4HB+5HC=6,贝ijcosZABC=.

例6.已知0是面a上一定点，A、B、C是面a上A48C的三个顶点，N3,NC分别是边

AC,A8对应的角.

①动点P满足/=砺+产方+PC,则A4BC的心一定在满足条件的P点集合

中.

②动点P满足/=方+九（丝+丝■）（入＞0）,则A48C的心一定在满足条件

ABAC

的P点集合中.

______40AC

③动点P满足。P=OA+X（----+—-----）。＞0）,则AA8C的心一定在

AqsinBACsinC

满足条件的P点集合中.

④动点P满足无=砺+入（=-----+=-----）（九＞0），则MBC的心一定在

ACcosC

满足条件的P点集合中.

⑤动点P满足+凡_"B——+——----）,26（0,+＜o）W'JMBCM

2|AB|cosB|AC\cosC

心一定在满足条件的P点集合中.

例7.已知点。是AA8C的重心，内角4、B、。所对的边长分别为。、b、c,且

2aOA+bOB+^H.eOC^O,则角C的大小是

3------------------------

.2-1一

例8.已知。是MBC内心，若4。=MA耳+可AC,则cosABAC=.

例9.已知非零向量疝与谶满足（巫•—）•BC=O且巫•—=1,则AABC为（）

|AB||AC|AB|AC!

A.三边均不相等的三角形B.直角三角形

C.等腰非等边三角形D.等边三角形

例10.［位育中学监控考试•21］已知A48c中，过重心G的直线交边AB于P,交边AC

于。，设A4P。的面积为SjA4BC的面积为S,,AP=pPB,A^^qQC,（1）求

__..pqS

GA+GB+GC;⑵求一^-的值；（3）求号•的取值范围.

p+qS

【巩固训练】

1.已知点0、N、P在AJ8C所在平面内，且|厉|=|而|=|历|,而+丽+&=6,

。小PR=PB•PC=PC•P4,则点0、N、P依次是A48。的（）

A.重心、外心、重心B.重心、外心、内心

C.外心、重心、重心D.外心、重心、内心

2.已知aABC的外接圆的圆心为0,半径为1,若3靠+4而+5说=0,则△AOC的面积为

3.己知人。48中，p4=3,p4=2、M是AO18重心，且丽•血=0,则

cosZAOB=.

4.设G是△ABC重心，且(56sinA)G4+(4。sin5)GB+(35sinC)GC=0,则/B=

5.设A,B,C为直线1上不同的三点，0为直线1外一点.若p而+q施+r讹=0（p,q,r

£R),则p+q+r=()

A.-1B.0C.1D.3

6.[上海实验学校期中⑼已知△ABC满足I451=3,IACI=4,。是△ABC的外心,

]_入

Ad=X，AB+--AC（九€A）,则aABC的面积是.

7.（徐汇一模）已知。是锐角△ABC的外心，tanA=g,若

£2亚.而+凶:.左=2，〃•而，则实数阳=；

sinCsinB

备选题：与三角形“四心”相关的向量问题

题1：已知0是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

=W，1器+备）九W）.则P点的轨迹一定通过4ABC的（)

A.外心B.内心C.重心D.垂心

题2：已知0是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OP=OA+X（AB+AC）,XG[0,+oo）.则P点的轨迹一定通过△人!?（：的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

题3：己知0是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OP=OA+M———+———），九€[0,+8）,则动点P的轨迹一定通过aABC的

IABIsinB\AC\sinC

（）

A.重心B.垂心C.外心D.内心

题4：已知0是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

7EBAC

加=函+x（——_+---―-）,Xe[0,+^）,则动点p的轨迹一定通过4

IABIcos8IACIcosC

ABC的（）

A.重心B.垂心C.外心D.内心

题5：已知0是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OPM旦+A。)

=2^2£+.Xe[0,+oo）,则动点P的轨迹一定

2IABIcosBIACICOSC'

