四川省自贡市市大安区永嘉乡中学高三数学理期末试卷含解析

四川省自贡市市大安区永嘉乡中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对于定义在R上的函数f（x），若存在正常数a、b，使得f（x+a）≤f（x）+b对一切x∈R均成立，则称f（x）是“控制增长函数”，在以下四个函数中：①f（x）=x2+x+1；②f（x）=；③f（x）=sin（x2）；④f（x）=x?sinx．是“控制增长函数”的有（）A．②③ B．③④ C．②③④ D．①②④参考答案：C【考点】3T：函数的值．【分析】假设各函数为“控制增长函数”，根据定义推倒f（x+a）≤f（x）+b恒成立的条件，判断a，b的存在性即可得出答案．【解答】解：对于①，f（x+a）≤f（x）+b可化为：（x+a）2+（x+a）+1≤x2+x+1+b，即2ax≤﹣a2﹣a+b，即x≤对一切x∈R均成立，由函数的定义域为R，故不存在满足条件的正常数a、b，故f（x）=x2+x+1不是“控制增长函数”；对于②，若f（x）=是“控制增长函数”，则f（x+a）≤f（x）+b可化为：≤+b，∴|x+a|≤|x|+b2+2b恒成立，又|x+a|≤|x|+a，∴|x|+a≤|x|+b2+2b，∴≥，显然当a＜b2时式子恒成立，∴f（x）=是“控制增长函数”；对于③，∵﹣1≤f（x）=sin（x2）≤1，∴f（x+a）﹣f（x）≤2，∴当b≥2时，a为任意正数，使f（x+a）≤f（x）+b恒成立，故f（x）=sin（x2）是“控制增长函数”；对于④，若f（x）=xsinx是“控制增长函数”，则（x+a）sin（x+a）≤xsinx+b恒成立，∵（x+a）sin（x+a）≤x+a，∴x+a≤xsinx+b≤x+b，即a≤b，∴f（x）=xsinx是“控制增长函数”．故选C．【点评】本题考查了新定义的理解，函数存在性与恒成立问题研究，属于中档题．2.已知函数，直线过原点且与曲线相切，其切点的横坐标从小到大依次排列为，则下列说法正确的是（

）A．

B．数列为等差数列

C.

D．参考答案：D3.下列命题错误的是(

)A．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1B．“am2＜bm2”是”a＜b”的充分不必要条件C．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则￢p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0D．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】对于A，写出逆否命题，比照后可判断真假；对于B，利用必要不充分条件的定义判断即可；对于C，写出原命题的否定形式，判断即可．对于D，根据复合命题真值表判断即可；【解答】解：命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1，故A正确；“am2＜bm2”?”a＜b”为真，但”a＜b”?“am2＜bm2”为假（当m=0时不成立），故“am2＜bm2”是”a＜b”的充分不必要条件，故B正确；命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则￢p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0，故C正确；命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”中至少有一个是真命题，故D错误，故选：D【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查充分条件、必要条件的判定及复合命题的真假判定．4.设a=

b=

c=

则a,b,c的大小关系为A.a﹥b﹥c

B.b﹥a﹥c

C.c﹥b﹥a

D.c﹥a﹥b参考答案：C【知识点】函数的单调性B3解析：根据所比较的三个数的形式，可以构造新的函数，即，因为在内恒成立，所以函数为增函数，故，即，故选择C.【思路点拨】根据已知数的形式，构造新的函数，即比较，利用导函数判断函数的单调性，进而比较三数的大小.5.已知函数若非零实数满足，则的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．或参考答案：D6.下列三个不等式中，恒成立的个数有

①

②

③.

A．3

B.2

C.1

D.0参考答案：B当时，①不成立。由，得所以成立，所以②横成立。③恒成立，所以选B.7.司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析（）A．甲合适B．乙合适C．油价先高后低甲合适D．油价先低后高甲合适参考答案：B考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；应用题；函数的性质及应用．分析：设司机甲每次加油x，司机乙每次加油化费为y；两次加油的单价分别为a，b；从而可得司机甲两次加油的均价为；司机乙两次加油的均价为；作差比较大小即可．解答：解：设司机甲每次加油x，司机乙每次加油化费为y；两次加油的单价分别为a，b；则司机甲两次加油的均价为=；司机乙两次加油的均价为=；且﹣=≥0，又∵a≠b，∴﹣＞0，即＞，故这两次加油的均价，司机乙的较低，故乙更合适，故选B．点评：本题考查了函数在实际问题中的应用，属于中档题．8.设全集，集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B9.执行右边的框图，若输出的结果为，则输入的实数的值是A．

