揭阳市2010-2011学年度高中三年级学业水平考试(理数)

PAGEPAGEPAGE8广东省揭阳市2010—2011学年度高中三年级学业水平考试理科数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．已知集合，，则A． B． C． D．2．已知复数z满足，则z为A．B.C.D.3．已知幂函数的图象过点，则的值为A.B.－C.2D.－24．直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为A.B.C.D.5．已知则A.B.C.D.6．定积分的值为A.B.C.D.7．若（）且，则展开式的各项中系数的最大值为A.15B.20C8．从一个正方体的8个顶点中任取3个，则以这3个点为顶点构成直角三角形的概率为A.B.C.D.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9－13题）9．命题P：“”的否定为：、的真假为.10．某路口的机动车隔离墩的三视图如下图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸（单位：cm）可求得隔离墩的体积为.S=0，K=1S=0，K=1第10题图第11题图11．如果执行上面的框图，输入，则输出的数S=.12．不论k为何实数，直线恒过的定点坐标为、若该直线与圆恒有交点，则实数a的取值范围是．13．已知，，根据以上等式，可猜想出的一般结论是．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为（为参数）,则过曲线C上横坐标为1的点的切线方程为.15．(几何证明选讲选做题)已知圆的半径为，从圆外一点引切线和割线，圆心到的距离为，，则切线的长为．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本题满分12分）已知函数,.(1)求函数的最大值和最小值；(2)设函数在上的图象与轴的交点从左到右分别为M、N，图象的最高点为P,求与的夹角的余弦.17．（本题满分14分）为了解高中一年级学生身高情况，某校按10%的比例对全校700名高中一年级学生按性别进行抽样检查，测得身高频数分布表如下表1、表2.表1:男生身高频数分布表表2:女生身高频数分布表（1）求该校男生的人数并完成下面频率分布直方图；（2）估计该校学生身高（单位：cm）在的概率；（3）在男生样本中，从身高（单位：cm）在的男生中任选3人，设表示所选3人中身高（单位：cm）在的人数，求的分布列和数学期望.18.（本题满分12分）已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍，，是它的左，右焦点．（1）若，且，，求、的坐标；（2）在（1）的条件下，过动点作以为圆心、以1为半径的圆的切线（是切点），且使，求动点的轨迹方程．19．（本题满分14分）如图甲，在平面四边形ABCD中，已知,,现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点.（1）求证：DC平面ABC；图乙图甲在（2图乙图甲在（3）求二面角B－EF－A的余弦.20．（本题满分14分）在数列中，已知．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.21．（本题满分14分）设函数.（1）若，求函数的极值；（2）若，试确定的单调性；（3）记，且在上的最大值为M，证明：．广东省揭阳市2010—2011学年度高中三年级学业水平考试理科数学试题答案1.B【解析】显然.2.D【解析】.3.A【解析】由幂函数的图象过点得.4.A【解析】直线与坐标轴的交点为（－2，0），（0，1），依题意得.5.C【解析】.6.C【解析】由定积分的几何意义知是由曲线，直线围成的封闭图形的面积，故＝.7.B【解析】由得，故各项中系数的最大值为.8.D【解析】解法1：从正方体的8个顶点中任取3个有种取法，可构成的三角形有56种可能，正方体有6个表面和6个对角面，它们都是矩形（包括正方形），每一个矩形中的任意3个顶点可构成4个直角三角形，共有个直角三角形，故所求的概率：.解法2：从正方体的8个顶点中任取3个有种取法，可构成的三角形有56种可能，所有可能的三角形分为直角三角形和正三角形两类，其中正三角形有8种可能（每一个顶点对应一个），故所求的概率：,选D.9.【解析】、真.10.【解析】几何体为圆柱上面叠一半球,其体积为11．【解析】根据框图所体现的算法可知此算法为求和：.12．（0，1）、【解析】题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，等价于点（0，1）到圆的圆心的距离不超过半径，解得.13.