通过4ABC的（）

A.重心B.垂心C.外心D.内心

----**■—•AR（jA

题6：三个不共线的向量04,03,0。满足04.（空+工）=0月且+色）

\AB\\CA\IfiAI\CB\

觉•（盖+熹尸。，则。点是即的（）

A.垂心B.重心C.内心D.夕卜心

题7：已知0是aABC所在平面上的一点，若。4+。月+。0=0,则0点是AABC的

（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

题8：已知。是△ABC所在平面上的一点，若P<5=；（而+P月+PC）（其中P为平面上任

意一点），则0点是△人8（；的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

题9：已知0是aABC所在平面上的一点，若。4•。月=。月•。？=。g・。/,则0点是△

ABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

题10：已知。为AABC所在平面内一点，满足I丽|2+1或|2=|赤|2+1夙|2二

\0C\i+IABU，则。点是△/也（；的（）

A.垂心B.重心C.内心D.外心

题11：已知。是AABC所在平面上的一点，若（。耳+。月）•A8=（OQ+OW>8C=

（oc+0A）CA=0,则0点是4ABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

题12：己知0是AABC所在平面上的一点，若。。4+〃。月+。。乙=0,则。点是AABC的

（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

PA.+bPB+cPC

题13：已知0是AABC所在平面上的一点，若P0=-Q----------------（其中P是aABC

a+b+c

所在平面内任意一点），则0点是△八13（；的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

题14：AABC的外接圆的圆心为0,两边上的高的交点为H,OH=m（OA+OB+OC）,

则实数m=.

题15：已知。为AABC所在平面内一点，满足1瓦一配1=1。耳+0C—2041,则4ABC

一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

三、平面向量与其他模块知识综合应用

例1.函数y=sin（3x+6）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是最高点、最低点，0

为坐标原点，且丽•丽=0,则函数f（x）的最小正周期是

例2.［华师大二附中期中.［0］已知2=(1+8501,5丁€0，3=(1-85|3后110)1=。,0)

a€(0,兀)，B€(兀,2兀)，£与6的夹角为。，方与)的夹角为。，且。一。=：,求

12123

,a-p

sin-----=.

2---------

例3.平面上O,A,3三点不共线，设加=2,9=5,则AOLg的面积等于()

A.小型卜(自加B.制邛+Q.方卜

C.；柄卜@6)2D.；楠评+(£力”

例4.［上海实验学校期中•19］对于一组向量3dM•，…,加5£N*),令

I23n

S—ci+。+。+...+。,如果存在a

”123np

(pe{1,2,3...,〃}),使得laINIS,—aI,那么称。是该向量组的“〃向量”；

Pnpp

(1)设加=(〃,〃+x)(〃eN*),若。是向量组以,加,。,的“〃向量”；

n3123

(2)若/=((3"叫(—1)")(〃GN"),向量组。.,疝,。；，屐(〃GN*)是否存在“h向量”？

n3123〃

给出你的结论并说明理山;

例5.［华师大二附中期中•13］对于向量然（i=l,2,…n）,把能够使得|入彳|+AP

I+-+衣"|取到最小值的点P称为A,（为1,2,…n）的“平衡点”.如图，矩形ABCD

n1

的两条对角线相交于点0,延长BC至E,使得BC=CE,联结AE,分别交BD、CD于F、G两

点.下列结论中，正确的是（）

A.A、C的“平衡点”必为0

B.D、C、E的“平衡点”为D、E的中点

C.A、F、G、E的“平衡点”存在且唯一

1）.A、B、E、D的“平衡点”必为F

例6.已知向量a,B,满足同印"-b=2,且（a-c）•伍-c）=0,则|2否一0的最小值为

【巩固训练】

1.（2021•上海高一专题练习）三条直线（、/2、4两两平行，1到/，的距离为1，4到4

的距离为2,等边三角形三个顶点分别在这三条直线上，则该三角形的面积为一.

2.（2020•上海高三专题练习）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状

态.已知两条绳上的拉力分别是广，尸，且户，户与水平夹角均为45°,

1212

肝国=1呼N,则物体的重力大小为N.

3.（2019•宝山区•上海交大附中高二月考）在一个平面内，一质点。受三个力厂、

1

F、F的作用保持平衡（即户、F、F的和为零向量），其中户与声的夹角为a,

23I2332

尸;与£的夹角为0・

⑴若a=120,P=150"q=10,求力小苧勺大小；

⑵若归|：月：园=1：/：/，求。与B.(用反三角函数表示)

4.(2021•上海高一专题练习)如图所示，四边形ABCD中，AB=DC,N,M是AD,BC

上的点，且CN=MA.求证：DN=MB.

5.在AABC中，已知疝・At：=tanA,当人=/时，ZXABC的面积为.

6.已知向量a=(l,1),b=(1,-1),c=(艰cosa,木sina)(aeR),实数m,n满

足ma+nb=c,则(01—3)2+0的最大值为一..

7.己知等差数列｛a｝的前n项和为S,若充=a0X+a0C,且A,B,C三点共线(该直线不

nn1200

过点0),则S,等于________.

