Ch2-1-随机变量分布函数及离散型课件

第二章随机变量第一节随机变量

一、随机变量概念的产生在实际问题中，常把随机试验的结果用数来表示，即把试验结果数量化，由此就产生了随机变量的概念.

1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.例如，掷一颗骰子面上出现的点数；七月份北京的最高温度；每天从西客站下火车的人数；昆虫的产卵数；2、有些试验,可以通过用把样本点编号的办法,用数量来描述不同的样本点.0反面1正面某人抛掷篮球3次可能0未中未中未中也可能1未中未中中也可能1未中中未中还可能2未中中中又可能1中未中未中还可能2中未中中还可能2中中未中另外可能3中中中3、还有许多试验,我们往往比关心样本点更关心试验后的某个数量.未中未中未中未中未中中未中中未中未中中中中未中未中中未中中中中未中中中中Ω=0123这是Ω到实数轴R的一个映射如果记做X,则X把映射到X()定义2.1.1

设E是随机试验,Ω是其样本空间.如果对每个Ω,总有一实数X()与之对应,则称这个Ω到实数轴的映射(也叫Ω上的实值函数)X()为E的一个随机变量.

(randomvariable)随机变量的定义随机变量常简记为r.v.

这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.w.X(w)R这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？注意点(1)(1)随机变量X()是样本点的函数，

其定义域为，其值域为R=(，)若X表示掷一颗骰子出现的点数，则{X=1.5}

是不可能事件.

(2)若X

为随机变量，则

{X=k}、{a

<

Xb}、……

均为随机事件.即{a

<

Xb}={：a

<

X()b

}注意点(2)(3)注意以下一些表达式：

{X=k}={Xk}{X<k}；{a

<

Xb}={Xb}{Xa}；{X>b}={Xb}.(4)同一样本空间可以定义不同的随机变量.例2

掷一颗骰子，令

X：出现的点数．则X就是一个随机变量．表示掷出的点数不超过4这一随机事件；表示掷出的点数为偶数这一随机事件．它的取值为1，2，3，4，5，6．我们还可以定义其它的随机变量，例如我们可以定义：而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.事件及事件概率随机变量及其取值规律

从某一学校随机选一学生，测量他的身高.我们可以把可能的身高看作随机变量X,然后我们可以提出关于X的各种问题.

如

P{X>1.7}=？

P{X≤1.5}=?P{1.5<X<1.7}=?三、随机变量的分布函数

设X()是一个随机变量.称函数

F(x)=P{X≤x},-∞<x<∞

为随机变量X的分布函数.分布函数的性质（1）a<b,总有F(a)≤F(b)(单调非减性),并且定义F(x)是r.vX取值不大于

x

的概率.证明:∵{a<X≤b}={X≤b}-{X≤a},而

{X≤a}{X≤b}.

∴

P{a<X≤b}=P{X≤b}-P{X≤a}=F(b)-F(a).

又∵P{a<X≤b}≥0,∴F(a)≤F(b).它表明随机变量X落在区间(a,b]上的概率可以通过它的分布函数来计算.（2）xR1,总有0≤F(x)≤1(有界性),且（3）F(x)是一个右连续的函数四、随机变量的分类

常见有如下两类：如“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等.随机变量离散型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个一一列举例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间.…….这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点.随机变量连续型随机变量离散型随机变量学习时请注意它们各自的特点和描述方法.

第二章第二节

离散型随机变量

设X是一个离散型随机变量，它可能取的值是x1,x2,….为了描述随机变量X

，我们不仅需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个值的概率.

这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.从中任取3个球取到的白球数X是一个随机变量X可能取的值是0,1,2取每个值的概率为例1且其中(k=1,2,…)满足：

k=1,2,…（1）（2）用这两条性质判断一个函数是否是概率分布一、离散型随机变量概率分布的定义定义1：设xk(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称为离散型随机变量X的概率分布或分布律.或表示为X

x1

x2

……xn

……P

p1

p2

……pn

……二、表示方法（1）列表法：（2）公式法再看例1任取3个球X为取到的白球数X可能取的值0,1,2解:依据概率分布的性质:P{X=k}≥0,

a≥0从中解得欲使上述函数为概率分布应有这里用到了常见的幂级数展开式例2.设随机变量X的概率分布为：k=0,1,2,…,试确定常数a.三、举例例3.