，14．【解析】曲线C普通方程为，则切点坐标为，由得切线斜率，故所求的切线方程为.15．【解析】依题意，=2，5，由=15，得=16．【解析】（1）∵==4分∵∴，∴函数的最大值和最小值分别为2，-2.6分（2）解法1：令得,∵∴或∴8分由，且得∴9分∴从而∴.12分解法2：过点P作轴于,则由三角函数的性质知,8分,9分由余弦定理得=.12分解法3：过点P作轴于,则由三角函数的性质知,8分9分在中，11分∵PA平分∴.12分17.解（1）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%可得全校男生人数为400.2分频率分布直方图如右图示：6分（2）由表1、表2知，样本中身高在的学生人数为：5+14+13+6+3+1=42，样本容量为70，所以样本中学生身高在的频率8分故由估计该校学生身高在的概率.-9分（3）依题意知的可能取值为：1,2,3∵,,12分∴的分布列为：13分的数学期望.14分18．解：（1）依题意知①1分∵∴，∴2分又，由椭圆定义可知，②--4分由①②得．∴、6分（2）由已知，即∵是的切线∴8分∴9分设，则即（或）11分综上所述，所求动点的轨迹方程为：12分19．（1）证明：在图甲中∵且∴,即2分在图乙中，∵平面ABD平面BDC，且平面ABD平面BDC＝BD∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD.4分又，∴DC⊥BC,且∴DC平面ABC.5分（2）解法1：∵E、F分别为AC、AD的中点∴EF//CD，又由（1）知，DC平面ABC，∴EF⊥平面ABC，垂足为点E∴∠FBE是BF与平面ABC所成的角7分在图甲中，∵,∴,设则,,-9分∴在Rt△FEB中，即BF与平面ABC所成角的正弦值为.10分解法2：如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，设，则，6分可得,,，，∴,8分设BF与平面ABC所成的角为由（1）知DC平面ABC∴∴10分（3）由（2）知FE⊥平面ABC，又∵BE平面ABC，AE平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，∴∠AEB为二面角B－EF－A的平面角12分在△AEB中，∴即所求二面角B－EF－A的余弦为.14分20.解：（1）解法1：由可得，3分∴数列是首项为，公差为1等差数列，∴，6分∴数列的通项公式为．7分解法2：由可得2分令，则3分∴当时--5分∴6分∴7分解法3：∵，1分，2分．3分由此可猜想出数列的通项公式为．4分以下用数学归纳法证明．①当时，，等式成立．②假设当（）时等式成立，即，那么．6分这就是说，当时等式也成立．根据①和②可知，等式对任何都成立．7分（2）令，①8分②9分①式减去②式得：，10分∴．12分∴数列的前项和．-14分21．解：（1）若，则有令得,1分∵当时，当时，当时，∴当时,函数有极大值，，2分当时，函数有极小值，3分(2)∵即又∴＝5分当即时，∴函数在上单调递增；6分当，即时，由得或，由得；7分当，即时，由得或，由得；8分综上得：当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减-9分当时,函数在和上单调递增，在上单调递减.10分（3）根据题意＝，∵在上的最大值为M，∴即12分2＝∴14分(其它解法请参照给分)【巩固部分】4椭圆（）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若垂直于轴，则椭圆的离心率为A． B． C． D．【解析】如图在中，，.【答案】B.5已知，则的值等于A． B． C． D．【解析】因为角与角互余,所以,所以=.【答案】A.8在棱长为的正方体内任取一点，则点到点的距离小于等于的概率为A.B.C.D.【解析】满足条件的点在半径为a的球内，所以所求概率为.【答案】D.12直线与圆的位置关系是A．相离B．相交C．相切D．相交或相离【解析】直线与圆相交.【答案】B.15如图，中，分别切、于、，圆心在上，的半径为12,,则的长为．【答案】【解析】如图，连结ON、OM，则,因此四边形,为正方形，∴，在中，∵∴∴cm.16已知函数为偶函数，其图象上相邻的一个最高点和一个最低点之间的距离为（1）求的解析式；（2）若，求的值。解：（1）设最高点为，相邻的最低点为，则 ，由其图象得。 由，得，。 是偶函数，，得 又， （2） ，。 20已知数列满足 （1）求的值及数列的通项公式；（2）令，记数列的前项和为，求证【解析】解：（1）分别令可求得： 当为奇数时，不妨设， 则 为等差数列， 即 当为偶数时，设， 则 为等比数列， ， 故 综上所述，（2） ， 两式相减： ， 故21已知