200

8.［上师大附中期中考试•14］设A是平面向量的集合，力是定向量，对工eA,定义

f(x)=x-2(a-x)-a.现给出如下四个向量:

那么对于任意工、少6人，使/(工)•/(»)=工•女恒成立的向量，的序号是.

9.设AABC,P是边AB上一定点，满足PB=；AB,且对于边AB上任一点P,恒有沌•证》

oo4

耶•印，则()

A：ZABC=90°B,ZBAC=90°C,AB=ACD.AC=BC

反思总结

1.向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运

用向量的有关知识可以解决某些函数问题.

2.以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一

类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题

的一般方法.

3.注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价.

4.注意向量共线和两直线平行的关系.

5.利用向量解决解析几何中的平行与垂直，可有效解决因斜率不存在使问题漏解的情况.

第13讲向量的应用

知识梳理

1、平面向量分解定理：

如果是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量入,有且只有一

12

对实数九，入，使2=入£+入/.我们把不平行的向量建厂叫做这一平面内所有向量的一

I21122I2

组基.

注意：

(1)基底不共线；

(2)将任一向量征在给出基底'的条件下进行分解；

I2

(3)基底给定时，分解形式唯一，入，九「是被2",须唯一确定的数量

I2I2

几何角度证明：

如图，在平面内取一点0,作OA=a,OB^b,0c=2,再作直线0A、OB.

设点C不在直线0A和0B上，过点C分别作直线OA、0B的平行线，由于向量不

平行，可知所作两直线分别与直线OB、0A有唯一的交点，记为N、M.作向量。“、ON.

因为Q07/3,所以存在唯一的实数X,使。而=%£.

因为ON〃石，所以存在唯一的实数丁，使ON=如.

而四边形OMCN是平行四边形，因此配=丽+两=x£+y方.

即=。=xa+y6.

如果点C在直线0A或0B上，那么”//£,或2〃5.

这时得c=xa=xa+0日或c=)方=()a+yB.所以。关于。、b的分解式总是确定的.

代数角度：证明唯一性：

(1)当2。0时，0=0-e+0-Z

12

（2）当3w6时，假设/=九2,+入e,则有入e+A，e=A,£+A，e;

1122II22I122

（入一入’）.？+（入一九葭=0.

II1222

由于。，e不平行，故（九一九）=0,（九一九）=0,即入=九，九=入.

12I1221J22

2、重要结论

设双、说不平行，点尸在4B上0存在实数九，口使得。尸=1±4+日。8

且九+日=1（九，|1e7?）

证明：如图，设向量入户=RA氏PB=kAB,

•.•用+而=福=>+日=1

OP=OA+AP=OA+^AB^OA+^^-OA^=(1-^OA+^OB

=WA+11OB【'口的正负可以给学生讲一下】

3、平面向量和三角形四心

(1)G4+G3+GC=0<=>G是AABC的重心.

证法1：设G(x,y),A(x,y),B(x,y),C(x,y)

I12233

-►-►_\(X-X)+(X-X)+(X-X)=0

G4+GB+GC=0<=>1i23

(y-y)+(y-y)+(y—y)=o

1123

X+X+X

X=—1---2----X.

3

'=G是AABC的重心.

y—_yi_+__y2_+__yi.

r3

证法2：如图,/GA+GB+GC=GA+2GD=0

AG=2GD

，A、G、。三点共线，且G分AO为2：1

G是A46C的重心

(2)设。，〃，c是三角形的三条边长，I是AABC的内心+b厉+cE=6o。为

/SABC的内心.

证明：valA+blB+clC=0

(a+b+c)IA+bAB+cAC=0

二万=beAgAC

(—+—)

Q+/7+C

噂与分别为AB.AC方向上的单位向量,

ABAC/ns

・••「丁平分的c,

.•.IA为△ABC中NA的角平分线，

同理可证IB为△ABC中NB的角平分线，IC为AABC中NA的角平分线。

...点I为△ABC的内心。

(3)田丽=丽沃=玩而oH为MBC的垂心.

证明：如图所示"是三角形ABC的垂心，BE垂直AC,AD垂直BC,D、E是垂足.

A

B

OAOB^OBOCOB(OA-OC)^OBCA^O^OBIAC

同理OAIBC,OC±AB

(4)|。4|=|。叫=|。。=O为AA8C1的外心。

（5）四心重要的结论:

I外心（外接圆圆心0中垂线的交点）

①.|砺卜|砺卜|左卜/?（R为外接圆半径）.

AdAC=-A^

2

1,11I---I~-•2

4O-8C'=一＞--AB

③.推广：・前・75=；而「+；|元一（D为BC的中点，G为AABC的重心）.