B．

C．

D．参考答案：B略10.(4)在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是

(A)众数(B)平均数(C)中位数(D)标准差参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，且，则实数的值是

．参考答案：2由题意知，，又，则，又，解得.12.已知复数（i是虚数单位），则z的共轭复数为_______．参考答案：【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得，再由共轭复数的定义得答案．【详解】∴．故答案为：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，属于基础题．13.若，且，则的最大值为___________．参考答案：32略14.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若1≤a4≤4，2≤a5≤3，S6取值范围是．参考答案：[0，30]略15.已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为

.参考答案：略16.已知向量=（1，x），=（1，x﹣1），若（﹣2）⊥，则|﹣2|=．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，由向量的坐标运算可得﹣2=（﹣1，2﹣x），进而由向量垂直的性质可得（﹣2）?=﹣1+x（2﹣x）=0，解可得x的值，即可得﹣2的坐标，由向量模的公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，向量=（1，x），=（1，x﹣1），则﹣2=（﹣1，2﹣x），若（﹣2）⊥，则（﹣2）?=﹣1+x（2﹣x）=0，解可得x=1，则﹣2=（﹣1，2﹣x）=（﹣1，1）；故|﹣2|==；故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积运算，关键是求出﹣2的坐标．17.已知，则

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，，点M为A1C1的中点，点N为AB1上一动点.（1）是否存在一点N，使得线段MN∥平面BB1C1C？若存在，指出点N的位置，若不存在，请说明理由.（2）若点N为AB1的中点且，求二面角的正弦值.参考答案：（1）存在点，且为的中点.证明如下：如图，连接，，点，分别为，的中点，所以为的一条中位线，，平面，平面，所以平面.（2）设，则，，，由，得，解得.由题意以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得，，，，故，，，，.设为平面的一个法向量，则得令，得平面的一个法向量，同理可得平面的一个法向量为，故二面角的余弦值为.故二面角的正弦值为.

19.某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分，某考试每道都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道能排除两个错误选项，另2题只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机挑选一个选项做答，且各题做答互不影响．(Ⅰ)求该考生本次测验选择题得50分的概率；(Ⅱ)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．参考答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)见解析.试题分析：（Ⅰ）设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B，该考生选择题得50分的概率为P（A）P（A）P（B）P（B），由此能求出结果．

（Ⅱ）该考生所得分数X=30，35，40，45，50，分别求出P（X=30），P（X=35），P（X=40），P（X=45），P（X=50），由此能求出X的分布列和数学期望．试题解析：(Ⅰ)设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝，该考生选择题得50分的概率为：P(A)P(A)P(B)P(B)＝·＝.(Ⅱ)该考生所得分数X＝30，35，40，45，50，P(X＝30)＝＝，P(X＝35)＝C21＋·C21··＝，(6分)P(X＝40)＝＋C21C21··＋＝，P(X＝45)＝C21＋C21··＝，P(X＝50)＝＝，∴X的分布列为：X3035404550P

EX＝30×＋35×＋40×＋45×＋50×＝.20.（本小题满分13分）

如图，所在的平面垂直于正

所在的平面，平面ABC，DC=BC=2PA，E、F分别为DB、CB的中点。

（Ⅰ）证明：PE//平面ABC；

（Ⅱ）证明：AEBC；

（Ⅲ）求直线PF与平面BCD所成的角的大小。参考答案：

(Ⅰ)证明：由已知、分别为、的中点，得.又⊥平面，

所以∥

……………………2分

所以四边形是矩形，故∥

所以∥平面

…………4分

（Ⅱ）证明：连接

由（Ⅰ）知∥,所以

……6分

因为为等边三角形，所以

………………7分

所以平面，所以⊥

……8分（Ⅲ）由（Ⅰ）知四边形是矩形

又，

所以，而∥

所以

……………10分

所以为直线与平面所成的角

…………11分

在中，因为

所以

……………………13分略21.设和求的值。参考答案：解：，，故原式=3．略22.（本小题满分12分）某学校共有教职工900人,分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如左表所示.已知在全体教职工中随机抽取1名,抽到第二批次中女教职工的概率是0.16.（1）求的值；（2）现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查,问应在第三批次中抽取教职工多少名？（3）已知，求第