线性相关与线性无关

线性相关与线性无关第1页，课件共32页，创作于2023年2月

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如一、向量、向量组与矩阵n维列向量组可以排成一个m×n分块矩阵第2页，课件共32页，创作于2023年2月向量组,,…，称为矩阵A的行向量组．n维行向量组

可以排列成一个m×n分块矩阵

第3页，课件共32页，创作于2023年2月

反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.第4页，课件共32页，创作于2023年2月注意定义３则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．二、线性相关性的概念第5页，课件共32页，创作于2023年2月第6页，课件共32页，创作于2023年2月6当是行向量组时，它们线性相关就是指有非零的1×s矩阵（k1,k2,…,ks）使7当

为列向量时，它们线性相关就是指有非零的s×1矩阵

使第7页，课件共32页，创作于2023年2月例

1判断向量组的线性相关性。解假设存在一组常数k1,k2,…,kn使得所以

即k1=k2=…=kn=0

因此

线性无关。第8页，课件共32页，创作于2023年2月解：O设系数行列式为方程组有非零解，即有非零的数O故第9页，课件共32页，创作于2023年2月证第10页，课件共32页，创作于2023年2月第11页，课件共32页，创作于2023年2月也可用矩阵形式表示：这个线性组合的组合系数第12页，课件共32页，创作于2023年2月若所给向量均为行向量，则有若所给向量均为列向量，则有第13页，课件共32页，创作于2023年2月

向量能由向量组线性表示．第14页，课件共32页，创作于2023年2月三、相关性的判定及有关重要结论1.线性相关与线性组合的关系定理证：0O第15页，课件共32页，创作于2023年2月例如，向量组

是线性相关的，因为

对于只有两个向量a，b的向量组，由定理可得，a，b线性相关的充分必要条件是a，b的对应分量成比例。第16页，课件共32页，创作于2023年2月第17页，课件共32页，创作于2023年2月证：00矛盾第18页，课件共32页，创作于2023年2月O所以表示式惟一。下证唯一第19页，课件共32页，创作于2023年2月向量组的等价第20页，课件共32页，创作于2023年2月第21页，课件共32页，创作于2023年2月向量组的等价定义:设有两个n维向量组若向量组（I）中每个向量都可由向量组（II）线性表示，则称向量组（I）可由向量组（II）线性表示；若向量组（I）与向量组（II）可以互相线性表示，则称向量组（I）与向量组（II）等价。第22页，课件共32页，创作于2023年2月第23页，课件共32页，创作于2023年2月从而第24页，课件共32页，创作于2023年2月第25页，课件共32页，创作于2023年2月第26页，课件共32页，创作于2023年2月定理第27页，课件共32页，创作于2023年2月命题1第28页，课件共32页，创作于2023年2月命题2向量组间的等价，具有下列性质：向量组的等价关系具有自反性、对称性、传递性。第29页，课件共32页，创作于2023年2月１.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；

２.线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）

３.线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理．（难点）四、小结第30页，课件共3