布元=3/元2

61।6

④・*圆心角是圆周角的两倍.

⑤.*smlA-OA+sin2B-OB+sin2C-OC-6

n、重心（G中线的交点）

①.GA+GB+GC=6.

②.0G=h0A+0B+0C）orAG=\（AB+AC）.

J3

③.若A（x,y）,8（x,y）,C（x,y）,则其重心的坐标为

112233

x+x+xy+y+y

G—i-----a-----i———2——

33

④.重心分每条中线分为2：1的两短.

III、内心（内切圆圆心I角平分线的交点）

①.A/=M*_+/^-）RNO）注：旁-+上£表示为NA的角平分线.

\AB\\AC\IABI|/1C|

②.c・/C+QZ4+b/R=0.

IV、垂心（H角平分线的交点）

①.HAHB=HBHC=HCHA,

②.*tanA•山+tanBH*+tanCH^;=G

4、运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？

“三步曲”：

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化

为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.

例题解析

1、平面向量的分解定理

例1.［华师大二附中高二(上)期中•12］下列有关平面向量分解定理的四个命题中：

①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；

②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；

③平面向量的基向量可能互相垂直；

④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合.

正确命题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【难度】★

【答案】B

【解答】一个平面内有无数多对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基，，①错

误，②正确；

平面向量的基向量可能互相垂直，如正交基，...③正确：

平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合，

如果是三个不共线的向量，表示法不唯一，.•.④错误.

综上，正确的命题是②③.故选：B.

例2［位育中学期中•13］平面内有三个向量靠，OB,0C,其中血与笳的夹角为120°,靠与

设的夹角为30。，且须|=|而|=1,反|=2，§,若花=入出+口也(入，UGR),则入+

U的值为.

【难度】★★

【答案】(4,2)

【解析】方法一如图，OC=OB+OA,|0B=2,|0A|=|BC|=4,

B,r

v.............-sA

A

0C=40A+20B.:.入+口=6.

方法二由设:=入靠+U而，两边同乘说，得&人而•说+0,，入=4.

.-.0&-40A+POB,两边同乘嬴，得说•嬴=4+U颓•皿，即3=4+(一»口.N=2.

，入+u=6.

方法三以0为原点，0A为x轴建立直角坐标系，则A(1,0),C(2，5cos30°,2^3sin

30°),

B(cos120°,sin120°).即A(l,0),C(3,小),B(—.

f_fVN[u=2

由0C=入0A+uOB得，_入+u=6.

例3.［普陀区晋元中学期中•16］如图所示，A,B,C是圆0上的三点，线段C0的延长线与

线段BA的延长线交于圆0外的点D,若说=m嬴+n而，则m+n的取值范围是()

B.(1,+°0)C.(-8,-1)D.(-1,0)

【难度】★★

【答案】D

【解析】依题意，由点D是圆0外一点，可设丽=入酥(入＞1),则而=国+入市=人本+(1

-X)OB.

又C,0,D三点共线，令而=一口敢口＞1),则说=一领一匚声6(入＞1,u＞l),所以

X1—X入I—入I

m=-n=---^―.故m+n=-----=--e(-1,0).故选D.

例4.如图，在AABC中，AF=|AB,D为BC的中点，AD与CF交于点E.若硅=a,AC=b,

且丽=xa+yb,则x+y=

【难度】★★

【答案】3

【解析】如图，设FB的中点为M,连接MD.

因为D为BC的中点，M为FB的中点，所以MD〃CF.

因为AF=〈AB,所以F为AM的中点，E为AD的中点.

方法一因为第=a,AC=b,D为BC的中点，所以前=：(a+b).所以疝=；AD=；(a+b).

所以优=及+庵=—部+前:=—b+：(a+b)=；a—gb.所以x=；,y=—1,所以x+y=一

1

2,

iii9

方法二易得EF=^MD,MD=kE,所以EF=/F,所以CE=》F.

因为讨=建+m=—蓝+AF=-b+Ja,所以优==(一b+1i)=；a—%

131

所以x=z，y=-则x+y=-]

例5.如图，设向量嬴=(3,1),OB=(1,3),若优=入本+U施，且人学口＞1,则用阴影

表示C点所有可能的位置区域正确的是()

【难度】★★

【答案】D

【解析】设C(x,y).VOC=AOX+uOB=X(3,1)+u(1,3)=(3人+U,1+3U),

3x-y

8

x=3入+u,解得,x2y,

•・・人》故选D.

y=入+3u,_3y-xx-3y+8<0,