某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.解：X可取0、1、2为值

P{X=0}=(0.1)(0.1)=0.01

P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18

P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81

且P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1常常表示为：这就是X的概率分布.设离散型随机变量X的分布律为

pk:=P{X=xk},k=1,2,…,四、离散型随机变量的分布函数X的分布函数:当x<0时，{X

x}=，故F(x)=0例4，求F(x).当0x<1时，

F(x)=P{X

x}=P{X=0}=F(x)=P{X

x}解:X的分布律为当1x<2时，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}=+=当x2时，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1F(x)=P{X

x}解:例4，求F(x).X的分布律为故注意右连续下面我们从图形上来看一下.概率函数图分布函数图画分布函数图对离散随机变量的分布函数：

(1)F(x)是递增的阶梯函数;

(2)其间断点均为右连续的;

(3)其间断点即为X的可能取值点;

(4)其间断点的跳跃高度是对应的概率值.例5设离散型随机变量X的分布函数为则X的概率分布为五、常见的离散型随机变量的概率分布(I)两点分布（0-1分布）

设E是一个只有两种可能结果的随机试验,用Ω={1,

2}表示其样本空间.P({1})=p,P({2})=1-p

来源X()=记为X~B(1,p)称X服从参数为p的两点分布

200件产品中,有196件是正品,4件是次品,今从中随机地抽取一件,若规定例6

则P{X=1}=196/200=0.98,P{X=0}=4/200=0.02

故X服从参数为0.98的两点分布.

即X~B(1,0.98).X()=掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”一般地，设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果：A或，或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”.新生儿：“是男孩”，“是女孩”抽验产品：“是正品”，“是次品”再设我们重复地进行n次独立试验(“重复”是指这次试验中各次试验条件相同)贝努里概型和二项分布(II)这样的n次独立重复试验称作n重贝努里试验，简称贝努里试验或贝努里概型.

每次试验成功的概率都是p，失败的概率都是q=1-p.用X表示n重贝努里试验中事件A（成功）出现的次数，则称r.v.X服从参数为n和p的二项分布，记作X~B(n,p)binomial(二项式)X的概率分布是：男女X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数，生男孩的概率为p.X可取值0,1,2,3,4.X~B(4,p)，例7

设生男孩的概率为p,生女孩的概率为q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.我们来求X的概率分布.例8某类灯泡使用时数在2000小时以上视为正品.已知有一大批这类的灯泡,其次品率是0.2.随机抽出20只灯泡做寿命试验,求这20只灯泡中恰有k只是次品的概率.解:设X为20只灯泡中次品的个数,则.X~B(20,0.2)，次品数少于2的概率至少有1件次品的概率例9一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测能答对4道题以上的概率是多少？则答5道题相当于做5重Bernoulli试验．第二章随机变量及其分布解：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，退出前一页后一页目录所以第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量退出前一页后一页目录

一、泊松分布的定义设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…,且概率分布为：其中>0是常数,则称X服从参数为的泊松分布,记作X~P().(III)泊松分布（poission

）易见Poisson分布的应用Poisson分布是概率论中重要的分布之一．自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布．例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从Poisson分布的．第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量泊松分布表附表一(P239)查P{X=5}查P{X>5}查P{X<5}查P{X≤5}查P{X≥5}例10

一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数λ=5的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？解:设该商品每月的销售数为X,已知X服从参数λ=5的泊松分布.设商店在月底应进某种商品m件,求满足P{X≤m}>0.95的最小的m.进货数销售数求满足P{X≤m}>0.95的最小的m.查泊松分布表得P{X>m}≤0.05也即于是得m+1=10,或m=9件历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的.二、二项分布与泊松分布命题对于二项分布B(n,p),当n充分大,p又很小时,则对任意固定的非负整数k,有近似公式由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件.如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等例11

为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员.设共有300台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理.问至少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?我们先对题目进行分析：

300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.

问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?

设X为300台设备同时发生故障的台数，300台设备，独立工作，每台出故障概率p=0.01.可看作n=300的贝努里概型.X~B(n,p)，n=300,p=0.01可见，

300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.

问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?设X为300台设备同时发生故障的台数，X~B(n,p)，n=300,

p=0.01设需配备N个维修人员，所求的是满足